17.18 마찰 토크 모델과 동역학 반영

1. 개요

마찰은 로봇 관절에서 실질적으로 피할 수 없는 물리 현상이며, 베어링, 감속기, 밀봉부, 윤활유, 접촉면 사이의 미끄럼과 굴림 접촉에서 복합적으로 발생한다. 이상적인 강체 동역학 방정식은 관성력, 코리올리력, 중력 토크만을 고려하여 구성되지만, 실제 관절에서는 상당한 크기의 마찰 토크가 구동 토크와 중첩되므로 이를 동역학 모델에 명시적으로 반영하지 않으면 제어 성능, 토크 관측, 매개변수 식별, 역동역학 기반 피드포워드 계산에서 체계적 오차가 누적된다. 본 절에서는 관절 마찰을 기술하는 대표적 수학 모델과 그 특성, 그리고 이러한 모델이 관절 공간 동역학 방정식에 어떻게 삽입되어 전체 동역학을 구성하는지를 서술한다.

2. 동역학 방정식 내 마찰 토크 항의 위치

마찰을 포함하는 관절 공간 동역학 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$M(q)\ddot{q} + C(q,\dot{q})\dot{q} + g(q) + \tau_f(q,\dot{q},t) = \tau$

여기서 $\tau \in \mathbb{R}^n$ 은 구동기가 관절에 가하는 토크이며, $\tau_f$ 는 관절 마찰 토크 벡터로서 $n$ 개 관절 각각에 작용하는 마찰 성분을 담는다. 일반적으로 관절 간 마찰 결합은 무시할 수 있는 수준이므로 $\tau_f$ 는 성분별로 분리 가능한 형태를 취하며, 각 성분 $\tau_{f,i}$ 는 해당 관절의 속도 $\dot{q}_i$ 와 부하, 온도, 윤활 상태 등에 의존한다. 마찰 토크의 부호는 관절 속도의 반대 방향으로 작용하여 운동에너지를 소산시키는 역할을 한다는 점이 모든 모델에 공통적으로 나타나는 성질이다.

정적 마찰 모델

쿨롱 마찰 모델

가장 단순한 형태는 쿨롱(Coulomb) 마찰 모델이며, 관절 속도의 부호에만 의존하는 일정 크기의 저항 토크로 표현된다.

$\tau_{f,i}^{C}(\dot{q}_i) = F_{c,i}\, \mathrm{sgn}(\dot{q}_i)$

여기서 $F_{c,i} > 0$ 은 쿨롱 마찰 계수이다. 이 모델은 속도 부호 전환 지점에서 불연속적이며, $\dot{q}_i = 0$ 근방에서 $\mathrm{sgn}(\cdot)$ 의 다중값 성질로 인해 수치 해석에서 진동(chattering)을 유발하는 한계가 있다.

2.1 점성 마찰 모델

윤활유에 의한 유체 저항 성분은 속도에 선형 비례하는 점성(viscous) 마찰로 근사된다.

$\tau_{f,i}^{V}(\dot{q}_i) = F_{v,i}\, \dot{q}_i$

점성 계수 $F_{v,i}$ 는 윤활유의 점도, 온도, 밀봉부 구조에 의해 결정된다. 쿨롱 항과 결합한 쿨롱-점성 모델은 다음과 같다.

$\tau_{f,i}(\dot{q}_i) = F_{c,i}\, \mathrm{sgn}(\dot{q}_i) + F_{v,i}\, \dot{q}_i$

이 형태는 구조가 단순하고 매개변수가 속도에 선형이므로 식별과 보상 모두에 널리 사용된다.

2.2 정지 마찰과 스트라이벡 효과

저속 영역에서는 정지 마찰(static friction)이 쿨롱 마찰보다 크게 나타나며, 속도가 증가함에 따라 마찰 토크가 국부적으로 감소하는 스트라이벡(Stribeck) 효과가 관측된다. 이를 반영한 수식은 다음과 같다.

