29.13 2자유도 평면 매니퓰레이터의 순기구학

2자유도 평면 매니퓰레이터(2-DOF planar manipulator)는 두 개의 회전 관절과 두 개의 링크로 구성된 가장 단순한 평면 매니퓰레이터로서, 로봇 기구학의 학술적·교육적 표준 예시이다. 본 절에서는 2자유도 평면 매니퓰레이터의 학술적 정의, DH 매개변수, 순기구학 도출, 그리고 학술적 의의를 다룬다.

1. 매니퓰레이터의 학술적 정의

2자유도 평면 매니퓰레이터는 다음과 같은 구성을 가진다.

1.1 구조

첫 번째 회전 관절은 베이스에 고정되며, $z_0$ 축을 회전 축으로 한다.
첫 번째 링크의 길이는 $l_1$ 이다.
두 번째 회전 관절은 첫 번째 링크의 끝에 위치하며, $z_1$ 축을 회전 축으로 한다. $z_1$ 은 $z_0$ 과 평행하다.
두 번째 링크의 길이는 $l_2$ 이다.
엔드 이펙터는 두 번째 링크의 끝에 위치한다.

1.2 운동 평면

모든 운동은 $z_0$ 축에 수직한 평면(예: $xy$ 평면)에서 발생한다.

1.3 자유도

두 회전 관절의 변수( $\theta_1$ , $\theta_2$ )가 운동의 자유도를 결정하므로, 자유도는 2이다. 엔드 이펙터의 위치는 $(x, y)$ 평면에서 표현되며, 자세는 평면에서의 회전각 하나로 표현된다.

2. DH 매개변수

표준 DH 표기법에 따른 2자유도 평면 매니퓰레이터의 DH 매개변수는 다음과 같다.

관절 $i$	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
1	$l_1$	0	0	$\theta_1^*$
2	$l_2$	0	0	$\theta_2^*$

여기서 별표(*)는 변수임을 나타낸다.

3. 변환 행렬의 도출

3.1 첫 번째 관절의 변환

$\mathbf{T}_{0,1} = \begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 & 0 & l_1 \cos\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 & 0 & l_1 \sin\theta_1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

29.13.3.2 두 번째 관절의 변환

$\mathbf{T}_{1,2} = \begin{bmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 & l_2 \cos\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 & l_2 \sin\theta_2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.2 통합 변환

$\mathbf{T}_{0,2} = \mathbf{T}_{0,1} \mathbf{T}_{1,2} = \begin{bmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) & 0 & l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) & 0 & l_1\sin\theta_1 + l_2\sin(\theta_1+\theta_2) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

29.13.4 엔드 이펙터의 위치와 자세

29.13.4.1 위치

엔드 이펙터의 평면 위치는 다음과 같다.

$x = l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)$
$y = l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)$

29.13.4.2 자세

엔드 이펙터의 평면 자세각은 다음과 같다.

$\phi = \theta_1 + \theta_2$

4. 순기구학 함수

2자유도 평면 매니퓰레이터의 순기구학 함수는 다음과 같이 표현된다.

$\vec{f}(\theta_1, \theta_2) = \begin{bmatrix} l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\ l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \\ \theta_1 + \theta_2 \end{bmatrix}$

29.13.6 작업 공간의 학술적 분석

2자유도 평면 매니퓰레이터의 도달 가능 작업 공간은 다음과 같이 분석된다.

29.13.6.1 최대 도달 거리

엔드 이펙터의 베이스로부터의 최대 거리는 두 링크가 일직선으로 펼쳐진 상태에서 발생한다.

$r_{max} = l_1 + l_2$

4.1 최소 도달 거리

엔드 이펙터의 베이스로부터의 최소 거리는 두 번째 관절이 180도 굽혀진 상태에서 발생한다.

$r_{min} = |l_1 - l_2|$

29.13.6.3 작업 공간의 형태

도달 가능 작업 공간은 두 동심원 사이의 환형 영역이다. 안쪽 원의 반지름은 $r_{min}$ , 바깥 원의 반지름은 $r_{max}$ 이다.

29.13.7 학술적 활용

2자유도 평면 매니퓰레이터의 순기구학은 다음과 같은 학술적·교육적 영역에 활용된다.

첫째, 로봇 기구학의 가장 기본적인 학술적 예시. 둘째, DH 표기법의 학습과 적용. 셋째, 자코비안의 학술적 분석. 넷째, 역기구학의 학술적 도출. 다섯째, 동역학과 제어의 학술적 분석.

29.13.8 학술적 의의

2자유도 평면 매니퓰레이터는 단순하면서도 매니퓰레이터 기구학의 핵심적 학술적 개념을 모두 포함하므로, 로봇 공학의 학습과 연구에서 가장 광범위하게 활용되는 예시이다. 이의 학술적 분석은 더 복잡한 매니퓰레이터의 학술적 분석으로 확장하기 위한 토대가 된다.

출처

Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Lynch, K. M. and Park, F. C., Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press, 2017.
Sciavicco, L. and Siciliano, B., Modelling and Control of Robot Manipulators, 2nd edition, Springer, 2000.

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작성일: 2026-04-18