31.12 표준 DH 표기법의 좌표계 배치 규칙
표준 DH 표기법(standard Denavit-Hartenberg convention)은 좌표계 i를 링크 i에 부착하되, 그 z축을 관절 i+1의 축과 정렬시키는 좌표계 배치 규칙이다. 본 절에서는 표준 DH 표기법의 좌표계 배치 규칙을 체계적으로 제시하고, 각 규칙의 기하학적 의미와 실무적 적용을 다룬다.
1. 표준 DH 표기법의 기본 전제
1.1 관절 번호 부여
자유도가 n인 로봇은 n개의 관절과 n+1개의 링크를 가진다. 관절은 1번부터 n번까지, 링크는 0번부터 n번까지 번호를 부여한다. 링크 i-1과 링크 i는 관절 i로 연결된다.
1.2 좌표계 번호 부여
좌표계는 0번부터 n번까지 부여된다. 좌표계 i는 링크 i에 부착되며, 링크 i의 운동은 관절 1부터 관절 i까지의 관절 변수에 의해 결정된다.
1.3 원점과 축의 부착
각 좌표계의 원점과 세 축(x, y, z)은 명확한 기하학적 규칙에 따라 배치된다.
2. z축 배치 규칙
2.1 관절 축과의 정렬
좌표계 i의 z축 \hat{z}_i는 관절 i+1의 관절 축과 정렬된다. 즉, 관절 i+1이 회전 관절이면 \hat{z}_i는 회전 축, 직동 관절이면 이동 축이다.
\hat{z}_i \parallel \text{axis of joint}\ i+1
31.12.2.2 방향 선택
관절 축은 두 방향의 단위 벡터가 가능하므로 실무적 선택이 필요하다. 일반적으로 양의 방향을 기구학적으로 자연스러운 방향(예: 기구의 상위 방향, 구동기의 회전 방향의 양의 방향)으로 설정한다.
31.12.2.3 마지막 좌표계
좌표계 n은 링크 n(엔드 이펙터 링크)에 부착된다. 관절 n+1이 존재하지 않으므로, \hat{z}_n은 엔드 이펙터의 도구 중심 방향 또는 실무적으로 유용한 방향으로 선택된다.
31.12.3 x축 배치 규칙
31.12.3.1 공통 법선 방향
좌표계 i의 x축 \hat{x}_i는 관절 축 z_{i-1}과 z_i 사이의 공통 법선 방향으로 배치된다.
\hat{x}_i \perp \hat{z}_{i-1}, \quad \hat{x}_i \perp \hat{z}_i
2.2 외적에 의한 결정
일반적 왜곡선인 경우 x축 방향은 다음과 같이 결정된다.
\hat{x}_i = \frac{\hat{z}_{i-1} \times \hat{z}_i}{\|\hat{z}_{i-1} \times \hat{z}_i\|}
31.12.3.3 양의 방향 선택
x축의 방향은 z_{i-1}로부터 z_i로 향하는 것이 관례적이다. 즉, 공통 법선이 z_{i-1}과 만나는 점에서 z_i와 만나는 점으로의 방향이다.
31.12.4 y축 배치 규칙
31.12.4.1 오른손 규약
좌표계 i의 y축은 오른손 좌표계 규약에 따라 z축과 x축의 외적으로 결정된다.
\hat{y}_i = \hat{z}_i \times \hat{x}_i
2.3 자동 결정
y축은 z축과 x축이 결정되면 자동으로 결정되므로, 실무적 선택의 여지가 없다.
2.4 수직성의 확인
\hat{y}_i는 \hat{z}_i와 \hat{x}_i 모두에 수직하며, 이로써 완전한 직교 좌표계가 형성된다.
3. 원점 배치 규칙
3.1 일반 규칙
좌표계 i의 원점 O_i는 x_i축과 z_i축의 교점에 배치된다. 구체적으로, 관절 축 z_i와 공통 법선 x_i가 만나는 점이다.
3.2 교차 관절 축의 경우
관절 축 z_{i-1}과 z_i가 한 점에서 교차하는 경우, 원점 O_i는 그 교점에 배치된다. 이 경우 a_i = 0이다.
