16.2 라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로의 전환
1. 개요
해밀턴 역학은 라그랑주 역학으로부터 르장드르 변환을 통해 유도된다. 이 변환은 일반화 속도를 일반화 운동량으로 대체하며, 결과적으로 해밀턴 함수와 해밀턴 방정식을 도출한다. 본 절에서는 라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로의 전환 절차를 자세히 다룬다.
2. 라그랑주 역학의 출발점
2.1 라그랑지언
라그랑주 역학에서 시스템의 동역학은 라그랑지언으로 표현된다.
L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) - U(\mathbf{q}, t)
2.2 라그랑주 방정식
운동 방정식은 라그랑주 방정식이다.
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i
이는 일반적으로 2차 미분 방정식이다.
2.3 일반화 속도의 역할
라그랑주 역학에서 변수는 일반화 좌표 \mathbf{q}와 일반화 속도 \dot{\mathbf{q}}이다. 일반화 속도는 일반화 좌표의 시간 미분이며 종속 변수이다.
3. 일반화 운동량의 정의
3.1 정의
일반화 운동량(generalized momentum) 또는 켤레 운동량(conjugate momentum)은 라그랑지언의 일반화 속도에 대한 편미분이다.
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
3.2 데카르트 좌표의 경우
데카르트 좌표를 사용하면 일반화 운동량은 일반적인 운동량이 된다.
p_i = \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i} = m\dot{x}_i
3.3 매니퓰레이터의 경우
매니퓰레이터의 경우
\mathbf{p} = \mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}
여기서 \mathbf{M}은 관성 행렬이다.
4. 르장드르 변환
4.1 동기
라그랑주 함수에서 변수 (q, \dot{q})를 변수 (q, p)로 변환하기 위해 르장드르 변환을 사용한다. 이는 변수 변환의 표준 도구이다.
4.2 르장드르 변환의 정의
함수 f(x)에 대한 르장드르 변환은 다음과 같이 정의된다.
g(p) = \sup_x[px - f(x)]
여기서 p = \frac{\partial f}{\partial x}이고 x가 p의 함수로 결정된다.
4.3 가역성
르장드르 변환은 가역적이다. 즉, 두 번 적용하면 원래 함수로 돌아온다.
5. 해밀턴 함수의 정의
5.1 르장드르 변환의 적용
라그랑지언 L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)의 일반화 속도에 대한 르장드르 변환은 다음과 같다.
H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum_{i}\dot{q}_i p_i - L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)
여기서 \dot{q}_i는 p_i의 함수로 표현되어야 한다. 즉, 일반화 운동량의 정의를 풀어 \dot{q}_i = \dot{q}_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)를 얻고 대입한다.
5.2 해밀턴 함수의 의미
H는 해밀턴 함수이며, 일반화 좌표와 일반화 운동량의 함수이다.
5.3 보존계의 경우
라그랑지언이 시간에 명시적으로 의존하지 않고 시스템이 보존계이면 해밀턴 함수는 총 에너지와 같다.
H = T + U = E
6. 해밀턴 방정식의 유도
6.1 미분의 계산
해밀턴 함수 H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)의 전미분은 다음과 같다.
dH = \sum_{i}\frac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \sum_{i}\frac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}dt
6.2 정의로부터의 미분
해밀턴 함수의 정의로부터
dH = \sum_{i}d\dot{q}_i p_i + \sum_{i}\dot{q}_i dp_i - dL
라그랑지언의 미분을 대입하면
dH = \sum_{i}d\dot{q}_i p_i + \sum_{i}\dot{q}_i dp_i - \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt
6.3 항의 정리
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = p_i이므로 첫 번째 항과 네 번째 항이 상쇄된다.
dH = \sum_{i}\dot{q}_i dp_i - \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt
6.4 비교
위의 두 표현을 비교하면
\frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q}_i
\frac{\partial H}{\partial q_i} = -\frac{\partial L}{\partial q_i}
\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}
6.5 라그랑주 방정식과의 결합
라그랑주 방정식 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}를 사용하면
\dot{p}_i = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
6.6 해밀턴 방정식
따라서 다음의 해밀턴 방정식이 얻어진다.
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
이는 매우 대칭적이고 우아한 형식이다.
7. 해밀턴 방정식의 성질
7.1 차 미분 방정식
해밀턴 방정식은 1차 미분 방정식이다. 라그랑주 방정식의 2차에 비해 차수가 낮다.
7.2 변수의 수
해밀턴 방정식은 2n개의 1차 방정식으로 구성된다. 이는 라그랑주 방정식의 n개의 2차 방정식과 동일한 정보를 담는다.
7.3 정준 형식
해밀턴 방정식은 매우 대칭적이다. q_i와 p_i가 거의 대칭적인 역할을 한다.
8. 매니퓰레이터에서의 적용
8.1 라그랑지언
매니퓰레이터의 라그랑지언
L = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T\mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} - U(\mathbf{q})
8.2 일반화 운동량
\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} = \mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}
8.3 일반화 속도의 역변환
\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p}
8.4 해밀턴 함수
H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p} + U(\mathbf{q})
이는 운동 에너지와 위치 에너지의 합, 즉 총 에너지이다.
8.5 해밀턴 방정식
\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p}
\dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}
9. 본 절의 의의
본 절은 라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로의 전환을 자세히 다루었다. 르장드르 변환을 통해 라그랑지언으로부터 해밀턴 함수가 유도되고, 라그랑주 방정식으로부터 해밀턴 방정식이 도출된다. 이 전환은 분석에 새로운 관점을 제공한다.
10. 참고 문헌
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
- Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover.
- Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer.
- Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed.). Pergamon Press.
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