19.24 유체-구조 상호작용 (FSI)

유체-구조 상호작용(Fluid-Structure Interaction, FSI)은 변형 가능한 고체 구조가 유체와 접촉면에서 역학적 상호 교환을 수행하는 현상을 기술하는 학문 분야이다. 유체는 구조에 압력과 점성 응력을 가하여 변형과 운동을 유발하며, 구조의 변형은 유체의 경계 조건을 변경시켜 유동장을 수정한다. 이러한 양방향 결합은 단일 물리 해석으로 분리할 수 없으며, 로봇 공학에서는 유연 날개, 소프트 로봇 표피, 수중 로봇 추진기, 부유체 계류 시스템 등 다양한 응용의 해석에 본질적으로 요구된다. 본 절에서는 FSI의 지배 방정식, 결합 전략, 수치 해법, 안정성 이슈를 학술적 관점에서 정리한다.

1. 문제의 정의와 분류

FSI 문제는 유체 도메인 \Omega_f와 구조 도메인 \Omega_s, 그리고 이들 사이의 공통 경계면 \Gamma_{fs}로 구성된다. 상호작용의 강도에 따라 다음과 같이 분류된다.

본 절의 학술적 초점은 양방향 결합을 전제로 한 FSI 해석에 있다.

2. 지배 방정식

유체 영역은 일반적으로 비압축성 나비에-스토크스 방정식으로 기술되며, 구조 영역은 연속체 역학의 운동량 방정식에 의해 지배된다. 유체는 변형되는 도메인 상에서 해석되므로 Arbitrary Lagrangian-Eulerian(ALE) 형식으로 표현된다.

\rho_f \left(\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\bigg|_\chi + (\mathbf{u} - \mathbf{w}) \cdot \nabla \mathbf{u}\right) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}_f

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

여기서 \mathbf{u}는 유체 속도, \mathbf{w}는 격자 속도, \chi는 참조(mesh) 좌표, \boldsymbol{\tau}_f는 점성 응력 텐서이다. 구조 영역의 운동량 방정식은 Lagrangian 기술로 다음과 같이 표현된다.

\rho_s \ddot{\mathbf{d}} = \nabla_0 \cdot \mathbf{P} + \rho_s \mathbf{b}

\mathbf{d}는 변위, \mathbf{P}는 제1 Piola-Kirchhoff 응력 텐서, \nabla_0는 참조 구성에서의 발산 연산자, \mathbf{b}는 체적력이다.

19.24.3 경계면 연성 조건

유체와 구조의 경계면 \Gamma_{fs}에서는 다음 두 연성 조건이 동시에 성립해야 한다.

첫째, 운동학적 조건으로서 유체 속도와 구조 속도가 일치해야 한다.

\mathbf{u} = \dot{\mathbf{d}} \quad \text{on } \Gamma_{fs}

둘째, 동역학적 조건으로서 경계면에 수직인 응력 벡터가 연속이어야 한다.

\boldsymbol{\sigma}_f \cdot \mathbf{n} = \boldsymbol{\sigma}_s \cdot \mathbf{n} \quad \text{on } \Gamma_{fs}

여기서 \mathbf{n}은 경계면의 단위 법선 벡터이다. 두 조건은 질량, 운동량, 에너지의 경계면 보존을 보장하며, 수치적 해법에서는 이들이 엄밀히 혹은 근사적으로 만족되어야 한다.

19.24.4 결합 전략

FSI 해석의 수치 해법은 결합 방식에 따라 분할 접근법(partitioned approach)과 일체형 접근법(monolithic approach)으로 구분된다. 분할 접근법은 유체 해석기와 구조 해석기를 독립적으로 구성하여 경계면을 통해 상호 정보를 교환하며, 소프트웨어 모듈의 재사용성이 뛰어나다. 일체형 접근법은 유체와 구조의 방정식을 단일 연립 시스템으로 결합하여 동시에 해를 구하며, 강한 비선형 결합 문제에서 안정성이 우수하다.

분할 접근법은 다시 명시적(explicit) 교환과 음해적(implicit) 교환으로 구분된다. 명시적 교환은 각 시간 단계에서 한 번씩 정보를 교환하므로 계산 비용이 낮으나 강결합 문제에서 발산할 수 있다. 음해적 교환은 각 시간 단계 내부에서 반복적으로 경계면 조건을 수렴시키며, 이를 위해 Aitken 가속, Interface Quasi-Newton(IQN) 기법 등이 사용된다.

19.24.5 추가 질량 효과와 수치 불안정

유체의 밀도가 구조의 밀도와 비슷하거나 크며 구조가 얇은 경우, 분할 접근법의 명시적 교환 방식은 소위 추가 질량 효과(added mass effect)로 인한 무조건적 수치 불안정성을 초래한다. Causin, Gerbeau, Nobile은 이러한 불안정성을 이론적으로 규명하고, 수중 및 생체 유동과 같은 고밀도 비 조건에서는 음해적 결합 또는 일체형 접근법이 필수적임을 제시하였다. 이는 수중 로봇과 소프트 로봇의 FSI 해석에 있어 핵심적으로 고려해야 할 이론적 경고이다.

