19.22 충격파와 초음속 유동 기초

초음속 유동(supersonic flow)은 자유류 마하 수가 1을 초과하는 유동 체제로, 압축파의 전파 속도가 유체의 상대 운동 속도보다 작다는 점에서 아음속 유동과 근본적으로 구별되는 물리적 성격을 갖는다. 초음속 영역에서는 작은 교란이 음속으로 전파되지 못하고 유한한 영역 내부로 누적됨으로써 충격파(shock wave)라 불리는 불연속 면이 형성된다. 본 절에서는 충격파의 형성 메커니즘, 지배 관계식, 대표적 유동 예제를 체계적으로 기술한다.

1. 충격파의 물리적 기원

정지 매질을 관통하여 이동하는 작은 압력 교란은 음속으로 구면파 형태로 전파된다. 교란원이 음속보다 빠르게 이동하면, 각 시점에서 발생한 음파는 교란원 뒤쪽으로 누적되며, 그 포락면(envelope)은 교란원의 운동 방향에 대해 반각(half-angle) $\mu$ 를 갖는 원뿔을 형성한다. 이 각을 마하 각(Mach angle)이라 하며

$\mu = \sin^{-1}\!\left(\dfrac{1}{M}\right)$

로 주어진다. 마하 각으로 구분되는 원뿔 내부의 영역을 마하 원뿔(Mach cone), 혹은 의존 영역(domain of dependence)이라 한다. 유한한 강도를 갖는 교란의 경우 누적된 압력 변화가 불연속에 가까운 면을 형성하며, 이를 충격파로 정의한다.

19.22.2 수직 충격파와 Rankine-Hugoniot 관계식

충격파 면이 유동 방향에 수직인 경우를 수직 충격파(normal shock wave)라 부른다. 충격파 전후의 상태량은 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙과 상태 방정식을 결합한 Rankine-Hugoniot 관계식에 의해 결정된다. 이상 기체에 대해 상류 마하 수 $M_1$ 을 독립 변수로 두면 하류 상태량은 다음과 같이 표현된다.

$M_2^2 = \dfrac{1 + \dfrac{\gamma - 1}{2} M_1^2}{\gamma M_1^2 - \dfrac{\gamma - 1}{2}}$

$\dfrac{p_2}{p_1} = 1 + \dfrac{2 \gamma}{\gamma + 1}(M_1^2 - 1)$

$\dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{(\gamma + 1) M_1^2}{(\gamma - 1) M_1^2 + 2}$

$\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{p_2}{p_1} \cdot \dfrac{\rho_1}{\rho_2}$

위 관계식은 $M_1 > 1$ 인 경우에 한해 엔트로피가 증가하는 물리적으로 허용되는 해를 제공한다. 수직 충격파를 통과한 유동은 항상 아음속으로 감속되며, 정체 압력은 비가역적 과정으로 인해 감소하나 정체 온도는 단열 조건에서 보존된다.

19.22.3 정체 압력 손실과 엔트로피 증가

충격파를 통과할 때 발생하는 정체 압력 비는 다음과 같다.

$\dfrac{p_{0,2}}{p_{0,1}} = \left[\dfrac{(\gamma + 1) M_1^2}{(\gamma - 1) M_1^2 + 2}\right]^{\gamma/(\gamma - 1)} \left[\dfrac{\gamma + 1}{2 \gamma M_1^2 - (\gamma - 1)}\right]^{1/(\gamma - 1)}$

이 비는 $M_1 = 1$ 에서 1이고 $M_1$ 이 증가할수록 감소한다. 엔트로피 증가량은 $\Delta s = -R \ln(p_{0,2}/p_{0,1})$ 로 주어지며, 이는 충격파가 본질적으로 비가역 과정임을 정량적으로 보여 준다. 정체 압력 손실은 초음속 흡입구(supersonic inlet) 설계에서 성능을 결정짓는 핵심 지표이다.

2. 경사 충격파

물체 표면과 유동 방향 사이의 각도가 유한한 경우, 충격파 면은 자유류 방향에 대해 기울어진 각도를 갖는 경사 충격파(oblique shock wave)가 된다. 경사 충격파의 각도 $\beta$ , 편향 각 $\theta$ , 상류 마하 수 $M_1$ 사이에는 $\theta$ - $\beta$ - $M$ 관계식

$\tan \theta = 2 \cot \beta \cdot \dfrac{M_1^2 \sin^2 \beta - 1}{M_1^2 (\gamma + \cos 2\beta) + 2}$

이 성립한다. 주어진 $M_1$ 과 $\theta$ 에 대해 일반적으로 두 개의 해가 존재하며, 하나는 약한(weak) 해, 다른 하나는 강한(strong) 해로 구분된다. 물리적 관측에서는 외부 경계 조건이 특별히 요구하지 않는 한 약한 해가 실현된다. 편향 각이 일정 임계값 $\theta_{\max}(M_1)$ 을 초과하면 부착된 경사 충격파 해가 존재하지 않으며, 대신 분리된(detached) 곡선 충격파가 물체 앞쪽에 형성된다.

경사 충격파 전후의 상태량은 상류 마하 수의 법선 성분 $M_{1n} = M_1 \sin \beta$ 를 수직 충격파 관계식에 대입하여 산출할 수 있다.

