17.4 외력과 관절 토크의 정적 관계

1. 개요

직렬 매니퓰레이터 또는 다관절 로봇 시스템이 환경과 접촉하여 말단에서 외력을 주고받을 때, 그 외력이 각 관절의 액추에이터가 발생시켜야 할 토크와 어떠한 정적 관계를 가지는지는 로봇 정역학의 핵심 주제이다. 이 관계는 로봇이 원하는 작업 공간 힘을 환경에 가하기 위하여 어떠한 관절 토크 조합이 필요한지를 규정하며, 역으로 외력이 존재하는 상황에서 관절 토크를 측정함으로써 말단에 작용하는 외력을 추정할 수 있는 기초를 제공한다.

본 절에서는 외력과 관절 토크 사이의 정적 관계를 가상 일의 원리에 기반하여 유도하고, 그 물리적 의미와 수학적 구조, 그리고 로봇공학적 해석을 학술적으로 기술한다. 본 절은 정역학의 기본 원리와 자유물체도 분석에 이어서, 링크별 재귀 분석이 아닌 시스템 전체 관점에서의 통합적 관계식을 도출하는 데 그 목적이 있다.

2. 문제 설정

$n$ 개의 관절을 갖는 직렬 매니퓰레이터를 고려한다. 관절 변수는 벡터 $\mathbf{q} = [q_1, q_2, \ldots, q_n]^T \in \mathbb{R}^n$ 으로 표시하며, 관절이 회전 관절인 경우 $q_i$ 는 관절각을, 병진 관절인 경우 관절 변위를 의미한다. 각 관절에서 액추에이터가 공급하는 일반화된 힘을 $\tau_i$ 로 표시하며, 이를 관절 토크 벡터 $\boldsymbol{\tau} = [\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_n]^T \in \mathbb{R}^n$ 으로 묶는다. 회전 관절의 경우 $\tau_i$ 는 축 방향 토크의 단위를, 병진 관절의 경우 축 방향 힘의 단위를 갖는다.

말단 효과기는 기준 좌표계에 대하여 위치 $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^3$ 와 방향으로 그 자세가 표현되며, 말단에 작용하는 외부 일반화 힘을 $\mathbf{F}_e = [\mathbf{f}_e^T, \mathbf{m}_e^T]^T \in \mathbb{R}^6$ 으로 표시한다. 여기서 $\mathbf{f}_e \in \mathbb{R}^3$ 는 선형 힘 성분이고, $\mathbf{m}_e \in \mathbb{R}^3$ 는 모멘트 성분이다. 이러한 선형 힘과 모멘트를 하나의 벡터로 결합한 객체를 렌치(wrench)라 부른다.

본 절에서 고려하는 상황은 로봇이 정적 평형 상태에 있으면서 말단 효과기가 환경에 렌치 $\mathbf{F}_e$ 를 가하는 경우이다. 관성력과 속도 의존 힘은 영이며, 중력에 의한 기여는 별도의 항으로 분리하여 고려한다.

3. 가상 일의 원리

외력과 관절 토크의 정적 관계는 가상 일의 원리(principle of virtual work)를 통하여 가장 간결하게 유도된다. 가상 일의 원리는 평형 상태에 있는 제약된 역학 시스템에서, 제약 조건을 만족하는 임의의 가상 변위에 대하여 외력이 한 총 가상 일이 영이 된다는 원리이다.

직렬 매니퓰레이터의 경우 독립 변수는 관절 변수 $\mathbf{q}$ 이며, 가상 관절 변위를 $\delta \mathbf{q}$ 로 표시한다. 이에 대응하는 말단 효과기의 가상 변위는 관절 변위와 연계되어 있으며, 그 관계는 매니퓰레이터의 기하학적 자코비안(geometric Jacobian) $\mathbf{J}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{6 \times n}$ 을 통하여 다음과 같이 표현된다.

$\delta \mathbf{x} = \mathbf{J}(\mathbf{q}) \, \delta \mathbf{q}$

여기서 $\delta \mathbf{x} = [\delta \mathbf{p}^T, \delta \boldsymbol{\phi}^T]^T \in \mathbb{R}^6$ 는 말단의 선형 가상 변위 $\delta \mathbf{p}$ 와 각 가상 변위 $\delta \boldsymbol{\phi}$ 를 결합한 벡터이다.

평형 상태에서 시스템에 작용하는 모든 힘이 한 가상 일의 총합이 영이 되어야 한다. 관절 액추에이터가 가한 가상 일과 환경이 말단 효과기에 가한 가상 일을 합하여 다음을 얻는다.

