31.14 수정 DH(Modified DH) 표기법의 좌표계 배치 규칙

수정 DH 표기법(modified Denavit-Hartenberg convention)은 Craig이 1986년에 제안한 DH 표기법의 변형으로, 좌표계 $i$ 의 $z$ 축을 관절 $i$ 의 축과 정렬시키는 좌표계 배치 규칙을 따른다. 본 절에서는 수정 DH 표기법의 좌표계 배치 규칙, 각 축의 배치 원리, 그리고 표준 DH와의 구조적 차이를 다룬다.

1. 수정 DH 표기법의 기본 전제

1.1 좌표계와 관절의 대응

수정 DH 표기법에서 좌표계 $i$ 는 링크 $i$ 에 부착되며, 그 $z$ 축은 관절 $i$ 의 축과 정렬된다. 즉, 좌표계 $i$ 의 $z$ 축은 해당 좌표계가 부착된 링크에 연결된 이전 관절의 축이 된다.

1.2 번호 부여 규칙

좌표계는 0번부터 $n$ 번까지 부여된다. 관절 $i$ 는 링크 $i-1$ 과 링크 $i$ 를 연결한다. 좌표계 $i$ 의 $z$ 축은 관절 $i$ 의 축이다.

1.3 기저 좌표계

좌표계 0(기저 좌표계)의 $z$ 축은 관절 0의 축이 아닌 기구학적 기준 축으로 설정된다. 실무적으로 좌표계 0의 $z$ 축은 관절 1의 축과 일치하도록 설정하기도 한다.

2. $z$ 축 배치 규칙

2.1 관절 $i$ 의 축과 정렬

좌표계 $i$ 의 $z$ 축 $\hat{z}_i$ 는 관절 $i$ 의 관절 축과 정렬된다.

$\hat{z}_i \parallel \text{axis of joint}\ i$

31.14.2.2 표준 DH와의 차이

표준 DH에서는 좌표계 $i$ 의 $z$ 축이 관절 $i+1$ 의 축과 정렬되지만, 수정 DH에서는 관절 $i$ 의 축과 정렬된다. 이로 인해 좌표계의 번호와 관절의 번호가 직접 대응된다.

31.14.2.3 직관성

수정 DH의 장점은 좌표계 $i$ 와 관절 $i$ 의 번호가 일치하여 기하학적 직관이 더 자연스럽다는 점이다. 좌표계 $i$ 에서 관절 $i$ 의 운동을 직접 표현할 수 있다.

31.14.3 $x$ 축 배치 규칙

31.14.3.1 공통 법선 방향

좌표계 $i$ 의 $x$ 축 $\hat{x}_i$ 는 관절 축 $z_i$ 와 $z_{i+1}$ 사이의 공통 법선 방향으로 배치된다.

$\hat{x}_i \perp \hat{z}_i, \quad \hat{x}_i \perp \hat{z}_{i+1}$

2.2 외적에 의한 결정

일반적 왜곡선인 경우 $x$ 축 방향은 다음과 같이 결정된다.

$\hat{x}_i = \frac{\hat{z}_i \times \hat{z}_{i+1}}{\|\hat{z}_i \times \hat{z}_{i+1}\|}$

31.14.3.3 양의 방향

$x$ 축의 양의 방향은 $z_i$ 로부터 $z_{i+1}$ 로 향하는 방향으로 설정된다. 즉, 공통 법선이 $z_i$ 에서 $z_{i+1}$ 로 향하는 방향이다.

31.14.4 $y$ 축 배치 규칙

31.14.4.1 오른손 규약

좌표계 $i$ 의 $y$ 축은 오른손 좌표계 규약에 따라 결정된다.

$\hat{y}_i = \hat{z}_i \times \hat{x}_i$

2.3 자동 결정

$z$ 축과 $x$ 축이 결정되면 $y$ 축은 자동으로 결정되므로, 실무적 선택의 여지가 없다.

3. 원점 배치 규칙

3.1 일반 규칙

좌표계 $i$ 의 원점 $O_i$ 는 관절 축 $z_i$ 와 공통 법선 $x_i$ 의 교점에 배치된다.

3.2 표준 DH와의 차이

수정 DH에서 원점은 현재 좌표계의 $z$ 축과 다음 공통 법선의 교점에 배치된다. 표준 DH에서는 현재 좌표계의 $z$ 축과 이전 공통 법선의 교점에 배치된다. 이 차이로 인해 좌표계의 위치가 달라진다.