19.22.5 Prandtl-Meyer 팽창파

초음속 유동이 볼록한 모서리를 따라 진행하는 경우, 유동은 일련의 마하파(Mach wave)를 통해 연속적으로 팽창하며 이를 Prandtl-Meyer 팽창파(expansion fan)라 부른다. 팽창 과정은 등엔트로피 과정이며, 유동 방향의 변화량과 마하 수의 변화는 Prandtl-Meyer 함수

$\nu(M) = \sqrt{\dfrac{\gamma + 1}{\gamma - 1}} \tan^{-1}\!\sqrt{\dfrac{\gamma - 1}{\gamma + 1}(M^2 - 1)} - \tan^{-1}\!\sqrt{M^2 - 1}$

를 통해 연결된다. 편향 각 $\Delta \theta$ 에 대해 $\nu(M_2) = \nu(M_1) + \Delta \theta$ 의 관계가 성립하며, 팽창을 거친 유동은 마하 수가 증가하고 압력, 온도, 밀도가 모두 감소한다.

3. 초음속 익형의 선형 공력 이론

얇은 익형에 대한 초음속 공력 해석에서는 Ackeret의 선형 이론이 기본 근사를 제공한다. 자유류 마하 수 $M_\infty$ , 국소 표면 경사각 $\theta$ 에 대해 표면 압력 계수는 다음과 같이 근사된다.

$C_p = \dfrac{2 \theta}{\sqrt{M_\infty^2 - 1}}$

이 결과로부터 얇은 평판의 양력 계수와 파동 항력 계수는 각각

$C_L = \dfrac{4 \alpha}{\sqrt{M_\infty^2 - 1}}, \qquad C_{D_w} = \dfrac{4 \alpha^2}{\sqrt{M_\infty^2 - 1}}$

로 주어진다. 여기서 $\alpha$ 는 받음각이다. 파동 항력의 존재는 초음속 유동에서 항력 저감이 아음속 유동과 본질적으로 다른 원리를 요구함을 시사한다.

4. 노즐 내부의 초음속 유동

초음속 유동은 자연 상태에서 쉽게 형성되지 않으며, 수축-확대 노즐(converging-diverging nozzle)을 통해 인공적으로 생성된다. 일차원 등엔트로피 유동 이론에 따르면 단면적 $A$ 와 마하 수 $M$ 은 다음 관계를 만족한다.

$\dfrac{A}{A^*} = \dfrac{1}{M}\left[\dfrac{2}{\gamma + 1}\left(1 + \dfrac{\gamma - 1}{2} M^2\right)\right]^{(\gamma + 1)/[2(\gamma - 1)]}$

여기서 $A^*$ 는 마하 수가 1에 도달하는 목(throat) 단면적이다. 배압(back pressure)이 충분히 낮은 경우 노즐 목에서 초킹(choking)이 발생하며, 이후 확대부에서 초음속으로 가속된다. 배압 조건에 따라 노즐 내부 또는 출구 부근에서 수직 충격파, 경사 충격파, 또는 팽창파가 형성된다.

19.22.8 초음속 유동의 수학적 성격

초음속 영역의 정상 유동을 지배하는 선형화된 퍼텐셜 방정식은

$(1 - M_\infty^2)\dfrac{\partial^2 \phi'}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 \phi'}{\partial y^2} = 0$

의 형태를 가지며, $M_\infty > 1$ 일 때 계수의 부호 반전에 의해 쌍곡형(hyperbolic) 편미분 방정식이 된다. 이로부터 해는 특성선(characteristics)을 따라 전파되며, 의존 영역과 영향 영역(domain of influence)이 마하 원뿔에 의해 명확히 구분된다. 이러한 수학적 성질은 특성 법(method of characteristics)이라는 수치 해법의 토대를 제공한다.

5. 실제 기체 효과와 고온 유동

마하 수가 매우 큰 극초음속 영역에서는 공기 분자의 진동 모드 여기, 해리, 이온화 등 실제 기체 효과가 지배적이 된다. 이상 기체 가정을 기반으로 한 $\gamma$ 가 일정하다는 조건이 더 이상 성립하지 않으며, 충격파 통과 후 매우 높은 온도가 발생하여 열화학적 비평형 현상이 동반된다. 이러한 조건에서는 Lighthill 기체 모델이나 다성분 화학 반응을 포함하는 확장된 유동 해석이 필요하다.

6. 로봇 공학에서의 의의와 적용

일반적인 지상 및 저고도 항공 로봇은 초음속 영역에서 작동하지 않으나, 초음속 풍동 시험, 초음속 항공기 자율 비행 연구, 고속 발사체 제어 등에서는 본 절에서 기술한 충격파 이론이 필수적으로 요구된다. 또한 로봇의 고속 작동기 내부 유동, 고압 공압 실린더의 노즐 유동, 초고속 냉각 분사 장치의 해석에도 수직 충격파와 수축-확대 노즐 이론이 직접적으로 적용된다. 본 절의 내용은 추후 고속 비행 제어 및 추진 시스템 해석의 기초를 제공한다.

7. 출처

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Anderson, J. D., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
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Shapiro, A. H., The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Ronald Press, 1953.
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Hirschel, E. H., Basics of Aerothermodynamics, 2nd ed., Springer, 2015.

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