19.25 다상 유동과 기포 역학

다상 유동(multiphase flow)은 서로 다른 상(phase) 또는 서로 섞이지 않는 성분이 공존하며 함께 유동하는 계를 기술하는 유체역학의 한 분야이다. 기체-액체, 액체-액체, 고체-유체의 형태가 대표적이며, 로봇 공학에서는 수중 추진기 주변의 캐비테이션, 공압 구동 시스템의 윤활유-공기 혼합 유동, 소프트 로봇 구동 매체 내 기포 거동 등 다양한 상황에서 다상 유동 해석이 요구된다. 본 절에서는 다상 유동의 분류, 지배 방정식, 주요 모델링 기법, 그리고 기포 역학(bubble dynamics)의 기초를 체계적으로 정리한다.

1. 다상 유동의 분류와 유동 양상

다상 유동은 상의 조합과 분산 정도에 따라 분류된다. 상 분포의 기하학적 구조를 기준으로 분산 유동(dispersed flow)과 분리 유동(separated flow)으로 구분되며, 기체-액체 시스템에서는 기포 유동(bubbly flow), 슬러그 유동(slug flow), 환상 유동(annular flow), 분무 유동(mist flow) 등의 대표 양상이 관찰된다. 유동 양상은 상의 체적 분율, 속도, 관 형상에 의존하며, Baker 선도와 Mandhane 선도와 같은 실험적 양상 맵(flow regime map)을 통해 예측된다.

고체-유체 시스템의 경우 입자 충전층(packed bed), 유동층(fluidized bed), 희박 수송(dilute transport) 등으로 구분되며, 각 영역은 입자 레이놀즈 수와 체적 분율로 특징지어진다.

2. 체적 분율과 혼합 변수

다상 유동의 국소 상태는 각 상 $k$ 의 체적 분율 $\alpha_k$ 로 기술되며, 다음 관계가 성립한다.

$\sum_k \alpha_k = 1$

각 상의 겉보기 밀도는 $\rho_k \alpha_k$ 로 주어지며, 혼합 밀도 $\rho_m$ 은 $\rho_m = \sum_k \alpha_k \rho_k$ 로 정의된다. 혼합 속도는 질량 가중 평균 또는 체적 가중 평균으로 정의될 수 있으며, 해석 목적에 따라 적절한 정의가 선택된다.

19.25.3 다상 유동의 지배 방정식

Eulerian-Eulerian 접근법에서는 각 상을 상호 침투하는 연속체로 간주하고, 각 상에 대해 연속 방정식과 운동량 방정식을 개별적으로 작성한다. 상 $k$ 에 대한 연속 방정식은

$\dfrac{\partial (\alpha_k \rho_k)}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_k \rho_k \mathbf{u}_k) = \Gamma_k$

로 표현되며, $\Gamma_k$ 는 상 간 질량 전달(phase change)을 나타낸다. 운동량 방정식은

$\dfrac{\partial (\alpha_k \rho_k \mathbf{u}_k)}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_k \rho_k \mathbf{u}_k \mathbf{u}_k) = -\alpha_k \nabla p + \nabla \cdot (\alpha_k \boldsymbol{\tau}_k) + \alpha_k \rho_k \mathbf{g} + \mathbf{M}_k$

이며, $\mathbf{M}_k$ 는 상 간 운동량 교환 항으로서 항력, 양력, 부가 질량력, 난류 분산력 등을 포함한다. 상 간 운동량 교환 모델의 선택은 해석 정확도에 결정적 영향을 미친다.

19.25.4 Eulerian-Lagrangian 접근법

분산상(dispersed phase)의 체적 분율이 작은 경우, 연속상(continuous phase)을 Eulerian으로 해석하고 개별 입자 또는 기포를 Lagrangian 입자로 추적하는 Eulerian-Lagrangian 접근법이 효과적이다. 각 입자의 운동은

$m_p \dfrac{d \mathbf{u}_p}{d t} = \mathbf{F}_D + \mathbf{F}_L + \mathbf{F}_{AM} + \mathbf{F}_g + \mathbf{F}_p$

의 형태로 기술되며, 여기서 $\mathbf{F}_D$ 는 항력, $\mathbf{F}_L$ 은 양력, $\mathbf{F}_{AM}$ 은 부가 질량력, $\mathbf{F}_g$ 는 중력 및 부력, $\mathbf{F}_p$ 는 압력 기울기 력이다. 대표적 항력 모델로는 Schiller-Naumann 상관식이 있으며, 구형 입자의 레이놀즈 수에 따라 항력 계수를 제공한다.

3. 계면 추적과 Volume of Fluid 법

기체-액체 유동과 같이 뚜렷한 계면(interface)이 존재하는 문제에서는 계면의 위치를 정확히 표현하는 기법이 필요하다. Volume of Fluid(VOF) 법은 체적 분율 $\alpha$ 를 추적 변수로 삼아 다음의 이류 방정식을 만족시킨다.

$\dfrac{\partial \alpha}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \alpha = 0$

Hirt와 Nichols가 제안한 VOF 법은 체적 보존성이 우수하며, 공학적 해석에 널리 사용된다. 이와 대비되는 기법으로 Level Set Method는 부호 거리 함수(signed distance function)를 도입하여 계면의 기하학적 특성을 정확히 계산할 수 있으나, 질량 보존성이 떨어지는 단점이 있다. 두 기법의 장점을 결합한 Coupled Level Set/VOF(CLSVOF)도 개발되어 있다.