$\delta W = \boldsymbol{\tau}^T \delta \mathbf{q} - \mathbf{F}_e^T \delta \mathbf{x} = 0$

여기서 첫 번째 항은 관절 액추에이터가 수행한 내부 가상 일이고, 두 번째 항은 로봇이 환경에 일을 가하고 있는 상황이므로 환경이 로봇에 가한 가상 일은 음의 부호를 갖는다. 부호 규약은 외력의 정의 방향에 따라 달라지나, $\mathbf{F}_e$ 를 로봇이 환경에 가하는 힘으로 정의하면 위의 형식이 표준적이다.

$\delta \mathbf{x} = \mathbf{J} \, \delta \mathbf{q}$ 를 대입하면 다음이 얻어진다.

$\boldsymbol{\tau}^T \delta \mathbf{q} - \mathbf{F}_e^T \mathbf{J}(\mathbf{q}) \, \delta \mathbf{q} = 0$

이 식을 정리하면 다음과 같다.

$\left( \boldsymbol{\tau}^T - \mathbf{F}_e^T \mathbf{J}(\mathbf{q}) \right) \delta \mathbf{q} = 0$

가상 변위 $\delta \mathbf{q}$ 는 관절 공간 내에서 임의로 선택 가능하므로, 위 등식이 모든 $\delta \mathbf{q}$ 에 대하여 성립하려면 괄호 안의 계수가 영이어야 한다. 양변을 전치하면 다음의 정적 관계식이 얻어진다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \, \mathbf{F}_e$

이 관계식은 로봇 정역학의 가장 중요한 결과 중 하나이며, 말단 효과기에 작용하는 외부 렌치와 관절 토크 사이의 정적 관계를 완결적으로 규정한다.

관계식의 물리적 의미

유도된 관계식 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T \mathbf{F}_e$ 는 다음과 같은 물리적 의미를 갖는다.

첫째, 이 식은 에너지 보존의 정적 표현이다. 관절 공간에서 공급되는 일률과 작업 공간에서 수행되는 일률이 평형 상태에서 동일해야 한다는 조건이 수식의 본질이다. 따라서 자코비안 전치 관계는 순수한 기하학적 관계에 그치지 않고, 에너지적 대응성을 내포한다.

둘째, 이 관계는 선형이며 대수적이다. 즉 주어진 매니퓰레이터 자세 $\mathbf{q}$ 에서 자코비안이 결정되면, 외력 $\mathbf{F}_e$ 와 관절 토크 $\boldsymbol{\tau}$ 는 선형 변환에 의하여 직접 연결된다. 따라서 복잡한 미분 방정식의 풀이를 요구하지 않는다.

셋째, 이 관계는 자세 의존적이다. 자코비안 $\mathbf{J}(\mathbf{q})$ 는 관절 변수의 함수이므로, 동일한 외력이라도 매니퓰레이터의 자세에 따라 필요한 관절 토크가 달라진다. 이는 특정 자세에서는 작은 관절 토크로 큰 외력을 감당할 수 있는 반면, 다른 자세에서는 동일한 외력을 위하여 과도한 토크가 요구될 수 있음을 의미한다.

넷째, 이 관계는 중력과 기타 정적 하중을 포함하지 않는 순수한 외부 상호작용 힘의 기여만을 표현한다. 실제 로봇의 완전한 정적 평형 조건은 중력에 의하여 발생하는 관절 토크 $\mathbf{g}(\mathbf{q})$ 를 추가로 포함하며, 다음의 형태를 갖는다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \, \mathbf{F}_e + \mathbf{g}(\mathbf{q})$

중력 토크 항의 상세한 성질과 보상 방법은 본 장의 후속 절들에서 별도로 다루어진다.

4. 관계식의 성분별 해석

자코비안을 선형 속도 부분 $\mathbf{J}_v \in \mathbb{R}^{3 \times n}$ 와 각속도 부분 $\mathbf{J}_\omega \in \mathbb{R}^{3 \times n}$ 로 분할하여 다음과 같이 표시할 수 있다.

$\mathbf{J}(\mathbf{q}) = \begin{bmatrix} \mathbf{J}_v(\mathbf{q}) \\ \mathbf{J}_\omega(\mathbf{q}) \end{bmatrix}$

외부 렌치도 선형 힘 $\mathbf{f}_e$ 와 모멘트 $\mathbf{m}_e$ 로 분할하면, 정적 관계식은 다음과 같이 표현된다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}_v^T(\mathbf{q}) \, \mathbf{f}_e + \mathbf{J}_\omega^T(\mathbf{q}) \, \mathbf{m}_e$

이 형식은 관절 토크에 대한 선형 힘과 모멘트의 기여를 분리하여 보여준다. 첫 항은 말단에 작용하는 순수한 선형 힘이 각 관절에 어떻게 분배되는가를 나타내며, 두 번째 항은 말단에 작용하는 모멘트가 각 관절에 가하는 토크 기여를 나타낸다.

