29.14 3자유도 공간 매니퓰레이터의 순기구학

3자유도 공간 매니퓰레이터(3-DOF spatial manipulator)는 3차원 공간에서 엔드 이펙터의 위치를 제어할 수 있는 매니퓰레이터로서, 평면 매니퓰레이터에서 공간 매니퓰레이터로 학습이 확장되는 학술적 표준 예시이다. 본 절에서는 대표적인 3자유도 공간 매니퓰레이터인 RRR(회전-회전-회전) 구조를 다룬다.

1. 매니퓰레이터의 학술적 정의

3자유도 공간 매니퓰레이터의 표준 RRR 구조는 다음과 같다.

1.1 구조

첫 번째 회전 관절은 베이스에 고정되며, $z_0$ 축(수직)을 회전 축으로 한다. 이 관절은 전체 매니퓰레이터의 방위각을 결정한다.
두 번째 회전 관절은 첫 번째 링크의 끝에 위치하며, 첫 번째 회전 축에 수직한 축을 회전 축으로 한다.
두 번째 링크의 길이는 $l_2$ 이다.
세 번째 회전 관절은 두 번째 링크의 끝에 위치하며, 두 번째 회전 축과 평행한 축을 회전 축으로 한다.
세 번째 링크의 길이는 $l_3$ 이다.
엔드 이펙터는 세 번째 링크의 끝에 위치한다.

1.2 자유도

세 회전 관절의 변수( $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ )가 운동의 자유도를 결정하므로, 자유도는 3이다. 엔드 이펙터의 위치는 3차원 공간에서 표현되며, 자세는 별도의 자유도로 제어할 수 없다.

2. DH 매개변수

표준 DH 표기법에 따른 RRR 매니퓰레이터의 DH 매개변수는 다음과 같다.

관절 $i$	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
1	0	90°	$d_1$	$\theta_1^*$
2	$l_2$	0	0	$\theta_2^*$
3	$l_3$	0	0	$\theta_3^*$

여기서 $d_1$ 은 베이스의 높이이며, 별표(*)는 변수임을 나타낸다.

3. 변환 행렬의 도출

3.1 첫 번째 관절의 변환

$\mathbf{T}_{0,1} = \begin{bmatrix} \cos\theta_1 & 0 & \sin\theta_1 & 0 \\ \sin\theta_1 & 0 & -\cos\theta_1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & d_1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

29.14.3.2 두 번째 관절의 변환

$\mathbf{T}_{1,2} = \begin{bmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 & l_2\cos\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 & l_2\sin\theta_2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.2 세 번째 관절의 변환

$\mathbf{T}_{2,3} = \begin{bmatrix} \cos\theta_3 & -\sin\theta_3 & 0 & l_3\cos\theta_3 \\ \sin\theta_3 & \cos\theta_3 & 0 & l_3\sin\theta_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

29.14.3.4 통합 변환

세 변환 행렬의 연쇄 곱 $\mathbf{T}_{0,3} = \mathbf{T}_{0,1} \mathbf{T}_{1,2} \mathbf{T}_{2,3}$ 을 통해 통합 변환 행렬이 산출된다.

29.14.4 엔드 이펙터의 위치

엔드 이펙터의 위치는 통합 변환 행렬의 마지막 열에서 추출된다.

$x = \cos\theta_1 [l_2\cos\theta_2 + l_3\cos(\theta_2+\theta_3)]$
$y = \sin\theta_1 [l_2\cos\theta_2 + l_3\cos(\theta_2+\theta_3)]$
$z = d_1 + l_2\sin\theta_2 + l_3\sin(\theta_2+\theta_3)$

위 식에서 $r = l_2\cos\theta_2 + l_3\cos(\theta_2+\theta_3)$ 로 정의하면 $x = r\cos\theta_1$ , $y = r\sin\theta_1$ 이 되어, 첫 번째 관절이 방위각을 결정함을 알 수 있다.

4. 작업 공간의 학술적 분석

3자유도 공간 매니퓰레이터의 도달 가능 작업 공간은 다음과 같이 분석된다.

4.1 회전 대칭성

첫 번째 관절의 회전 대칭성으로 인해, 작업 공간은 $z$ 축을 중심으로 회전 대칭이다.

4.2 단면의 형태

평면 단면에서의 작업 공간은 2자유도 평면 매니퓰레이터의 작업 공간과 유사한 환형이다.

4.3 3차원 형태

전체 작업 공간은 환형 단면이 $z$ 축을 중심으로 회전된 3차원 영역이다. 일반적으로 토러스 형태에 가깝다.

5. 학술적 활용

3자유도 공간 매니퓰레이터의 순기구학은 다음과 같은 학술적·실무적 영역에 활용된다.

첫째, 단순한 공간 작업(피킹, 페인팅, 측량 등)을 수행하는 산업용 로봇. 둘째, 더 복잡한 매니퓰레이터(6자유도 등)의 학습을 위한 기초. 셋째, 학술적 연구의 표준 예시.

6. 다른 3자유도 매니퓰레이터

3자유도 공간 매니퓰레이터에는 다양한 변형이 존재한다.

6.1 RPR

RPR(회전-직선-회전) 구조는 직선 관절을 포함한다.

6.2 카르테시안

카르테시안(Cartesian) 구조는 세 직선 관절(PPP)로 구성되며, 직육면체 작업 공간을 가진다.

6.3 SCARA

SCARA(Selective Compliance Articulated Robot Arm) 구조는 두 회전 관절과 한 직선 관절로 구성되며, 평면 작업에 특화된다.

6.4 구형

구형(spherical) 구조는 두 회전 관절과 한 직선 관절로 구성되며, 구형 작업 공간을 가진다.

각 구조는 작업 공간의 형태, 가공 가능성, 운동학적 복잡도에서 차별화된다.

7. 학술적 의의

3자유도 공간 매니퓰레이터는 평면 매니퓰레이터에서 공간 매니퓰레이터로의 학술적 확장의 표준 예시이며, 더 복잡한 매니퓰레이터의 분석을 위한 학술적 토대가 된다. 특히 6자유도 매니퓰레이터의 위치 결정 부분(첫 3개 관절)이 일반적으로 3자유도 공간 매니퓰레이터의 형태를 따르므로, 학술적 분석이 직접 활용된다.

8. 출처

Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Lynch, K. M. and Park, F. C., Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press, 2017.
Sciavicco, L. and Siciliano, B., Modelling and Control of Robot Manipulators, 2nd edition, Springer, 2000.
Siciliano, B. and Khatib, O. (eds.), Springer Handbook of Robotics, 2nd edition, Springer, 2016.

9. 버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18