19.21 압축성 유동과 마하 수

압축성 유동(compressible flow)은 유체 입자의 밀도 변화를 유동 해석에서 무시할 수 없는 경우의 유동을 지칭한다. 저속 비압축성 유동에서는 밀도를 일정하다고 가정할 수 있으나, 유속이 음속에 근접하거나 온도·압력 변화가 커지면 상태량 변화가 유동 거동에 지배적 영향을 미치게 된다. 본 절에서는 압축성 유동의 기초 원리를 정리하고, 유동 체제를 분류하는 핵심 무차원 수인 마하 수(Mach number)의 정의와 의미를 체계적으로 기술한다.

1. 압축성과 밀도 변화의 의미

기체의 압축성은 압력 변화에 따른 밀도 변화의 척도로 정의된다. 등온 조건에서의 등온 압축률(isothermal compressibility) \beta_T와 등엔트로피 조건에서의 등엔트로피 압축률(isentropic compressibility) \beta_s는 각각 다음과 같이 정의된다.

\beta_T = -\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T, \qquad \beta_s = -\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_s

비압축성 가정은 밀도 변화율이 충분히 작은 경우에 한해 타당하며, 일반적으로 밀도 변화가 약 5% 이하인 조건을 경계로 삼는다. 이 기준은 후술하는 마하 수 약 0.3에 대응된다.

19.21.2 음속의 정의와 유도

음속(speed of sound) a는 미소 압력 교란이 정지 매질 내에서 전파되는 속도로 정의된다. 압력 교란이 등엔트로피 과정으로 전파된다고 가정하고 연속 방정식과 운동량 방정식을 선형화하면

a^2 = \left(\dfrac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s

를 얻는다. 이상 기체(ideal gas)에 대해 등엔트로피 관계식을 적용하면

a = \sqrt{\gamma R T}

로 표현된다. 여기서 \gamma는 비열비(specific heat ratio), R은 기체 상수, T는 절대 온도이다. 표준 대기 조건인 T = 288.15\,\mathrm{K}, 건조 공기에 대해 a \approx 340\,\mathrm{m/s}의 값이 산출된다.

19.21.3 마하 수의 정의와 물리적 의미

마하 수 M은 국소 유속 V와 국소 음속 a의 비로 정의되며, 오스트리아의 물리학자 Ernst Mach의 이름에서 유래한다.

M = \dfrac{V}{a}

마하 수는 운동 에너지와 내부 에너지의 비를 척도화한 양으로 해석할 수 있으며, 구체적으로 이상 기체에서 유체의 거시적 운동 에너지와 열역학적 내부 에너지 사이의 상대적 크기를 반영한다. 마하 수가 작을수록 관성 효과 대비 열역학적 효과가 상대적으로 크고, 커질수록 운동 에너지가 지배적이 된다.

2. 마하 수에 따른 유동 체제 분류

마하 수는 유동의 물리적 성격과 지배 방정식의 수학적 형태를 동시에 구분짓는 핵심 지표이며, 일반적으로 다음과 같이 분류된다.

경계값은 엄밀한 물리적 경계가 아닌 관례적 기준이며, 형상과 유동 조건에 따라 다소 조정될 수 있다.

3. 등엔트로피 유동 관계식

에너지 방정식에 단열·가역 조건을 부여하면 정체량(stagnation quantity)과 정적량(static quantity)을 연결하는 등엔트로피 관계식이 유도된다. 정체 온도 T_0, 정체 압력 p_0, 정체 밀도 \rho_0는 유동을 가역적으로 정지 상태까지 감속시켰을 때의 상태량으로 정의되며, 이상 기체에 대해 다음과 같이 표현된다.

\dfrac{T_0}{T} = 1 + \dfrac{\gamma - 1}{2} M^2

\dfrac{p_0}{p} = \left(1 + \dfrac{\gamma - 1}{2} M^2\right)^{\gamma / (\gamma - 1)}

\dfrac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \dfrac{\gamma - 1}{2} M^2\right)^{1 / (\gamma - 1)}

위 식들은 압축성 효과가 마하 수에 대해 비선형적으로 증가함을 명확히 드러낸다. 예컨대 \gamma = 1.4, M = 0.3 조건에서 정체 압력 비는 약 1.064에 해당하여 밀도 변화가 약 4.5%에 머무른다.

19.21.6 비압축성 근사와 Prandtl-Glauert 보정

아음속 영역에서 기존의 비압축성 해석 결과를 활용하기 위해 압축성 보정 기법이 도입된다. Prandtl-Glauert 보정식은 얇은 익형에 대해 압력 계수가 다음과 같이 수정됨을 보인다.