19.24.6 격자 변형과 ALE 프레임

유체 도메인의 경계면이 시간에 따라 변화하므로, 유체 격자 역시 경계면을 따라 변형되어야 한다. ALE 프레임은 격자를 Lagrangian과 Eulerian의 중간 상태로 운동시키며, 격자 변형을 위한 보조 방정식으로 라플라스 방정식, 탄성체 유추 기법, 혹은 radial basis function 보간법 등이 사용된다. 대변형이 발생하는 경우 격자 왜곡이 심해지므로 재격자화(remeshing)가 요구되며, 이는 해석 비용의 주요 원인이 된다.

19.24.7 몰입 경계법과 고정 격자 해법

대변형 또는 위상 변화가 동반되는 FSI 문제에서는 격자 변형이 아닌 고정 격자 상에서 경계면을 표현하는 기법이 선호된다. Peskin이 심장 판막 해석을 위해 제안한 몰입 경계법(Immersed Boundary Method, IBM)은 유체 격자를 고정한 상태에서 구조의 위치를 Lagrangian 점으로 표현하고, 경계면 힘을 이산 디랙 델타 함수로 유체 격자에 분산시킨다. 이와 유사하게 Fictitious Domain Method, Immersed Finite Element Method 등이 개발되어 있으며, 이들은 변형이 큰 소프트 로봇과 생체 모사 로봇 해석에 활용된다.

19.24.8 대표적 FSI 물리 현상

FSI 이론은 여러 특징적 물리 현상의 해석에 적용된다. 플러터(flutter)는 공력과 구조 탄성의 결합에 의해 특정 임계 속도에서 불안정한 자기 여기 진동이 발생하는 현상이며, 초기 고정익 항공기 설계의 주요 파괴 원인이었다. 와류 유기 진동(vortex-induced vibration, VIV)은 원통형 구조물 주변에서 형성되는 카르만 와류와 구조의 공진 주파수가 일치할 때 발생한다. 갤러핑(galloping), 버피팅(buffeting), 파라메트릭 공진 역시 FSI의 대표적 현상으로 알려져 있다.

19.24.9 주파수 영역과 감소 차수 모델

정상 상태 주변의 작은 교란을 다루는 경우, 유체와 구조의 선형화된 모델을 결합하여 주파수 영역에서 해석할 수 있다. 공탄성 해석에서는 일반화 공력력(generalized aerodynamic force) 행렬과 구조 모드 행렬을 결합한 공탄성 방정식이 도출되며, p-method와 k-method 등 고전적 해석 기법이 적용된다. 또한 전체 유동장을 저차원 모드로 표현하는 Proper Orthogonal Decomposition(POD), Dynamic Mode Decomposition(DMD) 기반의 감소 차수 모델(Reduced Order Model, ROM)은 실시간 제어기 설계에 활용된다.

19.24.10 에너지 보존과 연성 정합성

시간 적분 기법이 경계면에서 에너지를 정확히 보존하지 못하면 장기간 시뮬레이션에서 수치 에너지 오차가 누적되어 발산할 수 있다. 이를 방지하기 위해 Generalized-α, HHT-α 등 에너지 감쇠 특성이 제어된 시간 적분법과 에너지 보존형 교환 알고리즘이 사용된다. 연성 시간 간격(coupling time step)의 선택과 서브 사이클링 전략도 정합성 확보에 중요한 역할을 한다.

19.24.11 로봇 공학에서의 응용

로봇 공학에서 FSI 해석이 필수적인 대표 응용은 다음과 같다. 소프트 로봇은 자체 탄성 변형이 유체와 강결합되어 동역학이 결정되므로 양방향 FSI 모델링이 요구된다. 유연 익형 무인기와 날갯짓 로봇(flapping-wing MAV)은 공탄성 효과에 의해 성능이 지배되며, 플러터 회피가 안전 설계의 핵심이다. 수중 로봇의 유연 핀(fin) 추진기와 생체 모사 물고기 로봇은 대변형 FSI 해석의 표준 벤치마크 문제를 구성한다. 또한 웨어러블 로봇의 유연 공압 작동기, 부유체 해양 로봇의 계류 케이블 해석에도 FSI 이론이 적용된다. 본 절에서 정립한 원리는 이러한 응용의 해석과 설계에 이론적 토대를 제공한다.

출처

• Bazilevs, Y., Takizawa, K., and Tezduyar, T. E., Computational Fluid-Structure Interaction: Methods and Applications, Wiley, 2013.
• Dowell, E. H., A Modern Course in Aeroelasticity, 5th ed., Springer, 2015.
• Hou, G., Wang, J., and Layton, A., “Numerical Methods for Fluid-Structure Interaction — A Review,” Communications in Computational Physics, vol. 12, no. 2, pp. 337-377, 2012.
• Causin, P., Gerbeau, J. F., and Nobile, F., “Added-mass effect in the design of partitioned algorithms for fluid-structure problems,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 194, pp. 4506-4527, 2005.
• Peskin, C. S., “The immersed boundary method,” Acta Numerica, vol. 11, pp. 479-517, 2002.
• Bungartz, H. J., and Schäfer, M., eds., Fluid-Structure Interaction: Modelling, Simulation, Optimisation, Springer, 2006.

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