17.43 동역학 모델의 선형화 기법

1. 개요

로봇 동역학 방정식은 본질적으로 강한 비선형성을 가지므로, 선형 제어 이론과 분석 도구를 적용하기 위해서는 적절한 선형화 절차가 요구된다. 선형화는 공칭 궤적 또는 평형점 근처에서 비선형 동역학을 일차 근사로 전개하여, 국소적 거동을 선형 시스템으로 기술하는 기법이다. 이 절차는 안정성 해석, 극점 배치 설계, 선형 상태 추정기 설계, 최적 제어 문제의 선형 이차 정식화에 활용되며, 비선형 제어 기법에서도 전처리 단계로 빈번히 사용된다. 본 절은 평형점 근사 선형화, 궤적 선형화, 부분 선형화, 피드백 선형화, 시변 선형화, 선형 매개변수 변동 모델, 자코비안의 해석적 및 수치적 계산, 선형화의 유효 범위와 한계를 체계적으로 정리한다.

2. 비선형 동역학 방정식의 상태 공간 표현

선형화 절차는 먼저 동역학 방정식을 상태 공간 형태로 정식화하는 데서 출발한다. 상태 벡터 \mathbf{x} = [q^\top,\dot{q}^\top]^\top \in \mathbb{R}^{2n}와 입력 \mathbf{u} = \tau를 정의하면 다음과 같이 표현된다.

\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u}) = \begin{bmatrix}\dot{q} \\ M(q)^{-1}\!\bigl(\mathbf{u} - C(q,\dot{q})\dot{q} - g(q) - \tau_f(\dot{q})\bigr)\end{bmatrix}

이 비선형 벡터장 \mathbf{f}는 매끄러운 함수이며, 선형화는 이 벡터장의 야코비 행렬을 기준점에서 평가하는 절차로 환원된다.

평형점 근방의 선형화

평형점 (\mathbf{x}_0,\mathbf{u}_0)는 \mathbf{f}(\mathbf{x}_0,\mathbf{u}_0)=0을 만족하는 점이며, 로봇의 경우 일반적으로 정지 자세와 그 자세에서 중력과 마찰을 균형하는 토크로 주어진다. 편차 변수 \delta\mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0, \delta\mathbf{u} = \mathbf{u} - \mathbf{u}_0에 대한 일차 테일러 전개는 다음의 선형 시스템을 산출한다.

\delta\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\,\delta\mathbf{x} + \mathbf{B}\,\delta\mathbf{u}

\mathbf{A} = \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\right|_{(\mathbf{x}_0,\mathbf{u}_0)},\qquad \mathbf{B} = \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}}\right|_{(\mathbf{x}_0,\mathbf{u}_0)}

이 근사는 \delta\mathbf{x}와 \delta\mathbf{u}가 충분히 작은 영역에서만 유효하며, 국소 안정성 해석과 국소 선형 제어기 설계의 출발점이 된다.

로봇 동역학의 자코비안 구조

동역학의 야코비 행렬은 구체적으로 다음과 같은 블록 형태를 가진다.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -M^{-1}\dfrac{\partial (C\dot{q}+g+\tau_f)}{\partial q} & -M^{-1}\dfrac{\partial (C\dot{q}+\tau_f)}{\partial \dot{q}} \end{bmatrix},\qquad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ M^{-1} \end{bmatrix}

평형점 \dot{q}=0에서는 코리올리 항이 소실되어 표현이 크게 단순화되며, \partial g/\partial q가 위치 강성 행렬의 역할을, 마찰 미분이 감쇠 행렬의 역할을 맡는다. 이 구조는 중력이 있는 공간에서 로봇이 유사 스프링-질량-감쇠 시스템으로 해석될 수 있음을 보여 준다.

3. 공칭 궤적 주변의 시변 선형화

로봇이 공칭 궤적 \mathbf{x}_d(t),\mathbf{u}_d(t)를 따라 운동하는 상황에서는 시변 선형화가 사용된다. 궤적을 따라 시간에 의존하는 자코비안을 평가하여 다음의 선형 시변(LTV) 시스템을 얻는다.

\delta\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(t)\,\delta\mathbf{x} + \mathbf{B}(t)\,\delta\mathbf{u}

\mathbf{A}(t) = \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}}\right|_{(\mathbf{x}_d(t),\mathbf{u}_d(t))},\qquad \mathbf{B}(t) = \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{u}}\right|_{(\mathbf{x}_d(t),\mathbf{u}_d(t))}

이 LTV 모델은 궤적 추종 제어기의 오차 동역학을 기술하며, 시변 LQR과 이산 리카티 방정식 기반 최적 제어 설계에 직접 활용된다. 궤적이 느리게 변화한다면 동결 시스템(frozen-time) 근사를 통해 각 시점에서 국소 시불변 분석이 수행될 수 있다.

4. 피드백 선형화

피드백 선형화(feedback linearization)는 잘 알려진 비선형 변환과 상태 피드백을 통해 시스템을 완전히 선형화하는 기법이다. 로봇 동역학에 대해 계산 토크 법이 적용되면 다음의 제어 입력이 사용된다.

\tau = M(q)\mathbf{v} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) + \tau_f(\dot{q})

이 입력을 방정식에 대입하면 폐회로 동역학이 \ddot{q}=\mathbf{v}의 형태가 되어 이중 적분기 체계로 환원된다. 이는 근사 선형화가 아닌 대수적 완전 선형화이며, 로봇 매개변수가 정확히 알려져 있다는 가정 하에서 전역적으로 유효하다. Spong, Vidyasagar, Slotine-Li 등은 피드백 선형화의 이론적 기초와 로봇에의 적용을 체계화하였다.

