31.13 표준 DH 표기법의 동차 변환 행렬 유도

표준 DH 표기법의 동차 변환 행렬(homogeneous transformation matrix)은 네 가지 DH 매개변수로부터 두 인접한 좌표계 사이의 상대 변환을 완전히 표현한다. 본 절에서는 표준 DH 표기법의 동차 변환 행렬의 유도 과정과 그 결과를 다룬다.

1. 변환 구성의 기본 아이디어

1.1 연속 기본 변환의 결합

좌표계 $i-1$ 에서 좌표계 $i$ 로의 변환은 네 개의 기본 변환의 결합으로 구성된다. 각 기본 변환은 하나의 DH 매개변수와 대응된다.

1.2 네 가지 기본 변환

네 가지 기본 변환은 다음과 같다. 첫째, $z_{i-1}$ 축 주위의 관절 각도 $\theta_i$ 회전. 둘째, $z_{i-1}$ 축 방향의 링크 오프셋 $d_i$ 병진. 셋째, $x_i$ 축 방향의 링크 길이 $a_i$ 병진. 넷째, $x_i$ 축 주위의 링크 비틀림 $\alpha_i$ 회전.

1.3 순서의 중요성

회전과 병진의 비가환성으로 인해 변환의 순서가 중요하다. 표준 DH 표기법은 명확히 정의된 순서를 따른다.

2. 기본 변환 행렬

2.1 $z$ 축 주위 회전

$z$ 축 주위의 $\theta$ 각도 회전에 대한 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.13.2.2 $z$ 축 방향 병진

$z$ 축 방향의 $d$ 거리 병진에 대한 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{T}_z(d) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.2 $x$ 축 방향 병진

$x$ 축 방향의 $a$ 거리 병진에 대한 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{T}_x(a) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.13.2.4 $x$ 축 주위 회전

$x$ 축 주위의 $\alpha$ 각도 회전에 대한 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{R}_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 변환의 결합

3.1 결합 순서

표준 DH 표기법의 동차 변환 행렬은 다음의 순서로 네 기본 변환을 결합한다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \mathbf{R}_z(\theta_i) \mathbf{T}_z(d_i) \mathbf{T}_x(a_i) \mathbf{R}_x(\alpha_i)$

31.13.3.2 기하학적 해석

이 순서는 좌표계 $i-1$ 의 $z$ 축 주위의 $\theta_i$ 회전과 $z$ 축 방향의 $d_i$ 병진으로 $x$ 축을 공통 법선 방향으로 정렬시킨다. 그 후 $x$ 축 방향의 $a_i$ 병진과 $x$ 축 주위의 $\alpha_i$ 회전으로 $z$ 축을 다음 관절 축 방향으로 정렬시킨다.

31.13.3.3 중간 좌표계

결합 과정에서 중간 좌표계들이 암묵적으로 도입된다. 그러나 최종적으로는 좌표계 $i-1$ 과 좌표계 $i$ 사이의 단일 변환으로 표현된다.

31.13.4 완전한 변환 행렬의 유도

31.13.4.1 첫 번째 곱

$\mathbf{R}_z(\theta_i) \mathbf{T}_z(d_i)$ 는 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{R}_z(\theta_i) \mathbf{T}_z(d_i) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.2 두 번째 곱

$\mathbf{T}_x(a_i) \mathbf{R}_x(\alpha_i)$ 는 다음과 같이 계산된다.

$\mathbf{T}_x(a_i) \mathbf{R}_x(\alpha_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & \cos\alpha_i & -\sin\alpha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.13.4.3 최종 곱

두 부분 곱을 결합하여 최종 변환 행렬을 얻는다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i & a_i \cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i & a_i \sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 변환 행렬의 구성 요소

4.1 회전 부분

좌상단 $3 \times 3$ 부분은 좌표계 $i-1$ 로부터 좌표계 $i$ 로의 회전을 표현하는 회전 행렬 ${}^{i-1}\mathbf{R}_i$ 이다.