19.25.6 표면 장력과 Young-Laplace 관계

계면을 가로질러 압력이 불연속으로 존재하며, 그 크기는 표면 장력과 계면 곡률에 의해 결정된다. Young-Laplace 방정식은 이를 다음과 같이 기술한다.

$\Delta p = \sigma \kappa$

여기서 $\sigma$ 는 표면 장력 계수, $\kappa$ 는 평균 곡률이다. 수치 해석에서는 Brackbill 등이 제안한 Continuum Surface Force(CSF) 모델에 따라 표면 장력을 체적력으로 변환하여 운동량 방정식에 반영한다. Weber 수 $We = \rho V^2 L / \sigma$ 는 관성력과 표면 장력의 비를 나타내며, 기포·액적 변형의 지배 파라미터가 된다.

4. 단일 기포 역학과 Rayleigh-Plesset 방정식

구형 기포의 반경 $R(t)$ 에 대한 운동 방정식은 Rayleigh에 의해 제안되고 Plesset에 의해 확장된 Rayleigh-Plesset 방정식으로 기술된다.

$R \ddot{R} + \dfrac{3}{2} \dot{R}^2 = \dfrac{1}{\rho_L}\left[p_v - p_\infty(t) + p_{g0}\left(\dfrac{R_0}{R}\right)^{3 \kappa} - \dfrac{2 \sigma}{R} - 4 \mu_L \dfrac{\dot{R}}{R}\right]$

여기서 $\rho_L$ 과 $\mu_L$ 은 액체의 밀도와 점성 계수, $p_v$ 는 포화 증기압, $p_\infty$ 는 원거리 유체 압력, $p_{g0}$ 과 $R_0$ 은 기준 상태의 기체 압력과 반경, $\kappa$ 는 폴리트로픽 지수이다. 이 방정식은 기포의 성장, 진동, 붕괴 과정을 묘사하며, 캐비테이션 해석의 이론적 기초를 제공한다.

19.25.8 기포 거동의 특성 수

기포의 운동과 변형은 여러 무차원 수에 의해 특징지어진다. Eötvös 수(또는 Bond 수) $Eo = \Delta \rho g L^2 / \sigma$ 는 중력과 표면 장력의 비, Morton 수 $Mo = g \mu_L^4 \Delta \rho / (\rho_L^2 \sigma^3)$ 는 물성만으로 결정되는 기포 계 특성 수이다. Clift, Grace, Weber가 제시한 $Eo$ - $Mo$ - $Re$ 기포 형상 분류도는 기포의 기하학적 형태(구형, 타원형, 모자형)를 예측하는 데 사용된다.

19.25.9 캐비테이션과 기포 붕괴

액체 내부의 국소 압력이 포화 증기압 이하로 감소하면 기포가 형성되며, 외부 압력이 회복되면 기포는 급격히 수축하여 붕괴한다. 붕괴 과정에서 발생하는 국소 고압과 고온, 마이크로 제트(micro-jet)는 주변 고체 표면을 침식시키는 원인이 된다. 캐비테이션은 수중 프로펠러, 수력 기계, 초음파 세정 장치에서 중요한 현상이며, 로봇 공학의 수중 추진기 설계에서는 반드시 회피 또는 통제되어야 한다.

19.25.10 혼합 모델과 드리프트 플럭스 모델

상 간 상대 속도가 작고 공학적 근사로 충분한 경우, 단일 혼합 운동량 방정식과 상 분율 이류 방정식만을 이용하는 혼합 모델(mixture model)이 사용된다. 드리프트 플럭스 모델(drift-flux model)은 혼합 속도와 상 간 상대 속도(drift velocity)의 관계식을 추가하여 일차원 파이프 유동 해석에 널리 활용된다. Zuber와 Findlay가 제안한 표현식은 다상 유동의 체적 분율과 유량을 연결하는 표준 관계식으로 자리 잡고 있다.

19.25.11 로봇 공학에서의 응용

로봇 공학에서 다상 유동 해석이 요구되는 대표 응용으로는 다음이 포함된다. 수중 로봇의 프로펠러는 캐비테이션 발생 조건을 회피하기 위해 Rayleigh-Plesset 방정식에 기반한 해석을 필요로 한다. 공압 구동 소프트 로봇은 내부 유체 경로에 기포가 혼입되거나 액체-기체 전환이 발생할 수 있으며, 이는 작동 응답 특성을 변화시킨다. 화학 및 환경 탐사용 로봇은 분진, 미세 입자가 섞인 다상 유동 환경에서 작동하므로 입자 분포와 전달 특성을 해석에 반영해야 한다. 본 절에서 정리한 이론과 기법은 이러한 다상 유동 기반 로봇 시스템의 설계와 해석에 이론적 토대를 제공한다.

출처

Brennen, C. E., Fundamentals of Multiphase Flow, Cambridge University Press, 2005.
Brennen, C. E., Cavitation and Bubble Dynamics, Cambridge University Press, 2013.
Ishii, M., and Hibiki, T., Thermo-Fluid Dynamics of Two-Phase Flow, 2nd ed., Springer, 2011.
Clift, R., Grace, J. R., and Weber, M. E., Bubbles, Drops, and Particles, Academic Press, 1978.
Prosperetti, A., and Tryggvason, G., eds., Computational Methods for Multiphase Flow, Cambridge University Press, 2007.
Hirt, C. W., and Nichols, B. D., “Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries,” Journal of Computational Physics, vol. 39, no. 1, pp. 201-225, 1981.

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