17.36 유연 관절의 동역학 방정식

1. 개요

유연 관절을 포함하는 로봇 매니퓰레이터의 동역학 방정식은 구동기 측과 링크 측의 두 집합의 상태 변수에 대해 각각 기술되며, 이들 사이를 탄성 요소가 결합한다. 강체 관절 모델이 하나의 관절 변수만으로 상태를 표현하는 반면, 유연 관절 모델은 구동기 회전각과 링크 회전각을 구분하여 각각 독립적 운동 방정식을 가진다. 이로써 상태 공간의 차원이 두 배로 증가하며, 공진 모드, 에너지 저장, 감쇠 소산 등의 새로운 동역학 특성이 도입된다. 본 절은 유연 관절 시스템의 대표적 정식화, 라그랑지언 기반 유도, 축소 모델과 완전 모델의 관계, 매개변수 구조, 제어에 필요한 구조적 성질을 체계적으로 제시한다.

2. 상태 변수의 정의

유연 관절 로봇의 상태는 링크 측 관절 좌표 $q_l \in \mathbb{R}^n$ 과 구동기 측 관절 좌표 $q_m \in \mathbb{R}^n$ 로 구성된다. 구동기 좌표는 감속기 출력 쪽에서 본 등가 각도로서 $q_m = \theta_m / r$ 로 정의되며, 여기서 $\theta_m$ 은 모터 회전각, $r$ 은 감속비이다. 이 정의는 구동기 좌표와 링크 좌표가 동일한 기준에서 비교되도록 하여, 둘 사이의 탄성 변형이 $q_m - q_l$ 로 나타나도록 만든다. 전체 상태 벡터는 $\mathbf{x} = [q_l^\top, q_m^\top, \dot{q}_l^\top, \dot{q}_m^\top]^\top \in \mathbb{R}^{4n}$ 으로 주어진다.

3. 라그랑지언 기반 유도

전체 시스템의 운동에너지는 링크 측 운동에너지와 구동기 측 운동에너지의 합으로 표현된다.

$T = \frac{1}{2}\dot{q}_l^\top M(q_l)\dot{q}_l + \frac{1}{2}\dot{q}_m^\top J_m \dot{q}_m$

여기서 $M(q_l)$ 은 링크 구조에 의한 관성 행렬이며, $J_m$ 은 구동기 관성의 대각 행렬이다. Spong의 단순화 가정은 모터 회전자의 관성이 자신의 회전축에만 기여하고 다른 관절의 운동에 영향을 미치지 않는다는 것이며, 이에 의해 $J_m$ 이 대각 구조를 유지한다. 위치에너지는 중력 위치에너지와 탄성 변형 에너지의 합이다.

$U = U_g(q_l) + \frac{1}{2}(q_m - q_l)^\top K_j (q_m - q_l)$

여기서 $K_j$ 는 양정치 관절 강성 행렬이다. 오일러-라그랑주 방정식을 각 좌표에 적용하면 다음과 같은 연립 방정식이 얻어진다.

$M(q_l)\ddot{q}_l + C(q_l,\dot{q}_l)\dot{q}_l + g(q_l) + K_j(q_l - q_m) + D_j(\dot{q}_l - \dot{q}_m) = 0$

$J_m \ddot{q}_m + K_j(q_m - q_l) + D_j(\dot{q}_m - \dot{q}_l) = \tau$

여기서 $D_j$ 는 관절 감쇠 행렬, $\tau$ 는 구동기 측에서 제공되는 입력 토크이다.

4. 구조적 성질

이 동역학 방정식은 몇 가지 중요한 구조적 성질을 가진다. 첫째, 관성 행렬 $M(q_l)$ 은 강체 모델과 동일하게 대칭이며 양정치이다. 둘째, 구동기 관성 행렬 $J_m$ 은 Spong 가정 하에서 대각이고 상수이다. 셋째, 탄성 에너지는 두 좌표 사이의 차이에만 의존하므로, 총 에너지 함수는 $q_m, q_l$ 의 절댓값이 아닌 상대값에 의존하는 부분을 가진다. 넷째, 관절 감쇠 항은 항상 에너지를 소산하는 구조를 가지므로 전체 시스템은 수동 시스템이다. 다섯째, 입력 $\tau$ 는 구동기 측에만 직접 작용하며, 링크 측에는 탄성 요소를 통해 간접적으로 전달된다. 이러한 간접성은 유연 관절 제어의 본질적 어려움을 낳는다.

5. 통합 행렬 형식

방정식을 결합 형태로 쓰면 다음과 같다.

$\begin{bmatrix} M(q_l) & 0\\ 0 & J_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{q}_l\\ \ddot{q}_m\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}C(q_l,\dot{q}_l)\dot{q}_l\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}g(q_l)\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}K_j & -K_j\\ -K_j & K_j\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_l\\ q_m\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\ \tau\end{bmatrix}$

이 형식은 축소 모델의 명료한 구조를 보여주며, 탄성 결합이 두 좌표 사이의 차이에 작용함을 분명히 드러낸다. 감쇠 항은 강성 항과 유사한 결합 구조로 추가된다.

