17.19 외란 토크와 모델 불확실성의 분류

1. 개요

이상적인 강체 동역학 모델이 구축되었다 하더라도 실제 로봇 시스템에서 계측되는 관절 토크는 관성항, 코리올리항, 중력항, 마찰항만으로는 설명되지 않는 잔여 성분을 포함한다. 이러한 잔여 성분은 크게 두 가지 원인에 기인한다. 첫째, 외부 환경이 로봇에 가하는 물리적 상호 작용이 예측되지 않은 형태로 나타나는 경우이며, 둘째, 모델에 내재된 가정, 근사, 매개변수 오차가 시스템 응답에 편향이나 변동을 유발하는 경우이다. 전자는 외란 토크(disturbance torque)로, 후자는 모델 불확실성(model uncertainty)으로 범주화되며, 두 요소의 올바른 분류는 관측기 설계, 강인 제어, 적응 제어, 이상 감지의 출발점이 된다. 본 절은 이러한 외란과 불확실성의 체계적 분류를 제시한다.

2. 외란과 불확실성이 포함된 동역학 방정식

완전한 형태의 관절 공간 동역학 방정식은 다음과 같이 표기된다.

$M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) + \tau_f(\dot{q}) + \tau_d(t) = \tau + \Delta(q,\dot{q},\ddot{q},t)$

여기서 $\tau_d$ 는 외부에서 주입되는 외란 토크를 의미하며, $\Delta$ 는 모델과 실제 시스템 사이의 불일치를 모든 요인을 통합하여 표현한 잔여항이다. 전통적으로는 이를 단일 외란으로 취급하기도 하지만, 제어 설계와 고장 진단의 관점에서는 그 내부 구조를 구분하여 다루는 것이 정밀성을 높인다.

외란 토크의 분류

외란은 발생 원인, 지속 시간, 작용 지점, 측정 가능성에 따라 여러 유형으로 나뉜다.

발생 원인에 따른 분류

외란 토크는 먼저 외부 접촉에 기인하는 성분과 비접촉 환경 요인에 기인하는 성분으로 구분된다. 접촉 외란은 엔드 이펙터, 링크, 매니퓰레이터 본체가 작업 대상이나 환경과 물리적으로 마주할 때 발생하며, 외력 $F_e$ 가 자코비안 전치를 통해 관절로 투영되어 $\tau_d = J^T(q) F_e$ 의 형태로 작용한다. 비접촉 외란은 풍하중, 중력 섭동, 이동 플랫폼의 가속도, 자기장, 전자기 간섭 등으로부터 발생하며, 관절 동역학의 입력단 또는 출력단 어디에서든 주입될 수 있다.

지속 시간과 주파수 특성에 따른 분류

외란은 시간 영역에서 상수형(constant), 저주파수 변동형(slowly varying), 주기적(periodic), 임펄스형(impulsive), 광대역 잡음형(broadband stochastic)으로 구분된다. 상수형 외란은 고정된 공구 중량이나 기울어진 베이스에 의한 편향 토크로 나타나며, 주기형 외란은 감속기의 토크 리플이나 모터 코깅처럼 회전각에 동기화된 주기 성분으로 발생한다. 임펄스형 외란은 충돌이나 순간적 접촉으로 나타나며, 광대역 잡음은 센서 잡음, 하니스의 전자기 간섭, 베이스 진동에서 유래한다.

작용 지점에 따른 분류

외란이 작용하는 위치는 관측기와 제어기의 설계 구조에 직접적 영향을 미친다. 작용 지점은 입력 외란(input disturbance), 상태 외란(state disturbance), 출력 외란(output disturbance)으로 구분되며, 각각 구동 토크에 더해져 실제 인가되는 토크를 왜곡하는 경우, 관절의 상태 전개 과정에 직접 작용하는 경우, 센서에서 계측되는 값에 중첩되는 경우에 해당한다. 이 구분은 외란 관측기의 전달 함수와 무영향 조건(invariance condition) 설계에 중요한 의미를 지닌다.

측정 가능성에 따른 분류

외란은 직접 계측 가능한 성분과 계측이 불가능한 성분으로 나뉜다. 관절 토크 센서, 엔드 이펙터의 힘/토크 센서, IMU를 통해 부분적으로 측정 가능한 외란은 피드포워드 보상에 활용되며, 측정이 불가능한 외란은 관측기와 추정기를 통해 상태로부터 역추정되어야 한다.

모델 불확실성의 분류

모델 불확실성은 수학 모델이 실제 시스템을 완전히 기술하지 못함으로 인해 발생하는 오차이며, 구조적(parametric) 불확실성과 비구조적(non-parametric) 불확실성으로 크게 나뉜다.

매개변수 불확실성

매개변수 불확실성은 모델의 구조는 올바르게 가정되었으나 매개변수의 수치 값이 정확하지 않은 경우를 말한다. 이는 다음과 같이 정의될 수 있다.

$\theta = \theta_0 + \Delta\theta, \quad \|\Delta\theta\| \le \rho_{\theta}$

여기서 $\theta_0$ 는 명목 매개변수, $\Delta\theta$ 는 매개변수 오차 벡터이다. 링크 질량, 관성 모멘트, 질량 중심 위치, 기하학적 길이, 마찰 계수 등이 전형적 대상이며, 동역학 방정식이 매개변수에 선형인 구조 $Y(q,\dot{q},\ddot{q})\theta$ 를 이용하면 이러한 불확실성은 $Y\Delta\theta$ 의 형태로 관절 토크 잔여에 나타난다. 매개변수 불확실성은 정량화가 비교적 용이하며 적응 제어, 최소자승 식별, 구간 분석 기법을 통해 다룰 수 있다.