개별 관절 $i$ 에 대한 관절 토크는 자코비안의 $i$ 번째 열 $\mathbf{j}_i = [\mathbf{j}_{v,i}^T, \mathbf{j}_{\omega,i}^T]^T$ 를 이용하여 다음과 같이 나타난다.

$\tau_i = \mathbf{j}_{v,i}^T \, \mathbf{f}_e + \mathbf{j}_{\omega,i}^T \, \mathbf{m}_e$

자코비안의 열 벡터 $\mathbf{j}_i$ 는 $i$ 번째 관절의 단위 속도가 말단 효과기에서 일으키는 순간 속도 나사(instantaneous twist)를 의미하므로, 위 식은 그 나사가 외부 렌치와 수행하는 상호 일률에 해당하는 관절 토크를 산출한다고 해석할 수 있다.

렌치-토크 관계의 이원성

정적 관계식 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T \mathbf{F}_e$ 는 매니퓰레이터 기구학의 속도 관계식 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{J} \dot{\mathbf{q}}$ 와 긴밀한 이원성(duality)을 형성한다. 속도 관계는 관절 공간 속도를 작업 공간 속도로 전진 사상하는 반면, 정적 힘 관계는 작업 공간 렌치를 관절 공간 토크로 사상한다. 두 사상은 자코비안 행렬과 그 전치 행렬을 통하여 연결되어 있으며, 이는 운동학과 정역학 사이의 근본적 대응 관계를 반영한다.

이러한 이원성은 운동학적 특이 자세와 정역학적 특이 자세의 개념적 대응으로 이어진다. 자코비안의 계수가 떨어지는 자세에서는 일부 작업 공간 방향으로의 속도가 불가능해지는 동시에, 해당 방향의 외력을 지탱하기 위한 관절 토크가 이론상 발산하거나 완전히 반대로 특정 방향의 외력이 어떤 관절 토크로도 발생되지 않는 현상이 나타난다. 이러한 현상의 구체적 해석과 의미는 본 장의 후속 절에서 자코비안 전치 관계를 중심으로 심층적으로 다루어진다.

다양한 외력 기준점의 처리

위의 유도에서 자코비안 $\mathbf{J}$ 는 말단 효과기의 특정 기준점을 기준으로 정의된 기하학적 자코비안을 가정하였다. 외력 $\mathbf{F}_e$ 가 말단 효과기의 다른 점 또는 다른 링크에 작용하는 경우, 해당 작용점을 기준으로 하는 자코비안을 재계산하거나, 작용점을 기준점으로 옮기면서 외력을 등가의 렌치로 변환해야 한다.

힘의 이동 법칙에 따라 작용점에서 기준점으로 외력을 옮길 때, 선형 힘은 불변이지만 모멘트는 다음과 같이 갱신된다.

$\mathbf{m}_e^{\text{new}} = \mathbf{m}_e + \mathbf{r} \times \mathbf{f}_e$

여기서 $\mathbf{r}$ 은 새로운 기준점에서 원래 작용점을 향하는 위치 벡터이다. 이러한 변환을 통하여 임의의 작용점에서의 외력 문제를 표준 기준점에서의 렌치 문제로 환원할 수 있다.

5. 복수 접촉점의 경우

로봇이 환경과 복수의 점에서 동시에 접촉하는 경우, 각 접촉점에서 작용하는 외부 렌치 $\mathbf{F}_{e,k}$ 와 해당 접촉점을 기준으로 하는 자코비안 $\mathbf{J}_k$ 가 각각 존재한다. 전체 관절 토크는 각 접촉으로 인한 기여의 중첩으로 표현된다.

$\boldsymbol{\tau} = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{J}_k^T(\mathbf{q}) \, \mathbf{F}_{e,k}$

이 중첩 원리는 정적 관계가 선형이라는 사실에 직접적으로 의존한다. 다족 보행 로봇의 각 다리에서의 접촉력과 몸통 관절 토크 사이의 관계, 다지 파지 그리퍼의 각 손가락 접촉력과 관절 토크 사이의 관계 등이 모두 이 원리에 기초하여 분석된다.

힘 관측으로서의 역문제

관계식 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T \mathbf{F}_e$ 는 외력이 주어졌을 때 관절 토크를 계산하는 정문제의 형식을 가진다. 그러나 실제 응용에서는 관절 토크가 측정되었을 때 말단 효과기에 작용하는 외력을 추정하는 역문제가 빈번하게 요구된다. 대표적인 예는 관절 토크 센서를 이용한 외력 관측이다.

역문제의 해는 자코비안 행렬의 구조에 따라 다음과 같이 분류된다. 자코비안이 정방 행렬이고 비특이인 경우, 즉 $n = 6$ 이고 $\mathbf{J}$ 가 완전 계수인 자세에서는 다음의 고유한 해가 존재한다.

