31.15 수정 DH 표기법의 동차 변환 행렬 유도

수정 DH 표기법의 동차 변환 행렬은 표준 DH와 구조적으로 다른 형태로 유도된다. 본 절에서는 수정 DH 표기법의 좌표계 배치 규칙에 기반한 동차 변환 행렬의 유도 과정과 그 결과를 다룬다.

1. 변환 구성의 기본 아이디어

1.1 연속 기본 변환의 결합

좌표계 $i-1$ 에서 좌표계 $i$ 로의 변환은 네 개의 기본 변환의 결합으로 구성된다. 수정 DH의 순서는 표준 DH와 다르다.

1.2 네 가지 기본 변환

수정 DH에서의 네 가지 기본 변환은 다음과 같다. 첫째, $x_{i-1}$ 축 주위의 링크 비틀림 $\alpha_{i-1}$ 회전. 둘째, $x_{i-1}$ 축 방향의 링크 길이 $a_{i-1}$ 병진. 셋째, $z_i$ 축 주위의 관절 각도 $\theta_i$ 회전. 넷째, $z_i$ 축 방향의 링크 오프셋 $d_i$ 병진.

1.3 매개변수의 첨자

수정 DH에서 링크 길이와 링크 비틀림의 첨자는 $i-1$ 이고, 관절 각도와 링크 오프셋의 첨자는 $i$ 이다. 이는 링크 매개변수와 관절 매개변수의 분리를 반영한다.

2. 결합 순서

2.1 표준 순서

수정 DH의 동차 변환 행렬은 다음의 순서로 네 기본 변환을 결합한다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \mathbf{R}_x(\alpha_{i-1}) \mathbf{T}_x(a_{i-1}) \mathbf{R}_z(\theta_i) \mathbf{T}_z(d_i)$

31.15.2.2 기하학적 해석

이 순서는 좌표계 $i-1$ 의 $x$ 축 주위의 $\alpha_{i-1}$ 회전과 $x$ 축 방향의 $a_{i-1}$ 병진으로 $z$ 축을 관절 $i$ 의 축과 정렬시킨다. 그 후 $z$ 축 주위의 $\theta_i$ 회전과 $z$ 축 방향의 $d_i$ 병진으로 좌표계 $i$ 를 완성한다.

31.15.2.3 순서의 비가환성

수정 DH에서도 회전과 병진의 비가환성으로 인해 결합 순서가 중요하다.

31.15.3 기본 변환 행렬

31.15.3.1 $x$ 축 주위 회전

$x$ 축 주위의 $\alpha$ 각도 회전에 대한 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{R}_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.2 $x$ 축 방향 병진

$x$ 축 방향의 $a$ 거리 병진에 대한 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{T}_x(a) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.15.3.3 $z$ 축 주위 회전

$z$ 축 주위의 $\theta$ 각도 회전은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.3 $z$ 축 방향 병진

$z$ 축 방향의 $d$ 거리 병진은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{T}_z(d) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.15.4 완전한 변환 행렬의 유도

31.15.4.1 첫 번째 곱

$\mathbf{R}_x(\alpha_{i-1}) \mathbf{T}_x(a_{i-1})$ 는 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{R}_x(\alpha_{i-1}) \mathbf{T}_x(a_{i-1}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_{i-1} \\ 0 & \cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & \sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.4 두 번째 곱

$\mathbf{R}_z(\theta_i) \mathbf{T}_z(d_i)$ 는 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{R}_z(\theta_i) \mathbf{T}_z(d_i) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.15.4.3 최종 곱

두 부분 곱을 결합하여 수정 DH의 동차 변환 행렬을 얻는다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & a_{i-1} \\ \sin\theta_i \cos\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & -d_i \sin\alpha_{i-1} \\ \sin\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & d_i \cos\alpha_{i-1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 변환 행렬의 구성 요소

3.1 회전 부분

좌상단 $3 \times 3$ 부분은 회전 행렬이다.

${}^{i-1}\mathbf{R}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 \\ \sin\theta_i \cos\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} \\ \sin\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\theta_i \sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} \end{bmatrix}$

31.15.5.2 병진 부분

우상단 $3 \times 1$ 부분은 위치 벡터이다.