$\tau_{f,i}^{S}(\dot{q}_i) = \bigl[F_{c,i} + (F_{s,i} - F_{c,i}) \exp\bigl(-|\dot{q}_i/v_{s,i}|^{\delta_i}\bigr)\bigr]\mathrm{sgn}(\dot{q}_i) + F_{v,i}\, \dot{q}_i$

여기서 $F_{s,i}$ 는 정지 마찰 토크, $v_{s,i}$ 는 스트라이벡 속도, $\delta_i$ 는 형상 지수이다. 스트라이벡 곡선은 저속 조건에서 음의 등가 감쇠 효과를 유발하여 스틱-슬립 진동의 원인이 되며, 정밀 위치 제어에서 주요 고려 사항이 된다.

동적 마찰 모델

정적 모델은 속도의 현재 값만을 입력으로 하지만, 실제 마찰은 접촉면 사이의 미시적 변위 이력을 포함하는 동적 현상이다. 이를 기술하기 위한 대표적 모델이 달(Dahl) 모델과 루그레(LuGre) 모델이다.

달 모델

달 모델은 접촉면의 탄성 변형을 상태 변수 $z$ 로 도입하여 마찰의 이력 종속성을 표현한다.

$\frac{dz}{dt} = \dot{q} - \frac{|\dot{q}|}{F_c/\sigma_0}\, z, \qquad \tau_f = \sigma_0 z$

여기서 $\sigma_0$ 는 접촉 강성이다. 달 모델은 정지 근방의 이력 곡선을 재현하지만 스트라이벡 효과는 포함하지 않는다.

2.3 루그레 모델

루그레 모델은 달 모델을 확장하여 스트라이벡 효과와 점성 성분을 결합한 통합적 기술을 제공한다.

$\frac{dz}{dt} = \dot{q} - \frac{\sigma_0 |\dot{q}|}{g(\dot{q})}\, z$

$g(\dot{q}) = F_c + (F_s - F_c)\exp\bigl(-(\dot{q}/v_s)^2\bigr)$

$\tau_f = \sigma_0 z + \sigma_1 \frac{dz}{dt} + \sigma_2 \dot{q}$

여기서 $\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2$ 는 각각 접촉 강성, 미시적 감쇠, 거시적 점성 계수이다. 루그레 모델은 스트라이벡 효과, 예슬라이딩 변위, 마찰 지연, 이력 곡선을 단일 미분 방정식으로 기술하며, 정밀 제어와 마찰 보상 연구에서 표준적인 동적 모델로 채택되었다.

GMS 모델

GMS(Generalized Maxwell-Slip) 모델은 복수의 탄성-쿨롱 요소를 병렬로 배치하여 마찰의 준정적 이력 곡선을 더욱 정밀하게 재현한다. 각 요소는 접착 상태와 미끄럼 상태를 전환하며, 루그레 모델이 재현하지 못하는 이력 곡선의 비선형성을 보완하는 데 사용된다.

감속기와 하모닉 드라이브 마찰의 특수성

로봇 관절에 널리 사용되는 하모닉 드라이브와 유성 기어 감속기는 단순한 회전 접촉이 아닌 복잡한 맞물림 구조로 인해 마찰이 강한 부하 의존성을 나타낸다. 감속기 마찰 토크는 속도뿐 아니라 관절 토크 $\tau$ 의 크기에도 의존하며, 다음과 같은 부하 의존 형태로 확장된다.

$\tau_{f,i}(\dot{q}_i, \tau_i) = \bigl(F_{c,i} + \alpha_i |\tau_i|\bigr)\mathrm{sgn}(\dot{q}_i) + F_{v,i}\dot{q}_i$

여기서 $\alpha_i$ 는 부하 감응 계수이다. 또한 감속기 내부의 키네마틱 오차, 토크 리플, 이력 현상은 관절 각도에 주기적으로 의존하는 성분을 추가하여 정교한 제어에서는 이를 포함한 확장 모델이 필요하다.

3. 상태 의존성과 환경 의존성

관절 마찰은 다음과 같은 요인에 의해 시간에 따라 변화한다. 윤활유의 온도가 상승하면 점성 계수 $F_v$ 가 감소하고, 장기 운용에 따른 마모는 쿨롱 계수 $F_c$ 를 서서히 증가시키며, 감속기 부하 조건이 변하면 유효 마찰이 함께 변한다. 따라서 마찰 모델을 결정론적 상수로 취급하기보다는 매개변수가 느리게 변동하는 시변 시스템으로 간주하고, 온도 센서 값이나 온라인 식별 기법을 통해 보정하는 접근이 정밀 제어에서 채택된다.

