16.6 해밀터니안 함수의 유도

1. 개요

해밀터니안 함수(또는 해밀턴 함수)는 해밀턴 역학의 핵심 양이며, 라그랑지언으로부터 르장드르 변환을 통해 유도된다. 본 절에서는 해밀터니안 함수의 유도와 그 의미를 자세히 다룬다.

2. 라그랑지언으로부터의 유도

2.1 출발점

라그랑지언 $L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$ 가 주어졌다고 하자.

2.2 일반화 운동량의 정의

일반화 운동량은 라그랑지언으로부터 정의된다.

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}, \quad i = 1, \ldots, n$

2.3 일반화 속도의 역변환

위의 식을 일반화 속도에 대해 풀어 다음을 얻는다.

$\dot{q}_i = \dot{q}_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$

이 역변환이 가능하기 위해서는 정칙성 조건 $\det\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j}\right) \neq 0$ 이 만족되어야 한다.

2.4 해밀터니안의 정의

해밀터니안 함수는 라그랑지언의 일반화 속도에 대한 르장드르 변환으로 정의된다.

$H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum_{i}\dot{q}_i p_i - L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$

여기서 $\dot{q}_i$ 는 $\mathbf{q}, \mathbf{p}, t$ 의 함수로 표현된다.

2.5 명시적 표현

해밀터니안은 일반화 좌표와 일반화 운동량(그리고 시간)의 함수이다.

$H = H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$

3. 보존계의 경우

3.1 라그랑지언의 형식

스클레로노믹 시스템의 라그랑지언은 다음과 같다.

$L = T - U = \frac{1}{2}\sum_{i,j}M_{ij}(\mathbf{q})\dot{q}_i\dot{q}_j - U(\mathbf{q})$

3.2 일반화 운동량

$p_i = \sum_j M_{ij}(\mathbf{q})\dot{q}_j$

3.3 일반화 속도

$\dot{q}_i = \sum_j (M^{-1})_{ij}(\mathbf{q})p_j$

3.4 해밀터니안

해밀터니안은 다음과 같이 계산된다.

$\sum_i \dot{q}_i p_i = \sum_i \dot{q}_i \sum_j M_{ij}\dot{q}_j = \dot{\mathbf{q}}^T\mathbf{M}\dot{\mathbf{q}} = 2T$

따라서

$H = 2T - L = 2T - (T - U) = T + U = E$

해밀터니안이 총 에너지(운동 에너지 + 위치 에너지)와 같다.

3.5 일반적 표현

매니퓰레이터의 해밀터니안은 다음과 같이 명시적으로 표현된다.

$H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p} + U(\mathbf{q})$

이는 일반화 운동량으로 표현된 운동 에너지와 위치 에너지의 합이다.

4. 비보존계의 경우

4.1 시간 의존성

라그랑지언이 시간에 명시적으로 의존하면 해밀터니안도 시간에 의존한다.

$H = H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$

4.2 일반화된 형식

운동 에너지가 일반화 속도의 동차 이차 형식이 아닌 경우에도 해밀터니안의 정의는 같다.

4.3 일반적 의미

해밀터니안은 항상 라그랑지언의 일반화 속도에 대한 르장드르 변환으로 정의된다. 보존계가 아닌 경우 해밀터니안의 물리적 의미는 더 복잡할 수 있다.

5. 해밀터니안의 성질

5.1 좌표 의존성

해밀터니안은 일반화 좌표의 선택에 의존한다. 다른 좌표를 사용하면 다른 형태의 해밀터니안이 얻어진다.

5.2 보존 법칙

해밀터니안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 보존된다.

$\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}$

따라서 $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ 이면 $H$ 가 보존된다.

5.3 노에터 정리와의 연결

해밀터니안의 보존은 시간 균질성에 대응한다. 이는 노에터 정리의 한 예시이다.

6. 응용 예시

6.1 단순 진자

라그랑지언

$L = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta$

일반화 운동량

$p_\theta = ml^2\dot{\theta}$

해밀터니안

$H = \frac{p_\theta^2}{2ml^2} - mgl\cos\theta$

이는 운동 에너지와 위치 에너지의 합이다.

6.2 자유도 매니퓰레이터

2자유도 매니퓰레이터의 해밀터니안은 다음과 같다.

$H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p} + U(\mathbf{q})$

여기서 $\mathbf{M}^{-1}$ 은 관성 행렬의 역행렬이다.

6.3 자유 입자

자유 입자(외력 없음)의 해밀터니안은

$H = \frac{p^2}{2m}$

이는 운동 에너지만 있는 단순한 형식이다.

6.4 조화 진동자

1차원 조화 진동자의 해밀터니안은

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$

이는 양자 역학의 출발점이다.

7. 본 절의 의의

본 절은 해밀터니안 함수의 유도를 자세히 다루었다. 해밀터니안은 해밀턴 역학의 핵심 양이며, 시스템의 모든 동역학적 정보를 담는다. 보존계의 경우 해밀터니안이 총 에너지와 같다는 점이 그 물리적 의미를 명확히 한다.

8. 참고 문헌

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer.
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed.). Pergamon Press.

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