16.8 해밀턴의 정준 방정식 유도
1. 개요
해밀턴의 정준 방정식(canonical equations)은 해밀터니안 함수로부터 유도되는 1차 미분 방정식이다. 이 방정식은 매우 대칭적이고 우아하며, 해밀턴 역학의 핵심이다. 본 절에서는 해밀턴의 정준 방정식의 유도를 자세히 다룬다.
2. 출발점
2.1 해밀터니안 함수
해밀터니안 함수는 라그랑지언으로부터 르장드르 변환을 통해 정의된다.
H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum_i\dot{q}_i p_i - L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)
여기서 \dot{q}_i = \dot{q}_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)이다.
2.2 라그랑주 방정식
라그랑주 방정식은 다음과 같다.
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
(외력이 없는 경우)
3. 해밀터니안의 전미분
3.1 전미분의 계산
해밀터니안 H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)의 전미분은 다음과 같다.
dH = \sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt
3.2 정의로부터의 전미분
해밀터니안의 정의로부터
dH = d\left(\sum_i\dot{q}_i p_i - L\right) = \sum_i p_i d\dot{q}_i + \sum_i\dot{q}_i dp_i - dL
라그랑지언의 전미분은
dL = \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial t}dt
이를 대입하면
dH = \sum_i p_i d\dot{q}_i + \sum_i\dot{q}_i dp_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt
3.3 항의 정리
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = p_i이므로 첫 번째 항과 네 번째 항이 상쇄된다.
dH = \sum_i\dot{q}_i dp_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt
4. 비교와 정준 방정식
4.1 두 식의 비교
해밀터니안의 두 가지 표현
dH = \sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt
dH = \sum_i\dot{q}_i dp_i - \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt
이 두 식은 같으므로 각 항의 계수를 비교하면
\frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q}_i
\frac{\partial H}{\partial q_i} = -\frac{\partial L}{\partial q_i}
\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}
4.2 라그랑주 방정식의 활용
라그랑주 방정식 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}를 사용하면
\dot{p}_i = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
4.3 정준 방정식
따라서 다음의 해밀턴의 정준 방정식이 얻어진다.
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
이는 2n개의 1차 미분 방정식이다.
5. 정준 방정식의 성질
5.1 차 미분 방정식
정준 방정식은 1차 미분 방정식이다. 라그랑주 방정식의 2차 미분 방정식보다 분석에 유리할 수 있다.
5.2 정준 형식
정준 방정식은 매우 대칭적이다. q_i와 p_i의 역할이 거의 대칭이며, 부호 차이만 있다.
5.3 위상 공간
정준 방정식은 위상 공간 (q, p)에서 시스템의 운동을 결정한다. 시스템의 상태가 위상 공간의 점이고, 운동은 위상 공간에서의 궤적이다.
5.4 시뮬렉틱 구조
정준 방정식은 위상 공간의 시뮬렉틱 형식과 깊이 연결되어 있다. 이는 해밀턴 역학의 깊은 수학적 구조이다.
6. 외력의 추가
6.1 외력을 포함한 해밀턴 방정식
비보존 외력이 있는 경우 정준 방정식은 다음과 같이 확장된다.
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} + Q_i^{\text{nc}}
여기서 Q_i^{\text{nc}}는 비보존 일반화 힘이다.
6.2 매니퓰레이터의 경우
매니퓰레이터의 액추에이터 토크 \boldsymbol{\tau}는 우변의 두 번째 항에 더해진다.
\dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} + \boldsymbol{\tau}
7. 응용 예시
7.1 단순 진자
단순 진자의 해밀터니안은
H = \frac{p_\theta^2}{2ml^2} - mgl\cos\theta
정준 방정식은
\dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{ml^2}
\dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta
이로부터 \ddot{\theta} = -\frac{g}{l}\sin\theta가 유도된다.
7.2 매니퓰레이터
매니퓰레이터의 해밀터니안
H = \frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p} + U(\mathbf{q})
정준 방정식은
\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p}
\dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}}\left[\frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p}\right] - \frac{\partial U}{\partial \mathbf{q}} + \boldsymbol{\tau}
8. 본 절의 의의
본 절은 해밀턴의 정준 방정식의 유도를 자세히 다루었다. 이 방정식은 해밀턴 역학의 핵심이며, 시스템의 동역학을 1차 미분 방정식의 우아한 형식으로 표현한다.
9. 참고 문헌
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
- Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
- Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer.
- Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed.). Pergamon Press.
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