부분 선형화와 출력 선형화

일부 시스템은 전체 상태에 대한 피드백 선형화가 불가능하거나 비실용적이며, 이 경우 부분 선형화가 사용된다. 유연 관절 로봇은 대표적 예로, 강체 부분은 피드백 선형화 가능하지만 탄성 부분은 잔여 비선형 동역학으로 남는다. 출력 선형화(input-output linearization)는 선택된 출력의 시간 미분이 입력에 명시적으로 나타날 때까지 리 미분을 반복함으로써 입력-출력 관계를 선형화하는 기법이며, 내부 동역학(zero dynamics)의 안정성을 별도로 점검해야 한다.

선형 매개변수 변동 모델

비선형 동역학의 종속성을 매개변수 \rho(t)로 추출하여 다음의 선형 매개변수 변동(linear parameter-varying, LPV) 모델로 기술하는 접근이 있다.

\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}(\rho)\,\mathbf{x} + \mathbf{B}(\rho)\,\mathbf{u}

여기서 \rho는 관절 각도, 구성 매개변수, 부하 등이 될 수 있으며, \mathbf{A},\mathbf{B}는 \rho에 대해 아핀 또는 다항식 형태로 표현된다. LPV 프레임워크는 게인 스케줄링 제어와 강인 제어의 체계적 설계에 유용하며, 다면체 볼록 외포(polytopic embedding) 기법과 결합하여 LMI 기반 합성이 가능하다.

5. 자코비안의 해석적 및 수치적 계산

선형화 행렬 \mathbf{A},\mathbf{B}의 계산은 해석적 방법과 수치적 방법으로 구분된다. 해석적 계산은 동역학 방정식의 기호적 미분을 통해 얻어지며, 기호 연산 소프트웨어나 반자동 도구로 수행된다. 수치적 계산은 유한 차분을 이용하는 단순한 방법 외에도, 복소 단계 미분(complex-step differentiation)과 자동 미분(algorithmic differentiation)이 더 높은 정확도를 제공한다. 특히 Pinocchio와 같은 현대적 강체 동역학 라이브러리는 RNEA와 CRBA의 해석적 미분을 제공하여, 선형화 행렬을 정밀하고 효율적으로 계산한다.

6. 이산 시간 선형화

이산 시간 제어 설계에서는 연속 시간 선형화 뒤 이산화가 수행된다. 작은 샘플링 주기 T_s에 대해 영차 유지(ZOH) 이산화는 다음과 같다.

\mathbf{A}_d = e^{\mathbf{A}T_s},\qquad \mathbf{B}_d = \int_0^{T_s} e^{\mathbf{A}\sigma}\,d\sigma\,\mathbf{B}

근사적으로는 \mathbf{A}_d \approx I + \mathbf{A}T_s와 \mathbf{B}_d \approx \mathbf{B}T_s가 사용되며, 이는 오일러 전진 이산화에 해당한다. 샘플링 주기가 시스템 시상수에 비해 충분히 작을 때 이 근사는 적절하며, 그렇지 않으면 쌍일차 변환(Tustin)이 더 정확한 결과를 제공한다.

선형화의 유효 범위와 한계

선형 근사의 유효 범위는 상태와 입력의 편차 크기, 자코비안의 조건수, 고차 항의 크기에 의해 결정된다. 로봇의 경우 관절 각도가 몇 도 범위를 초과하거나 가속도가 크게 변하면 선형 근사의 오차가 급격히 증가한다. 특히 M(q)의 형상 의존성이 큰 부위에서는 고차 항이 무시되지 못한다. 이 때문에 광범위한 작업 영역에서의 제어 설계는 선형 모델 한 개로는 충분하지 못하며, 복수의 선형화 모델을 결합하는 게인 스케줄링이나 비선형 제어 기법으로 보완된다.

본 절의 의의

본 절은 비선형 동역학 방정식을 선형 분석 및 설계 도구에 연결하는 다양한 선형화 기법을 체계적으로 정리한다. 평형점 선형화, 궤적 선형화, 피드백 선형화, 출력 선형화, LPV 표현, 이산화 절차는 모두 로봇 제어 설계의 핵심 전처리 단계이며, 각 기법은 적용 상황과 요구되는 정밀도에 따라 선택된다. 이러한 선형화 결과는 후속 절에서 다룰 안정성 해석의 직접적 입력이 되며, 선형 이론의 풍부한 해석 도구를 비선형 로봇 시스템 연구에 이식할 수 있게 한다.

학습 권장사항

독자는 2자유도 매니퓰레이터에 대해 정지 평형점에서 해석적 선형화를 수행하고, \mathbf{A},\mathbf{B} 행렬을 명시적으로 유도해 볼 것을 권장한다. 이어서 같은 시스템에 대해 유한 차분 기반 수치 선형화를 구현하여 해석적 결과와 비교하면 수치 정확성의 감각을 익힐 수 있다. 공칭 궤적 주변의 LTV 선형화를 계산하여 시변 자코비안의 변동을 시각화하는 실습은 궤적 기반 제어의 직관을 높이며, 계산 토크 기반 피드백 선형화를 시뮬레이션으로 구현하여 근사 선형화와의 성능 차이를 비교하는 것도 유익하다.

참고 문헌

• Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems (3rd ed.). Prentice Hall.
• Slotine, J.-J. E., & Li, W. (1991). Applied Nonlinear Control. Prentice Hall.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
• Isidori, A. (1995). Nonlinear Control Systems (3rd ed.). Springer.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Carpentier, J., & Mansard, N. (2018). Analytical derivatives of rigid body dynamics algorithms. Robotics: Science and Systems.
• Leith, D. J., & Leithead, W. E. (2000). Survey of gain-scheduling analysis and design. International Journal of Control, 73(11), 1001–1025.

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