17.3 자유물체도를 이용한 정적 해석

1. 개요

자유물체도(free body diagram, FBD)는 정역학적 분석의 가장 기본적이면서도 핵심적인 도구이다. 분석 대상이 되는 강체 또는 강체 시스템을 주변 환경으로부터 개념적으로 분리하고, 그 강체에 작용하는 모든 외력과 외부 모멘트를 명시적으로 도시한 그림을 의미한다. 자유물체도는 단순한 도형 표현을 넘어, 분석자가 시스템의 물리적 상호작용을 체계적으로 식별하고 평형 방정식을 정확히 수립할 수 있도록 안내하는 사고의 도구이다.

본 절에서는 자유물체도의 작성 원칙, 결합과 지점 반력의 식별 방법, 자유물체도를 활용한 정적 해석의 절차, 그리고 매니퓰레이터와 다체 로봇 시스템의 분석에 자유물체도가 어떻게 적용되는지를 학술적으로 기술한다.

2. 자유물체도의 기본 개념

자유물체도의 핵심 원리는 강체 분리(isolation)이다. 분석하고자 하는 강체 또는 강체의 부분 집합을 시스템의 나머지 부분으로부터 분리하여 따로 그리고, 분리된 강체에 외부에서 작용하는 모든 힘과 모멘트를 명시적으로 표시한다. 분리된 강체에 내부에서 작용하는 힘들은 자유물체도에 나타나지 않으며, 오직 분리 경계에서 발생하는 외부 작용만이 표시된다.

이러한 분리 원칙은 뉴턴의 제3법칙(작용-반작용 법칙)에 기반한다. 분리된 강체 내부의 한 점에서 다른 점으로 작용하는 내력은 항상 크기가 같고 방향이 반대인 짝을 이루므로 강체 전체의 평형에는 기여하지 않는다. 따라서 자유물체도에는 외부 작용만 나타내면 충분하다.

3. 자유물체도에 표시되는 외력의 종류

자유물체도에 표시되어야 하는 외력은 다음과 같이 분류된다.

첫째, 중력은 강체의 모든 질량 요소에 작용하는 분포력이지만, 강체 분석에서는 일반적으로 강체의 질량 중심에 작용하는 등가 집중력 $\mathbf{W} = m \mathbf{g}$ 로 표현된다.

둘째, 외부에서 직접 가해지는 하중은 그 작용점과 방향이 명확히 표시되어야 한다. 이는 작업물의 무게, 가해지는 마찰력, 공기 저항 등을 포함한다.

셋째, 결합 부위에서 작용하는 반력과 반모멘트는 결합의 종류에 따라 결정되는 자유도 제약을 따른다. 자유물체도에서 이러한 반력은 미지수로 표시되며, 평형 방정식의 풀이를 통하여 결정된다.

넷째, 분포 하중은 가능한 경우 등가 집중 하중으로 등가화하여 표시되며, 그 작용점은 분포의 무게 중심으로 결정된다.

다섯째, 우력 또는 외부에서 가해지는 모멘트는 강체 위의 임의의 위치에 표시될 수 있으나, 일반적으로 분석의 명료성을 위하여 결합 부위 또는 작용 위치에 표시한다.

4. 결합과 반력의 표시

결합 부위에서 발생하는 반력은 결합의 운동학적 자유도 제약에 의하여 결정된다. 앞 절에서 다룬 다양한 결합 종류에 대하여, 자유물체도에서 표시되는 반력의 형태는 다음과 같다.

회전 관절(revolute joint)의 경우, 회전축을 중심으로 한 회전이 자유로우므로 회전축 방향의 모멘트는 발생하지 않는다. 평면 분석에서는 두 개의 직교하는 반력 성분 $R_x, R_y$ 가 표시된다. 삼차원 분석에서는 세 개의 반력 성분과 회전축에 수직한 두 개의 모멘트 성분이 표시된다.

병진 관절(prismatic joint)의 경우, 슬라이딩 방향의 힘은 발생하지 않으며, 그 외의 모든 방향의 반력과 반모멘트가 표시된다.

구면 관절(spherical joint)의 경우, 세 개의 반력 성분이 표시되며 모멘트는 발생하지 않는다.

핀 결합(pin connection)의 경우, 평면에서 두 개의 반력 성분이 표시된다.

롤러(roller) 또는 단순 지지(simple support)의 경우, 표면에 수직한 한 방향의 반력만 표시된다.

고정 지지(fixed support)의 경우, 모든 자유도가 제약되므로 평면에서 두 반력 성분과 한 모멘트 성분이, 삼차원에서 세 반력 성분과 세 모멘트 성분이 표시된다.

