14.9 좌표계 간 힘과 모멘트의 변환

1. 개요

다체 시스템이나 다중 좌표계가 있는 시스템의 동역학 분석에서 힘과 모멘트(토크)를 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환하는 것이 필수이다. 본 절에서는 좌표계 간 힘과 모멘트의 변환을 다룬다.

힘은 벡터이며, 좌표계의 회전에 대해 회전 행렬로 변환된다.

$\mathbf{F}^{\text{new}} = \mathbf{R}\mathbf{F}^{\text{old}}$

여기서 $\mathbf{R}$ 은 새 좌표계에 대한 옛 좌표계의 회전 행렬이다.

힘은 자유 벡터로 간주되므로 좌표계 원점의 평행 이동에 대해 변하지 않는다.

모멘트(토크)도 벡터이며, 회전에 대해 회전 행렬로 변환된다.

$\boldsymbol{\tau}^{\text{new}} = \mathbf{R}\boldsymbol{\tau}^{\text{old}}$

모멘트는 기준점에 의존한다. 기준점을 이동하면 모멘트가 변한다.

새 기준점 $O'$ 에 대한 모멘트는 옛 기준점 $O$ 에 대한 모멘트와 다음의 관계를 가진다.

$\boldsymbol{\tau}_{O'} = \boldsymbol{\tau}_O + (\mathbf{r}_{O'} - \mathbf{r}_O) \times \mathbf{F}$

여기서 $\mathbf{F}$ 는 작용하는 힘이다.

힘과 모멘트를 결합한 양을 렌치(wrench)라 한다.

$\mathcal{F} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{\tau} \\ \mathbf{F}\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^6$

렌치의 좌표계 변환은 다음의 변환 법칙을 따른다.

$\mathcal{F}_b = [\mathrm{Ad}_{\mathbf{T}_{ba}}]^T\mathcal{F}_a$

여기서 $[\mathrm{Ad}_{\mathbf{T}_{ba}}]$ 는 $\mathbf{T}_{ba}$ 의 수반 행렬이다.

수반 행렬의 트랜스포즈가 등장하는 이유는 렌치가 코트랑겐트 공간(트위스트 공간의 쌍대)의 원소이기 때문이다.

매니퓰레이터의 한 링크에 작용하는 힘과 토크는 인접 링크의 좌표계로 변환되어야 한다. 이는 뉴턴-오일러 재귀 알고리즘에서 핵심이다.

매니퓰레이터의 말단 장치에 외부 부하가 작용할 때, 그 힘과 토크가 베이스로 전파된다. 각 관절에서의 토크가 자코비안의 전치를 통해 계산된다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{J}^T\mathcal{F}_{\text{ext}}$

본 절은 좌표계 간 힘과 모멘트의 변환을 다루었다. 이는 다체 시스템 분석의 기본이며, 매니퓰레이터의 동역학과 정역학에서 광범위하게 사용된다.

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