3.3 평행 관절 축의 경우
관절 축 z_{i-1}과 z_i가 평행한 경우, 공통 법선의 위치에 모호성이 있다. 이 경우 실무적 규칙(예: 이전 좌표계의 원점에서 수직으로 z_i에 내린 발)을 적용한다.
4. 좌표계 배치의 단계적 절차
4.1 단계 1: 관절 축 식별
모든 관절 축을 식별하고, 각 관절 축에 양의 방향을 선택한다. 이 방향이 각 z축의 방향이 된다.
4.2 단계 2: 기저 좌표계 설정
기저 좌표계(좌표계 0)를 설정한다. \hat{z}_0은 관절 1의 축과 정렬시키고, 원점과 x축, y축은 실무적으로 편리한 위치에 배치한다.
4.3 단계 3: 중간 좌표계 배치
좌표계 i (i = 1, 2, \ldots, n-1)를 순차적으로 배치한다. 각 단계에서 z축은 다음 관절의 축과 정렬시키고, x축은 공통 법선 방향으로 배치한다.
4.4 단계 4: 말단 좌표계 설정
말단 좌표계(좌표계 n)를 설정한다. 원점은 엔드 이펙터의 도구 중심점, z축은 도구의 접근 방향으로 설정한다.
4.5 단계 5: 모호성 해소
특이 상황(평행 축, 교차 축 등)에서의 모호성을 실무적 규칙으로 해소한다.
5. 좌표계 배치의 예시 해석
5.1 2자유도 평면 매니퓰레이터
두 회전 관절을 가진 평면 매니퓰레이터의 경우, 모든 관절 축이 평면에 수직이고 서로 평행하다. 이 경우 \alpha_i = 0이고, 원점 위치는 평행 축의 모호성 해소 규칙으로 결정된다.
5.2 산업용 매니퓰레이터의 어깨
전형적 6자유도 산업용 매니퓰레이터의 어깨 관절은 서로 직교하는 관절 축을 가진다. 이 경우 \alpha_i = \pm\pi/2이며, 원점은 두 축의 교점 또는 공통 법선의 기저점에 배치된다.
5.3 구형 손목
구형 손목은 세 회전 관절의 축이 한 점에서 교차한다. 이 경우 세 좌표계의 원점이 동일 점에 배치되고, 대응하는 링크 길이는 0이다.
6. 좌표계 배치의 학술적 특성
6.1 유일성
좌표계 배치 규칙을 엄격히 따르면 좌표계의 배치는 유일하게 결정된다(특이 상황 제외). 이로써 학술적 표준화가 이루어진다.
6.2 기하학적 의미
각 좌표계의 축과 원점은 명확한 기하학적 의미를 가진다. 이는 학술적 해석과 시각화를 용이하게 한다.
6.3 자동화 가능성
좌표계 배치 규칙은 알고리즘적으로 표현 가능하므로, 자동화된 기구학 모델링 도구의 구현이 용이하다.
7. 좌표계 배치의 검증
7.1 직교성 확인
배치된 좌표계의 세 축이 서로 직교하고 오른손 규약을 만족하는지 검증한다.
7.2 축 정렬 확인
각 z축이 해당 관절 축과 정렬되어 있는지, x축이 공통 법선 방향으로 배치되어 있는지 확인한다.
7.3 기구학적 일관성
동차 변환 행렬을 계산하여 실제 로봇의 물리적 구성과 일치하는지 검증한다.
8. 학술적 활용
본 절에서 다룬 표준 DH 표기법의 좌표계 배치 규칙은 DH 매개변수표의 작성, 동차 변환 행렬의 유도, 기구학적 분석의 학술적 기반이 된다. 이 규칙은 산업용 매니퓰레이터의 기구학 모델링에서 가장 광범위하게 활용되는 표준 절차이다.
9. 출처
- Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
- Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
- Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.
- Hartenberg, R. S. and Denavit, J., Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw-Hill, 1964.
10. 버전
- 문서 버전: 1.0
- 작성일: 2026-04-18