5. 자유물체도 작성의 절차

자유물체도 작성은 다음의 체계적 절차에 따라 수행된다.

1단계: 분석 대상이 되는 강체를 선택한다. 분석 목표에 따라 시스템 전체를 한 강체로 다룰지, 또는 개별 부재를 분리하여 분석할지를 결정한다.

2단계: 선택된 강체를 주변과 분리한다. 다른 강체나 환경과 접촉하는 모든 부위에서 분리하며, 분리 경계가 분명히 표시된 단순화된 도형을 그린다.

3단계: 적절한 좌표계를 선택한다. 일반적으로 강체의 형상이나 평형 방정식의 단순화에 유리한 좌표계를 선택하며, 직교 좌표가 가장 흔히 사용된다.

4단계: 강체의 무게를 질량 중심에 작용하는 집중력으로 표시한다.

5단계: 외부에서 가해지는 모든 하중과 모멘트를 작용점과 함께 표시한다.

6단계: 결합 부위와 지지점에서 발생하는 반력과 반모멘트를 결합의 종류에 따라 표시한다. 미지의 반력은 가정된 방향으로 표시하며, 평형 방정식을 풀어 음의 값이 나오면 실제 방향이 가정과 반대임을 의미한다.

7단계: 작성된 자유물체도를 검토하여 모든 외력이 빠짐없이 표시되었는지, 그리고 내력이 잘못 표시되지 않았는지 확인한다.

6. 평형 방정식의 수립과 풀이

자유물체도가 작성되면, 평형 방정식을 수립하여 미지의 반력과 모멘트를 결정한다. 평형 방정식의 수립 절차는 다음과 같다.

먼저 힘 평형 방정식을 좌표축 방향으로 분해하여 수립한다. 평면 분석에서는 두 개의 힘 평형 방정식 $\sum F_x = 0$ 과 $\sum F_y = 0$ 이 사용되고, 삼차원에서는 세 개의 방정식 $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ , $\sum F_z = 0$ 이 사용된다.

다음으로 모멘트 평형 방정식을 수립한다. 기준점을 선택하여 그 점에 대한 모든 외력과 외부 모멘트의 총 모멘트를 계산하고 영으로 둔다. 기준점의 선택은 분석자의 자유이며, 미지의 반력이 가장 많이 통과하는 점을 기준으로 선택하면 그 반력들이 모멘트 방정식에서 사라져 풀이가 단순화된다.

수립된 방정식들은 일반적으로 선형 연립 방정식이며, 직접 대입법, 가우스 소거법, 또는 행렬 방법을 사용하여 풀이된다.

7. 정정 시스템과 부정정 시스템

정역학적 분석의 풀이 가능성은 미지수의 수와 평형 방정식의 수의 관계에 의하여 결정된다. 평면 강체의 경우 한 강체에 대하여 세 개의 평형 방정식이 사용 가능하며, 미지수의 수가 정확히 세 개이면 정정(statically determinate) 시스템이다.

미지수의 수가 평형 방정식의 수보다 많은 경우 시스템은 부정정(statically indeterminate) 시스템이며, 평형 방정식만으로는 모든 미지수를 결정할 수 없다. 이 경우 강체의 변형을 고려하여 변형 적합성 조건을 추가로 도입해야 한다.

미지수의 수가 평형 방정식의 수보다 적은 경우 시스템은 부족 구속(under-constrained) 시스템이며, 일반적으로 평형 상태를 유지할 수 없다. 이는 메커니즘이 자유롭게 운동할 수 있음을 의미하며, 정역학적 분석의 대상이 아니다.

8. 다체 시스템의 분리 분석

여러 강체로 구성된 시스템의 분석에서는 각 강체를 개별적으로 분리하여 자유물체도를 작성하거나, 시스템 전체 또는 일부분을 하나의 단위로 분리하여 분석할 수 있다. 분석 전략의 선택은 분석 목표와 미지수의 분포에 의존한다.

시스템 전체를 한 단위로 분리하면 외부 환경과의 상호작용만 분석되며, 내부 결합력은 나타나지 않는다. 이는 외부 반력과 외력의 관계를 결정하는 데 효과적이다.

각 강체를 개별적으로 분리하면 모든 내부 결합력이 자유물체도에 나타나며, 이를 통하여 각 결합에서의 정확한 힘과 모멘트를 결정할 수 있다. 이 경우 인접한 강체들 사이에 작용-반작용 법칙을 적용하여 결합력 사이의 관계를 명시한다.