C_{p, c} = \dfrac{C_{p, 0}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}

여기서 C_{p, 0}은 비압축성 해로 얻은 압력 계수이며, M_\infty는 자유류 마하 수이다. 이 관계는 작은 교란 가정 아래에서 선형 퍼텐셜 방정식으로부터 유도되며, 약 M_\infty = 0.7까지 공학적 정확도를 제공한다. 보다 고차의 보정으로는 Kármán-Tsien 보정과 Laitone 보정이 존재한다.

4. 임계 마하 수와 항력 발산

익형이나 동체 표면에서의 가속으로 인해 국소 마하 수가 1에 도달하는 자유류 마하 수를 임계 마하 수(critical Mach number) M_{cr}이라 정의한다. 자유류 마하 수가 M_{cr}을 초과하면 국소 초음속 영역이 형성되며, 이에 뒤따르는 충격파로 인해 파동 항력(wave drag)이 급격히 증가한다. 이때의 마하 수를 항력 발산 마하 수(drag divergence Mach number) M_{dd}라 부르며, M_{dd}는 대개 M_{cr}보다 약간 크다. 천음속 영역에서 항력 계수가 급증하는 현상은 초기 제트 항공기 설계의 주요 난제였으며, 이를 완화하기 위해 후퇴익(swept wing), 초임계 익형(supercritical airfoil), 면적 법칙(area rule) 등이 개발되었다.

5. 압축성 지배 방정식

압축성 유동은 질량, 운동량, 에너지 보존 법칙과 상태 방정식의 연립을 통해 기술된다. 비점성·비전도 조건에서는 오일러 방정식이, 점성과 열전도를 포함하는 일반 조건에서는 나비에-스토크스 방정식이 지배 방정식이 된다. 압축성 형태의 연속 방정식은

\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{V}) = 0

으로 표현되며, 에너지 방정식은 내부 에너지 또는 전엔탈피 형태로 작성된다. 상태 방정식으로는 이상 기체의 경우 p = \rho R T가 사용된다. 이 연립 체계는 마하 수에 따라 타원형, 쌍곡형, 혼합형의 수학적 성질을 가지므로 수치 해법에서도 서로 다른 기법이 요구된다.

19.21.9 압축성 경계층과 점성 효과

고속 유동의 경계층 내부에서는 점성 소산에 의해 온도가 상승하며, 이에 따라 밀도와 점성 계수가 위치에 따라 크게 변동한다. 단열벽 조건에서 회복 온도(recovery temperature)는

T_{aw} = T_\infty \left(1 + r \dfrac{\gamma - 1}{2} M_\infty^2 \right)

로 근사되며, r은 회복 인자(recovery factor)이다. 층류의 경우 r \approx \sqrt{Pr}, 난류의 경우 r \approx Pr^{1/3}로 알려져 있으며, Pr은 프란틀 수이다. 압축성 경계층의 해석은 Van Driest 변환과 같은 이론적 도구를 통해 비압축성 해와의 연결이 가능하다.

6. Crocco 정리와 엔트로피 변화

Crocco 정리는 정상, 단열, 비점성 조건에서 전엔탈피, 엔트로피, 와도(vorticity) 사이의 관계를 다음과 같이 제시한다.

\mathbf{V} \times \boldsymbol{\omega} = \nabla h_0 - T \nabla s

이 정리는 균일 전엔탈피 유동에서 엔트로피 증가가 와도의 생성과 밀접하게 연관됨을 보여 주며, 충격파 후류에서 와도가 발생하는 메커니즘을 해석하는 데 활용된다.

19.21.11 로봇 공학에서의 관련성

로봇 공학에서 압축성 유동은 고속 비행 로봇 플랫폼과 일부 반응형 추진 시스템의 해석에 관여한다. 일반적인 멀티로터 무인 항공기의 비행 속도는 저아음속 이하에 해당하여 비압축성 가정이 유효하나, 헬리콥터 블레이드 팁과 고속 고정익 무인기의 일부 영역에서는 마하 수가 0.3 이상에 이르러 압축성 보정이 요구된다. 또한 공압 구동 로봇, 제트 추진 실험 로봇, 고속 풍동 시험 등에서도 음속, 정체 상태량, 등엔트로피 관계식을 기반으로 한 해석이 필수적이다. 본 절에서 정리한 마하 수 기반의 유동 체제 구분은 후속 해석과 설계의 이론적 토대를 제공한다.

출처

• Anderson, J. D., Modern Compressible Flow: With Historical Perspective, 3rd ed., McGraw-Hill, 2003.
• Anderson, J. D., Fundamentals of Aerodynamics, 6th ed., McGraw-Hill, 2017.
• Liepmann, H. W., and Roshko, A., Elements of Gasdynamics, Dover Publications, 2001.
• Shapiro, A. H., The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Ronald Press, 1953.
• Zucker, R. D., and Biblarz, O., Fundamentals of Gas Dynamics, 2nd ed., Wiley, 2002.
• White, F. M., Viscous Fluid Flow, 3rd ed., McGraw-Hill, 2006.

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