2.1 비구조적 불확실성

비구조적 불확실성은 모델의 형식 자체가 실제 시스템을 충분히 표현하지 못하는 경우를 말한다. 대표적 예는 다음과 같다. 강체로 가정한 링크의 미세한 탄성 변형, 집중 매개변수로 이상화된 분포 질량 효과, 단일 절점으로 처리된 관절의 백래시와 유연성, 평활 마찰 모델이 포착하지 못하는 스틱-슬립 거동, 제어 루프의 시간 지연, 고주파 동역학 모드의 무시 등이다. 이러한 오차는 특정 매개변수 벡터로 파라미터화되지 않기 때문에 집합 기반 기술(norm-bounded uncertainty)로 다루어지며, 강인 제어에서는 $H_\infty$ 규범, 구조 특이값 $\mu$ , 원판 기반 불확실성 모델을 통해 설계에 반영된다.

2.2 구조 불확실성

구조 불확실성(structural uncertainty)은 시스템이 수행하는 과업에 따라 동역학 구조 자체가 변화하는 경우를 말한다. 예를 들어 공구 교환, 파지 대상 변경, 협력 작업 중의 물체 공유, 환경과의 새로운 구속 발생 등은 기존 방정식의 차원이나 결합 구조를 바꾼다. 이는 모드 전환형 하이브리드 시스템 이론을 통해 다룰 수 있다.

2.3 시변 불확실성

매개변수가 느리게 변화하는 경우를 시변 불확실성(time-varying uncertainty)이라 한다. 온도에 따른 윤활 점성 변화, 마모에 따른 마찰 계수 변화, 배터리 전압에 따른 구동기 특성 변동이 이에 해당한다. 이러한 변동은 온라인 식별이나 게인 스케줄링을 통해 보정된다.

3. 외란과 불확실성의 구분 원칙

두 개념은 종종 혼동되지만, 구분의 기준은 원인의 내재성 여부이다. 외란은 시스템 외부로부터 주입되는 입력으로 간주되며, 그 특성이 시스템 상태와 독립적일 수 있다. 반면 불확실성은 시스템 내부 모델링의 한계에서 발생하므로 상태와 결합된 형태로 나타나며, 일반적으로 $\Delta(q,\dot{q},\ddot{q})$ 와 같이 상태 함수로 표현된다. 실제 제어 설계에서는 외란 관측기는 외란에, 적응 제어는 매개변수 불확실성에, 강인 제어는 비구조적 불확실성에 주로 대응한다. 다만 관측기 관점에서는 두 성분이 모두 등가적 관절 토크로 환산되어 나타나므로 실시간 구분은 쉽지 않으며, 이를 해결하기 위해 센서 융합, 잔차 분석, 주파수 분리 기법이 활용된다.

4. 총 집합적 외란 표현

제어 설계의 편의를 위해 외란과 불확실성을 하나의 총 집합적 외란(lumped disturbance)으로 정의하는 접근이 자주 사용된다.

$d(t) = \tau_d(t) - \Delta M(q)\ddot{q} - \Delta C(q,\dot{q})\dot{q} - \Delta g(q) - \Delta \tau_f(\dot{q})$

여기서 $\Delta M, \Delta C, \Delta g, \Delta \tau_f$ 는 명목 모델과 실제 모델의 차이이다. 이때 동역학 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

$\hat{M}(q)\ddot{q} + \hat{C}(q,\dot{q})\dot{q} + \hat{g}(q) + \hat{\tau}_f(\dot{q}) = \tau - d(t)$

이 표현은 외란 관측기의 수학적 출발점이 되며, $d(t)$ 를 추정하여 제어 입력에 $+\hat{d}(t)$ 를 가산함으로써 영향을 상쇄한다. 다만 이 단순화는 두 요소의 물리적 차이를 가리므로, 이상 감지나 안전 감시에서는 원천적 분류를 유지하는 것이 바람직하다.

5. 본 절의 의의

본 절은 로봇 동역학에서 이상 모델과 실제 시스템의 간극을 구성하는 두 축, 즉 외란 토크와 모델 불확실성을 체계적으로 정의하고 분류한다. 이러한 분류는 후속 절에서 다룰 매개변수 불확실성의 정량화, 비구조적 불확실성의 처리 기법, 외란 관측기 기반 힘 제어, 강인 및 적응 제어 설계의 개념적 기반을 제공한다. 또한 고장 진단과 이상 감지에서 잔차의 근원을 해석하는 데 필요한 분류 체계이기도 하다.

6. 학습 권장사항

독자는 단일 관절 모델에 대해 매개변수 불확실성과 비구조적 불확실성을 각각 인공적으로 주입한 시뮬레이션을 수행하여 두 종류 오차가 응답에 미치는 특성을 관찰할 것을 권장한다. 또한 관절 토크 센서가 탑재된 실제 장치에서 기록된 잔차 신호를 주파수 영역에서 분석하여 주기 성분과 광대역 성분을 분리해 보는 실습은 외란 분류의 실용적 감각을 길러준다. 강인 제어와 적응 제어 문헌을 병행 참조함으로써 동일한 잔차가 설계 프레임워크에 따라 어떻게 다르게 기술되고 처리되는지 비교해 보기를 권한다.

7. 참고 문헌

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