$\mathbf{F}_e = \left( \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \right)^{-1} \boldsymbol{\tau}$

관절 수가 작업 공간 차원보다 많은 여유 자유도 매니퓰레이터( $n > 6$ )의 경우 $\mathbf{J}^T$ 는 세로로 긴 행렬이며, 관절 토크로부터 외력을 유일하게 결정할 수 없다. 이 경우 의사역행렬을 사용하여 최소자승해를 구하거나, 외력 추정에 유용한 추가 정보를 결합하여 해를 선택한다. 반대로 $n < 6$ 인 경우 관절 토크는 외력의 일부 성분만을 반영하며, 자코비안 영공간(null space)에 투영된 외력 성분은 관측이 불가능하다.

6. 준정적 조건에서의 적용

엄밀한 정적 평형은 속도와 가속도가 모두 영인 상태를 의미하지만, 실제 로봇 작업에서는 속도가 충분히 낮아 관성 효과를 무시할 수 있는 준정적(quasi-static) 조건이 자주 성립한다. 이 조건에서는 동역학 방정식 중 관성 항과 원심력 및 코리올리 항을 무시할 수 있으며, 정적 관계식이 근사적으로 성립한다.

준정적 조건에서의 완전한 관절 토크 방정식은 다음의 형식을 갖는다.

$\boldsymbol{\tau} \approx \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \, \mathbf{F}_e + \mathbf{g}(\mathbf{q})$

이는 저속으로 움직이는 협동 로봇의 제어, 정밀 조립 작업의 힘 해석, 그리고 환경과의 부드러운 상호작용이 요구되는 응용에서 해석의 기초 모델로 사용된다. 관성 효과가 중요해지는 고속 운동의 경우, 완전한 동역학 방정식으로 확장되며 이는 본 장의 후반부에서 다루어진다.

로봇 설계와 분석에의 응용

외력과 관절 토크의 정적 관계식은 로봇 설계와 분석의 여러 단계에서 실질적으로 활용된다. 첫째, 로봇이 수행할 작업에서 예상되는 외부 상호작용 힘의 크기와 방향이 주어지면, 관계식을 이용하여 각 관절의 액추에이터가 감당해야 할 최대 토크를 산정할 수 있다. 이는 액추에이터의 사양 결정과 감속기의 선택에 직접적으로 활용된다.

둘째, 주어진 액추에이터의 토크 한계와 매니퓰레이터의 자세로부터, 말단 효과기가 환경에 가할 수 있는 최대 힘의 집합을 역산할 수 있다. 이 집합은 자세의 함수이며, 작업 공간 내에서 어떤 방향으로 얼마만큼의 힘을 가할 수 있는지의 가용 범위를 정의한다. 이러한 분석은 조립 공정, 연삭 작업, 절삭 작업 등의 작업 적합성 평가에 사용된다.

셋째, 관절 토크 측정과 결합하여 외력 관측기를 구성할 수 있으며, 이는 별도의 말단 힘-토크 센서 없이도 로봇이 환경과의 접촉을 감지하고 그 크기를 추정할 수 있게 한다. 이러한 기능은 충돌 감지와 안전한 인간-로봇 상호작용에서 중요한 역할을 한다.

본 절의 의의와 후속 전개

본 절에서 유도된 정적 관계식 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T \mathbf{F}_e$ 는 로봇 정역학의 핵심 결과이며, 후속 절들의 출발점이 된다. 이 관계식이 가지는 구조적 성질, 특히 자코비안 전치가 가지는 기하학적 의미와 특이 자세에서의 거동, 그리고 이를 이용한 힘 해석의 구체적 기법은 후속 절에서 심도 있게 전개된다.

또한 본 관계식은 힘 제어와 임피던스 제어 등 로봇과 환경의 상호작용을 다루는 고급 제어 기법의 이론적 기초를 제공한다. 로봇이 환경에 원하는 힘을 정확히 가하기 위해서는 현재 자세에서의 자코비안을 이용하여 요구 외력에 대응하는 관절 토크를 계산해야 하며, 이는 본 절의 관계식의 직접적 응용이다.

학습 권장사항

본 절의 내용을 충분히 이해하기 위하여 가상 일의 원리, 매니퓰레이터 자코비안의 정의와 기하학적 해석, 그리고 벡터 공간과 선형 사상에 대한 선행 학습이 권장된다. 본 절의 내용을 심화 학습하기 위해서는 리 군과 리 대수 기반의 로봇 기구학 형식, 나사 이론(screw theory), 그리고 환경 상호작용 제어 기법에 대한 추가 학습이 권장된다.

참고 문헌

Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
Murray, R. M., Li, Z., and Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Lynch, K. M., and Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
Khalil, W., and Dombre, E. (2002). Modeling, Identification and Control of Robots. Hermes Penton.

version: 1.0