29.10 표준 DH 매개변수 설정법

표준 DH(standard Denavit-Hartenberg) 매개변수 설정법은 직렬 매니퓰레이터의 운동학적 매개변수를 표준화된 4개의 매개변수로 표현하는 학술적 절차이다. 본 절에서는 표준 DH 매개변수의 학술적 정의, 설정 절차, 변환 행렬의 도출, 그리고 학술적 활용을 다룬다.

1. 표준 DH의 학술적 배경

표준 DH는 Jacques Denavit과 Richard Hartenberg가 1955년에 발표한 원래의 표기법이다. 이 표기법에서는 좌표 프레임 $i$ 가 관절 $i+1$ 의 끝(distal end)에 위치하므로, distal DH라고도 불린다.

2. 표준 DH의 매개변수

표준 DH에서는 인접 좌표 프레임 사이의 변환을 4개의 매개변수로 표현한다.

매개변수	정의
$a_i$	$z_{i-1}$ 축에서 $z_i$ 축까지의 공통 수선 거리 (링크 길이)
$\alpha_i$	$z_{i-1}$ 축에서 $z_i$ 축까지의 회전각 (링크 비틀림)
$d_i$	$x_{i-1}$ 축에서 $x_i$ 축까지의 $z_{i-1}$ 축 방향 거리 (링크 오프셋)
$\theta_i$	$x_{i-1}$ 축에서 $x_i$ 축까지의 $z_{i-1}$ 축 회전각 (관절 각)

회전 관절의 경우 $\theta_i$ 가 변수이며, 직선 관절의 경우 $d_i$ 가 변수이다. 나머지 매개변수는 매니퓰레이터의 기구학적 구조에 의해 결정되는 상수이다.

3. 변환 행렬의 도출

표준 DH에서 좌표 프레임 $i-1$ 에서 좌표 프레임 $i$ 로의 동차 변환 행렬은 다음과 같은 4단계 변환의 합성으로 표현된다.

3.1 단계 1: $z_{i-1}$ 축 회전

$z_{i-1}$ 축을 중심으로 $\theta_i$ 만큼 회전한다.

$\mathbf{Rot}(z, \theta_i) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

29.10.3.2 단계 2: $z_{i-1}$ 축 병진

$z_{i-1}$ 축 방향으로 $d_i$ 만큼 병진한다.

$\mathbf{Trans}(z, d_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.2 단계 3: $x_i$ 축 병진

$x_i$ 축 방향으로 $a_i$ 만큼 병진한다.

$\mathbf{Trans}(x, a_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

29.10.3.4 단계 4: $x_i$ 축 회전

$x_i$ 축을 중심으로 $\alpha_i$ 만큼 회전한다.

$\mathbf{Rot}(x, \alpha_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha_i & -\sin\alpha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.3 통합 변환 행렬

위 4단계 변환의 합성으로 표준 DH 변환 행렬이 도출된다.

$\mathbf{T}_{i-1,i} = \mathbf{Rot}(z, \theta_i) \cdot \mathbf{Trans}(z, d_i) \cdot \mathbf{Trans}(x, a_i) \cdot \mathbf{Rot}(x, \alpha_i)$

전개하면 다음과 같다.

$\mathbf{T}_{i-1,i} = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i & a_i \cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i & a_i \sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 매개변수 설정 절차

표준 DH 매개변수를 설정하는 절차는 다음과 같다.

4.1 단계 1: 좌표 프레임 설정

이전 절에서 다룬 절차에 따라 매니퓰레이터의 모든 좌표 프레임을 설정한다.

4.2 단계 2: $a_i$ 산출

$z_{i-1}$ 축과 $z_i$ 축 사이의 공통 수선의 길이를 측정하여 $a_i$ 를 산출한다. 공통 수선은 $x_i$ 축의 방향이 된다.

4.3 단계 3: $\alpha_i$ 산출

$z_{i-1}$ 축에서 $z_i$ 축으로의 회전각을 측정하여 $\alpha_i$ 를 산출한다. 회전 방향은 $x_i$ 축을 따라 양의 방향으로 정의된다.

4.4 단계 4: $d_i$ 산출

$x_{i-1}$ 축에서 $x_i$ 축까지의 $z_{i-1}$ 축 방향 거리를 측정하여 $d_i$ 를 산출한다.

4.5 단계 5: $\theta_i$ 산출

$x_{i-1}$ 축에서 $x_i$ 축까지의 $z_{i-1}$ 축 회전각을 측정하여 $\theta_i$ 를 산출한다.

5. 매개변수 표

매니퓰레이터의 모든 관절에 대한 DH 매개변수를 표 형식으로 정리하는 것이 표준 절차이다. 표의 형식은 다음과 같다.

관절 $i$	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
1	$a_1$	$\alpha_1$	$d_1$	$\theta_1^*$
2	$a_2$	$\alpha_2$	$d_2$	$\theta_2^*$
…	…	…	…	…
n	$a_n$	$\alpha_n$	$d_n$	$\theta_n^*$

여기서 별표(*)는 변수임을 나타낸다.

6. 학술적 한계

표준 DH의 학술적 한계는 다음과 같다. 첫째, 평행 또는 교차 축의 경우 매개변수의 결정이 유일하지 않다. 둘째, 관절 변수의 영점이 임의로 정의되어 모호성이 있을 수 있다. 셋째, 직렬 매니퓰레이터에 한정된다.

7. 학술적 의의

표준 DH 매개변수 설정법은 직렬 매니퓰레이터의 가장 광범위하게 활용되는 학술적 표현이며, 다양한 학술 자료, 시뮬레이션 도구, 인증 표준에서 활용된다. 그 정확한 이해와 적용은 매니퓰레이터의 운동학적 분석과 제어의 학술적·실무적 토대가 된다.

8. 출처

Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.
Hartenberg, R. S. and Denavit, J., Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw-Hill, 1964.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Sciavicco, L. and Siciliano, B., Modelling and Control of Robot Manipulators, 2nd edition, Springer, 2000.

9. 버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18