3.3 특이 상황에서의 처리

교차 관절 축, 평행 관절 축 등의 특이 상황에서는 표준 DH와 유사한 실무적 규칙을 적용한다.

4. DH 매개변수의 정의 차이

4.1 매개변수의 첨자

수정 DH에서 매개변수의 첨자는 링크 $i$ 와 관련된 매개변수 $a_i, \alpha_i, d_i, \theta_i$ 로 표기된다. 구체적 정의에서 주의가 필요하다.

4.2 링크 길이와 링크 비틀림

수정 DH에서 $a_{i-1}$ 과 $\alpha_{i-1}$ 은 관절 축 $z_{i-1}$ 과 $z_i$ 사이의 공통 법선의 길이와 두 축 사이의 각도를 표현한다.

4.3 링크 오프셋과 관절 각도

수정 DH에서 $d_i$ 와 $\theta_i$ 는 관절 $i$ 에 관한 매개변수이며, 관절 축 $z_i$ 방향의 거리와 $z_i$ 주위의 회전 각도를 표현한다.

5. 좌표계 배치의 단계적 절차

5.1 단계 1: 관절 축 식별

모든 관절 축을 식별하고, 각 관절 축에 양의 방향을 선택한다. 관절 $i$ 의 축이 좌표계 $i$ 의 $z$ 축이 된다.

5.2 단계 2: 기저 좌표계 설정

기저 좌표계(좌표계 0)를 설정한다. 수정 DH에서 좌표계 0의 $z$ 축은 관절 1의 축으로 설정되거나 기구학적 기준 방향으로 설정된다.

5.3 단계 3: 중간 좌표계 배치

좌표계 $i$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ )를 순차적으로 배치한다. 각 단계에서 $z_i$ 는 관절 $i$ 의 축, $x_i$ 는 공통 법선 방향으로 배치된다.

5.4 단계 4: 말단 좌표계 설정

말단 좌표계(좌표계 $n$ )의 $z$ 축은 관절 $n$ 의 축으로 설정된다. 엔드 이펙터의 자세는 좌표계 $n$ 으로부터의 추가 변환으로 표현된다.

6. 수정 DH의 기하학적 특성

6.1 링크와 좌표계의 대응

수정 DH에서 좌표계 $i$ 는 링크 $i$ 에 명확히 고정되어 있으며, 좌표계 $i$ 의 $z$ 축이 그 링크의 이전 관절 축이다. 이 관계가 동역학 분석에서 유리하다.

6.2 관절 변수의 위치

관절 $i$ 의 운동은 좌표계 $i-1$ 로부터 좌표계 $i$ 로의 변환에서 표현된다. 구체적으로, 관절 각도 $\theta_i$ 는 $z_i$ 주위의 회전이다.

6.3 인접 좌표계의 관계

좌표계 $i-1$ 로부터 좌표계 $i$ 로의 변환은 수정 DH의 동차 변환 행렬로 표현되며, 그 형태는 표준 DH와 구조적으로 다르다.

7. 좌표계 배치의 검증

7.1 축 정렬 확인

각 $z_i$ 가 관절 $i$ 의 축과 정렬되는지 확인한다. 이는 수정 DH의 핵심 규칙이다.

7.2 공통 법선 확인

각 $x_i$ 가 $z_i$ 와 $z_{i+1}$ 사이의 공통 법선과 일치하는지 확인한다.

7.3 오른손 좌표계 확인

각 좌표계가 오른손 직교 좌표계를 형성하는지 확인한다.

8. 학술적 활용

본 절에서 다룬 수정 DH 표기법의 좌표계 배치 규칙은 로봇 동역학 분석과 특정 학술적·실무적 응용에서 활용된다. 특히 Craig의 교과서와 일부 산업 표준에서 수정 DH가 표준으로 채택되고 있으며, 뉴턴-오일러 동역학의 수식적 명확성을 위한 학술적 기반이 된다.

9. 출처

Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Khalil, W. and Kleinfinger, J. F., “A new geometric notation for open and closed-loop robots”, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 1174–1179, 1986.
Khalil, W. and Dombre, E., Modeling, Identification and Control of Robots, Hermes Penton Science, 2002.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.

10. 버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18