24.15 호버링 성능 지수(Figure of Merit)

1. 성능 지수의 정의

호버링 성능 지수(figure of merit) M_f는 회전익의 호버링 효율을 정량적으로 평가하는 무차원 지표이다. 이 지수는 이상 조건에서 요구되는 최소 유도 동력과 실제 축동력의 비로 정의된다.

M_f = \dfrac{P_{\text{ideal}}}{P_{\text{actual}}} = \dfrac{T^{3/2} / \sqrt{2 \rho A}}{P_{\text{shaft}}}

여기서 T는 추력, A는 디스크 면적, \rho는 대기 밀도, P_{\text{shaft}}는 실제 축동력이다. M_f는 0에서 1 사이의 값을 가지며, 1에 가까울수록 이상 효율에 접근함을 의미한다. 이 지표는 Glauert의 The Elements of Aerofoil and Airscrew Theory(Cambridge University Press, 1926)에서 체계적으로 정식화되었다.

2. 성능 지수의 물리적 의미

figure of merit은 다음의 물리적 의미를 가진다. 첫째, 운동량 이론에서 계산된 이상 유도 동력은 회전익이 추력을 발생시키기 위해 절대적으로 필요한 최소 동력이다. 둘째, 실제 회전익은 블레이드 단면 점성 항력, 팁 와류 손실, 허브 항력, 비균일 하중 분포 등으로 인해 추가 동력을 소비한다. 셋째, M_f는 이들 추가 손실을 제외한 효율의 척도이다. 넷째, M_f 값의 차이는 블레이드 설계와 공력 최적화 수준의 차이를 나타낸다.

3. 실용 M_f 범위

다양한 회전익의 M_f 범위는 다음과 같다.

이 표는 다양한 회전익의 전형적 M_f 범위를 요약한 것이다. 회전익의 크기가 작을수록 Re가 낮아 점성 손실이 증가하여 M_f가 감소하는 경향이 있다.

4. 성능 지수에 영향을 주는 요소

M_f에 영향을 주는 주요 요소는 다음과 같다. 첫째, 블레이드 단면 익형의 양항비(C_L/C_D)가 높을수록 프로파일 동력이 감소하여 M_f가 증가한다. 둘째, 팁 와류 강도가 작을수록 유도 손실이 감소한다. 셋째, 블레이드 수와 솔리디티의 적절한 선택이 중요하다. 넷째, 블레이드 트위스트가 이상 분포에 가까울수록 효율이 향상된다. 다섯째, 블레이드 팁 마하 수가 낮을수록 압축성 손실이 감소한다. 여섯째, Re가 클수록 점성 손실이 상대적으로 감소한다.

5. 성능 지수 모형화

M_f는 블레이드 요소 운동량 이론(BEMT) 결과로부터 산출할 수 있다. 추력 계수 C_T와 동력 계수 C_P의 관계에서 figure of merit은 다음과 같이 표현된다.

M_f = \dfrac{C_T^{3/2} / \sqrt{2}}{C_P}

여기서 C_T와 C_P는 회전익 전용 정의(팁 속도 기준)이다. 이론적 이상 프로펠러에서는 C_P = C_T^{3/2} / \sqrt{2}가 성립하여 M_f = 1이 된다. 실제 프로펠러의 C_P는 이 이상 값보다 크므로 M_f < 1이다.

6. 설계 최적화

M_f 극대화를 위한 설계 최적화는 다음의 접근을 포함한다. 첫째, 반경 방향 양력 분포를 Betz 최적에 근사하는 블레이드 트위스트 설계. 둘째, 고 양항비 저 Re 익형의 반경별 선택. 셋째, 적절한 팁 형상을 통한 팁 손실 감소. 넷째, 팁 마하 수를 임계 값 이하로 유지. 다섯째, 블레이드 수를 공력과 구조의 균형점에서 선택.

7. 측정 절차

M_f의 실험적 측정은 다음의 절차로 수행된다. 첫째, 정지 시험대에 프로펠러와 모터를 장착한다. 둘째, 회전 속도를 점진적으로 증가시키며 추력과 축 토크를 동시에 측정한다. 셋째, 각 회전 속도에서의 T, Q, P = 2\pi n Q를 기록한다. 넷째, 공식에 따라 M_f를 계산한다. 다섯째, 측정의 재현성을 확인하기 위해 반복 시험을 수행한다.

8. 다른 지표와의 비교

이 표는 회전익 성능을 평가하는 다양한 지표의 비교를 요약한 것이다. 각 지표는 특정 비행 조건에서 적절한 정보를 제공한다.

9. 멀티로터 시스템 수준의 성능

멀티로터의 시스템 수준 성능은 개별 로터의 M_f뿐 아니라 다음의 요소에 의해 결정된다. 첫째, 로터 간 간섭에 의한 추가 손실. 둘째, 기체 동체의 공력 저항. 셋째, 모터와 ESC의 전기 효율. 넷째, 배터리의 방전 효율. 시스템 수준의 효율은 다음과 같이 모형화된다.

\eta_{\text{system}} = \eta_{\text{int}} \cdot M_f \cdot \eta_{\text{motor}} \cdot \eta_{\text{ESC}} \cdot \eta_{\text{batt}}

10. 로봇공학적 의의

M_f의 정확한 평가는 자율 비행 로봇의 설계와 운용에서 다음의 의의를 가진다. 첫째, 프로펠러 선택의 기준. 둘째, 비행 시간 예측의 기반. 셋째, 모터-프로펠러 매칭의 검증. 넷째, 설계 개선의 정량 평가. 다섯째, 다른 시스템과의 성능 비교. 이러한 의의는 M_f가 호버링 성능의 표준 지표로서 자율 비행 공학의 핵심 도구임을 보여 준다.

11. 출처

• Glauert, H. The Elements of Aerofoil and Airscrew Theory. Cambridge University Press, 1926.
• Leishman, J. G. Principles of Helicopter Aerodynamics, 2nd ed. Cambridge University Press, 2006.
• Johnson, W. Helicopter Theory. Princeton University Press, 1980.
• Bohorquez, F., Samuel, P., Sirohi, J., Pines, D., Rudd, L., and Perel, R. “Design, Analysis and Hover Performance of a Rotary Wing Micro Air Vehicle.” Journal of the American Helicopter Society, vol. 48, no. 2, 2003.
• McCormick, B. W. Aerodynamics, Aeronautics, and Flight Mechanics, 2nd ed. Wiley, 1995.

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