4. 수치 해석과 시뮬레이션을 위한 평활화

$\mathrm{sgn}(\dot{q})$ 항은 속도 영점에서 불연속이므로 상미분 방정식 적분기에서 수치적 문제를 일으킨다. 이를 완화하기 위해 아래와 같은 연속 근사가 사용된다.

$\mathrm{sgn}(\dot{q}) \approx \tanh(k\dot{q}), \qquad \mathrm{sgn}(\dot{q}) \approx \frac{2}{\pi}\arctan(k\dot{q})$

여기서 $k$ 는 기울기 매개변수이다. 이러한 평활화는 수치 안정성을 확보하지만 정지 마찰 영역의 이력 특성은 포착하지 못하므로, 시뮬레이션 목적이 제어기 검증이라면 루그레 모델과 같은 상태 기반 접근이 더 적합하다. 반면 역동역학 기반 토크 피드포워드 계산에서는 경량 쿨롱-점성 모델의 평활화 버전이 실시간 계산성과 보상 효과 사이의 균형을 제공한다.

매개변수의 선형 분리

쿨롱-점성 모델은 매개변수 $F_{c,i}, F_{v,i}$ 에 대해 선형이므로, 동역학 전체의 선형 회귀 형태

$Y(q,\dot{q},\ddot{q})\, \theta = \tau$

에서 관성, 코리올리, 중력 매개변수와 함께 마찰 매개변수를 동일한 최소자승 구조로 식별할 수 있다. 회귀자 $Y$ 에는 $\mathrm{sgn}(\dot{q}_i)$ 와 $\dot{q}_i$ 를 직접 포함한다. 루그레와 같은 비선형 동적 모델의 경우 매개변수 선형성이 부분적으로만 성립하므로 비선형 최적화 또는 2단계 식별 절차가 적용된다.

5. 마찰 보상과 제어기 설계에의 함의

마찰 토크 모델은 두 가지 방식으로 제어에 반영된다. 첫째, 피드포워드 보상에서는 추정된 모델 $\hat{\tau}_f$ 를 제어 입력에 더하여 $\tau = \tau_{\text{ctrl}} + \hat{\tau}_f$ 의 형태로 마찰의 영향을 사전에 상쇄한다. 둘째, 외란 관측기(disturbance observer) 구조에서는 모델화되지 않은 마찰 잔여 성분을 외란으로 추정하고 이를 피드백 보상한다. 두 접근은 상호 보완적이며, 모델 기반 보상의 정확도가 낮을수록 외란 관측기의 부담이 커진다. 또한 마찰의 소산적 특성은 패시비티 기반 제어에서 시스템 안정성에 유리하게 작용하지만, 정지 마찰에 의한 정상 상태 오차는 적분 작용이나 별도 보상 루프를 통해 제거해야 한다.

6. 본 절의 의의

본 절은 마찰 토크가 관절 공간 동역학 방정식에 어떻게 구조적으로 편입되는지를 명확히 하고, 쿨롱, 점성, 스트라이벡과 같은 정적 모델에서 달, 루그레, GMS 모델에 이르는 동적 모델의 수학적 구성과 특성을 체계적으로 정리한다. 이는 후속 절에서 논의될 외란 토크, 매개변수 불확실성, 식별, 힘 제어 설계의 기반이 되며, 이상적 강체 모델과 실제 하드웨어 사이의 간극을 해소하는 핵심적 요소를 제공한다.

7. 학습 권장사항

독자는 쿨롱-점성 모델과 루그레 모델을 대표 예로 삼아 수치 시뮬레이션을 직접 구성하고, 속도 영점 부근의 거동 차이를 관찰해 볼 것을 권장한다. 또한 단일 관절 시험 장치에서 정현파 속도 입력을 가하여 마찰 이력 곡선을 계측하고 최소자승법으로 쿨롱 및 점성 계수를 추정하는 실험을 수행하면 모델과 실측 사이의 대응 관계를 구체적으로 이해할 수 있다. 감속기 부하 의존 항과 온도 의존성에 대한 문헌을 추가로 탐독하여, 정밀 제어 환경에서 마찰 모델이 제기하는 현실적 제약을 파악하기를 권한다.

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