매니퓰레이터의 분석에서는 일반적으로 두 접근을 결합한다. 베이스로부터 끝 효과기로 향하는 전진 방향으로는 운동학적 분석을 수행하고, 끝 효과기로부터 베이스로 향하는 후진 방향으로는 정역학적 분석을 수행하여 각 관절의 토크와 반력을 재귀적으로 결정한다.

9. 매니퓰레이터의 정역학 분석 예시

말단 효과기에 외력 $\mathbf{F}_e$ 가 작용하는 직렬 매니퓰레이터의 정역학적 분석을 고려한다. 분석 절차는 다음과 같다.

먼저 가장 끝 링크인 링크 $n$ 의 자유물체도를 작성한다. 이 링크에는 외력 $\mathbf{F}_e$ , 자체 중력 $m_n \mathbf{g}$ , 그리고 관절 $n-1$ 이 가하는 반력 $\mathbf{f}_{n-1, n}$ 과 반모멘트 $\mathbf{n}_{n-1, n}$ 이 작용한다. 평형 조건으로부터 $\mathbf{f}_{n-1, n}$ 과 $\mathbf{n}_{n-1, n}$ 을 결정할 수 있다.

다음으로 링크 $n-1$ 의 자유물체도를 작성한다. 이 링크에는 자체 중력, 관절 $n$ 이 가하는 반력(앞 단계에서 계산된 $-\mathbf{f}_{n-1, n}$ , $-\mathbf{n}_{n-1, n}$ ), 그리고 관절 $n-2$ 가 가하는 반력이 작용한다. 평형 조건으로부터 관절 $n-2$ 의 반력을 결정한다.

이 절차를 베이스까지 재귀적으로 반복하면 모든 관절의 반력과 토크를 계산할 수 있다. 각 관절에서 그 관절의 회전축 방향 토크가 액추에이터가 공급해야 할 토크에 해당하며, 나머지 반력 성분은 관절 베어링이 견뎌야 할 구조적 하중이 된다.

10. 다족 보행 로봇의 정역학적 분석

다족 보행 로봇이 정지 자세에서 외란을 견디기 위한 분석에서도 자유물체도가 핵심적으로 활용된다. 로봇 전체를 한 강체로 가정하고, 각 다리가 지면과 접촉하는 점에서의 반력을 미지수로 표시한 자유물체도를 작성한다. 평형 방정식과 마찰 콘 제약을 결합하여 풀이하면, 어떤 자세가 안정한지, 그리고 어느 정도의 외란까지 견딜 수 있는지를 결정할 수 있다.

이러한 분석은 또한 무게 중심의 지지 다각형(support polygon) 내부 위치 조건과 결합되어 정적 안정성 판단의 기초를 형성한다.

11. 본 절의 의의

본 절에서 다룬 자유물체도를 이용한 정적 해석은 정역학적 분석의 가장 기본적이면서도 강력한 방법이다. 자유물체도의 정확한 작성과 평형 방정식의 체계적 수립은 모든 정역학 문제 풀이의 출발점이며, 분석자의 물리적 직관과 수학적 엄밀성을 동시에 요구한다.

이러한 방법은 단순히 정지 상태의 분석에 국한되지 않고, 동역학적 문제에서도 달랑베르의 원리(d’Alembert’s principle)를 통하여 관성력을 외력처럼 다루는 방식으로 확장된다. 따라서 본 절의 내용은 후속 절들에서 다루어질 동역학적 분석의 기초로서도 작용한다.

매니퓰레이터, 다족 로봇, 그리고 환경과 상호작용하는 모든 로봇 시스템의 정역학적 분석에서 자유물체도는 필수 도구이며, 그 정확한 작성 능력은 로봇공학자의 핵심 역량 중 하나이다.

12. 학습 권장사항

본 절의 내용을 충분히 이해하기 위하여 벡터 대수, 강체의 평형 조건, 그리고 결합과 지점 반력의 분류에 대한 선행 학습이 권장된다. 본 절의 내용을 심화 학습하기 위해서는 다체 시스템 동역학, 변형체 역학, 그리고 구조 해석 기법에 대한 추가 학습이 권장된다. 또한 실제 로봇 시스템의 정역학적 분석을 위해서는 매니퓰레이터의 자코비안 행렬과 가상 일의 원리에 대한 이해가 필수적이다.

13. 참고 문헌

Hibbeler, R. C. (2016). Engineering Mechanics: Statics (14th ed.). Pearson.
Beer, F. P., Johnston, E. R., Mazurek, D. F., and Eisenberg, E. R. (2018). Vector Mechanics for Engineers: Statics (12th ed.). McGraw-Hill.
Meriam, J. L., Kraige, L. G., and Bolton, J. N. (2015). Engineering Mechanics: Statics (8th ed.). Wiley.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., and Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.

version: 1.0