축소 모델과 완전 모델

Spong이 제안한 축소 모델(reduced model)은 모터 관성이 오직 자신의 관절에만 영향을 미친다고 가정하여 상호 결합 항을 단순화하였다. 반면 완전 모델(full model)은 모터 회전자의 운동이 다른 관절의 기구학적 연결을 통해 이차적 영향을 미칠 수 있음을 고려한다. 실제 산업용 매니퓰레이터의 경우 축소 모델이 충분히 정확하며, 대부분의 유연 관절 제어 문헌은 이 가정을 따른다. 정밀 해석이 요구되는 연구에서는 전체 결합을 고려한 완전 모델이 사용된다.

특이 섭동 관점

$K_j$ 가 매우 큰 경우, 유연 관절 방정식은 강체 모델의 특이 섭동(singular perturbation) 형태로 해석할 수 있다. 작은 매개변수 $\epsilon = 1/K_j$ 를 도입하면 빠른 변수 $\eta = K_j(q_m - q_l)$ 이 정의되며, $\epsilon \to 0$ 극한에서 시스템은 강체 모델로 수렴한다. Khorasani와 Kokotovic는 이러한 구조를 활용하여 느린 동역학과 빠른 동역학을 분리하는 복합 제어를 제안하였으며, 이는 유연 관절 제어의 이론적 기반 중 하나가 되었다. 강성이 매우 크면 유연성의 영향이 작아지지만, 제어 대역폭이 공진 주파수에 접근할 때에는 여전히 주의가 요구된다.

매개변수 선형성

유연 관절 동역학 방정식은 $K_j, D_j, J_m$ 에 대해 선형 구조를 가진다. 링크 측 파라미터는 강체 모델의 매개변수와 동일하며, 추가로 탄성 및 구동기 파라미터가 포함된 확장된 매개변수 벡터 $\theta_e = [\theta^\top, \mathrm{diag}(K_j)^\top, \mathrm{diag}(D_j)^\top, \mathrm{diag}(J_m)^\top]^\top$ 에 대해 회귀자 형식 $Y(q,\dot{q},\ddot{q})\theta_e$ 를 구성할 수 있다. 이는 식별, 적응 제어, 온라인 갱신에서 동일한 절차를 재사용하게 해준다.

관절 토크의 센서 관점

유연 관절 구조에서는 탄성 변형을 직접 측정하여 관절 토크 $\tau_s = K_j(q_m - q_l)$ 을 센서 없이 추정할 수 있다. 이는 SEA의 기본 철학과 일치하며, 탄성 요소가 자연스럽게 토크 센서 역할을 한다. 이러한 측정은 외부 힘/토크 센서 없이도 고정밀 토크 피드백을 가능하게 하며, 임피던스 제어, 힘 제어, 외란 관측의 기반이 된다.

외력의 포함

외력 $\tau_{\text{ext}}$ 가 링크 측에 작용하는 경우, 링크 측 운동 방정식은 다음과 같이 확장된다.

$M(q_l)\ddot{q}_l + C(q_l,\dot{q}_l)\dot{q}_l + g(q_l) + K_j(q_l - q_m) + D_j(\dot{q}_l - \dot{q}_m) = \tau_{\text{ext}}$

구동기 측 방정식은 외력의 직접 영향을 받지 않지만, 탄성 결합을 통해 간접적으로 응답이 나타난다. 이 구조는 로봇이 환경과 접촉할 때 유연 관절이 에너지 흡수 요소로 작용하는 수학적 근거를 제공한다.

6. 본 절의 의의

본 절은 유연 관절 로봇의 대표적 동역학 방정식을 라그랑지언 기반으로 유도하고, 그 구조적 성질, 축소 모델과 완전 모델의 구분, 특이 섭동 해석, 매개변수 선형성, 관절 토크 측정, 외력의 포함 방식을 체계적으로 정리한다. 이러한 방정식은 유연 관절 제어 설계의 필수적 수학 모델이며, 이후 절에서 다룰 유연 링크 모델, 진동 해석, 정밀 힘 제어의 출발점이 된다.

7. 학습 권장사항

독자는 2자유도 유연 관절 로봇을 대상으로 축소 모델과 완전 모델을 각각 구현하여 두 모델의 응답 차이를 비교해 볼 것을 권장한다. 또한 특이 섭동 기법으로 느린 및 빠른 동역학을 분리하여 강체 모델과의 수렴성을 수치적으로 확인하는 실습이 유익하다. 탄성 변형을 통해 관절 토크를 계산하고 이를 외부 힘/토크 센서 값과 비교하는 예제는 SEA의 개념을 구체적으로 체험하는 데 도움이 된다.

8. 참고 문헌

Spong, M. W. (1987). Modeling and control of elastic joint robots. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 109(4), 310–319.
Tomei, P. (1991). A simple PD controller for robots with elastic joints. IEEE Transactions on Automatic Control, 36(10), 1208–1213.
Khorasani, K., & Kokotovic, P. V. (1985). Feedback linearization of a flexible manipulator near its rigid body manifold. Systems & Control Letters, 6(3), 187–192.
Albu-Schäffer, A., Ott, C., & Hirzinger, G. (2007). A unified passivity-based control framework for position, torque and impedance control of flexible joint robots. International Journal of Robotics Research, 26(1), 23–39.
Ott, C. (2008). Cartesian Impedance Control of Redundant and Flexible-Joint Robots. Springer.
De Luca, A., & Book, W. J. (2008). Robots with flexible elements. In Springer Handbook of Robotics, 287–319. Springer.
Pratt, G. A., & Williamson, M. M. (1995). Series elastic actuators. IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.

version: 1.0