${}^{i-1}\vec{p}_i = \begin{bmatrix} a_{i-1} \\ -d_i \sin\alpha_{i-1} \\ d_i \cos\alpha_{i-1} \end{bmatrix}$

3.2 표준 DH와의 차이

수정 DH의 변환 행렬은 표준 DH의 변환 행렬과 수식적으로 다른 형태를 가진다. 주로 $\alpha$ 와 $a$ 의 첨자가 $i-1$ 인 점, 그리고 행렬 원소의 배열이 다른 점이 차이점이다.

4. 연속된 변환의 결합

4.1 순기구학의 결합

수정 DH의 순기구학도 여러 개의 동차 변환 행렬의 연속적 곱으로 표현된다.

${}^{0}\mathbf{T}_n = {}^{0}\mathbf{T}_1 \cdot {}^{1}\mathbf{T}_2 \cdots {}^{n-1}\mathbf{T}_n$

31.15.6.2 관절 변수의 의존성

수정 DH에서도 각 변환 행렬은 해당 관절의 관절 변수에 의존한다. 회전 관절은 $\theta_i$ , 직동 관절은 $d_i$ 가 관절 변수이다.

31.15.6.3 엔드 이펙터 자세

최종적 ${}^{0}\mathbf{T}_n$ 은 엔드 이펙터의 위치와 자세를 제공하며, 표준 DH와 동일한 결과를 산출한다(좌표계 배치의 차이로 인한 매개변수 값의 차이를 고려하면).

31.15.7 회전 관절의 경우

31.15.7.1 관절 변수

회전 관절의 경우 $\theta_i$ 가 관절 변수이고 $a_{i-1}, \alpha_{i-1}, d_i$ 는 상수이다.

31.15.7.2 변환 행렬의 함수화

변환 행렬은 $\theta_i$ 의 함수로 표현되며, 삼각 함수 성분이 $\theta_i$ 의 값에 따라 변화한다.

31.15.7.3 미분

자코비안 계산 시 변환 행렬의 $\theta_i$ 에 대한 편미분이 활용된다.

31.15.8 직동 관절의 경우

31.15.8.1 관절 변수

직동 관절의 경우 $d_i$ 가 관절 변수이고 $a_{i-1}, \alpha_{i-1}, \theta_i$ 는 상수이다.

31.15.8.2 변환 행렬의 함수화

변환 행렬은 $d_i$ 의 함수로 표현되며, 병진 성분이 $d_i$ 의 값에 따라 변화한다.

31.15.8.3 선형성

직동 관절의 경우 $d_i$ 에 대한 의존성이 선형적이므로, 미분과 수치 계산이 단순하다.

31.15.9 역행렬의 계산

31.15.9.1 역행렬의 해석적 형태

수정 DH의 동차 변환 행렬의 역행렬은 다음과 같이 계산된다.

$({}^{i-1}\mathbf{T}_i)^{-1} = \begin{bmatrix} {}^{i-1}\mathbf{R}_i^\top & -{}^{i-1}\mathbf{R}_i^\top \cdot {}^{i-1}\vec{p}_i \\ \vec{0}^\top & 1 \end{bmatrix}$

4.2 역변환의 의미

역변환은 좌표계 $i$ 로부터 좌표계 $i-1$ 로의 변환이며, 역기구학과 좌표 변환에 활용된다.

5. 학술적 활용

본 절에서 다룬 수정 DH의 동차 변환 행렬은 Craig의 교과서적 접근법과 일부 산업 로봇 표준에서 활용된다. 특히 로봇 동역학의 뉴턴-오일러 수식과의 자연스러운 통합, 그리고 기구학적 보정의 특정 변형된 형태에서 학술적 가치를 가진다.

6. 출처

Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Khalil, W. and Kleinfinger, J. F., “A new geometric notation for open and closed-loop robots”, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 1174–1179, 1986.
Khalil, W. and Dombre, E., Modeling, Identification and Control of Robots, Hermes Penton Science, 2002.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.

7. 버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18