${}^{i-1}\mathbf{R}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i \end{bmatrix}$

31.13.5.2 병진 부분

우상단 $3 \times 1$ 부분은 좌표계 $i-1$ 의 원점으로부터 좌표계 $i$ 의 원점까지의 위치 벡터 ${}^{i-1}\vec{p}_i$ 이다.

${}^{i-1}\vec{p}_i = \begin{bmatrix} a_i \cos\theta_i \\ a_i \sin\theta_i \\ d_i \end{bmatrix}$

4.2 아래 행의 고정 성분

아래 행은 $[0, 0, 0, 1]$ 의 고정 성분으로, 동차 좌표계의 표준 형식이다.

5. 연속된 변환의 결합

5.1 순기구학의 결합

로봇의 순기구학은 여러 개의 DH 동차 변환 행렬의 연속적 곱으로 표현된다.

${}^{0}\mathbf{T}_n = {}^{0}\mathbf{T}_1 \cdot {}^{1}\mathbf{T}_2 \cdots {}^{n-1}\mathbf{T}_n$

31.13.6.2 관절 변수의 의존성

각 ${}^{i-1}\mathbf{T}_i$ 는 관절 변수 $q_i$ 에 의존하며, 따라서 전체 ${}^{0}\mathbf{T}_n$ 은 관절 변수 벡터 $\vec{q} = [q_1, \ldots, q_n]^\top$ 의 함수이다.

31.13.6.3 엔드 이펙터의 자세

${}^{0}\mathbf{T}_n$ 의 회전 부분과 병진 부분이 엔드 이펙터의 자세와 위치를 제공한다.

31.13.7 역행렬의 계산

31.13.7.1 역행렬의 해석적 형태

동차 변환 행렬의 역행렬은 다음과 같이 계산된다.

$({}^{i-1}\mathbf{T}_i)^{-1} = \begin{bmatrix} {}^{i-1}\mathbf{R}_i^\top & -{}^{i-1}\mathbf{R}_i^\top \cdot {}^{i-1}\vec{p}_i \\ \vec{0}^\top & 1 \end{bmatrix}$

5.2 회전의 역

회전 행렬의 역은 전치(transpose)와 같다.

5.3 병진의 역

병진의 역은 회전의 역을 적용한 후 병진 벡터의 부호를 바꾸어 얻는다.

6. 변환 행렬의 수학적 특성

6.1 $SE(3)$ 군

동차 변환 행렬은 3차원 특수 유클리드 군 $SE(3)$ 의 원소이다. 두 행렬의 곱도 $SE(3)$ 에 속하며, 역행렬도 $SE(3)$ 에 속한다.

6.2 행렬식

동차 변환 행렬의 행렬식은 항상 1이다. 이는 강체 변환의 기본 특성이다.

6.3 직교성

회전 부분은 직교 행렬이며, ${}^{i-1}\mathbf{R}_i^\top \cdot {}^{i-1}\mathbf{R}_i = \mathbf{I}$ 를 만족한다.

7. 관절 유형에 따른 구체화

7.1 회전 관절

회전 관절의 경우 $\theta_i$ 가 관절 변수이고 $d_i, a_i, \alpha_i$ 는 상수이다. 따라서 ${}^{i-1}\mathbf{T}_i$ 는 $\theta_i$ 의 함수로 표현된다.

7.2 직동 관절

직동 관절의 경우 $d_i$ 가 관절 변수이고 $\theta_i, a_i, \alpha_i$ 는 상수이다. 따라서 ${}^{i-1}\mathbf{T}_i$ 는 $d_i$ 의 함수로 표현된다.

7.3 나선 관절

나선 관절의 경우 $\theta_i$ 가 관절 변수이고, $d_i = h\theta_i$ 의 구속 조건을 만족한다.

8. 학술적 활용

본 절에서 다룬 동차 변환 행렬의 유도는 DH 표기법의 가장 핵심적 학술적 결과이다. 이 행렬은 순기구학, 역기구학, 자코비안의 계산, 기구학적 보정, 그리고 로봇의 시뮬레이션과 시각화의 학술적 기반이 된다.

9. 출처

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Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
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10. 버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18