14.6 외력과 외모멘트의 모델링
1. 개요
강체에 작용하는 외력과 외모멘트(토크)의 정확한 모델링은 동역학 분석의 정확성을 결정한다. 다양한 종류의 외력과 토크가 있으며, 각각이 적절한 모델로 표현되어야 한다. 본 절에서는 주요 외력과 외모멘트의 모델링을 다룬다.
2. 외력의 종류
2.1 중력
중력은 가장 일반적인 외력이며, 항상 존재한다.
\mathbf{F}_g = M\mathbf{g}
여기서 M은 질량, \mathbf{g}는 중력 가속도 벡터이다. 지구 표면에서 |\mathbf{g}| \approx 9.81 \text{ m/s}^2이다.
2.2 응용 힘
응용 힘은 외부 액추에이터, 모터, 사람의 손 등에 의해 가해지는 힘이다. 그 크기와 방향이 명시적으로 주어진다.
2.3 마찰력
마찰력은 두 표면 사이의 상대 운동을 방해하는 힘이다.
2.3.1 정적 마찰
|\mathbf{F}_{f,s}| \leq \mu_s N
2.3.2 동적 마찰
\mathbf{F}_{f,k} = -\mu_k N\hat{\mathbf{v}}_{\text{rel}}
2.4 정상력
정상력은 두 표면이 접촉할 때 표면에 수직 방향으로 작용하는 힘이다. 침투를 방지한다.
\mathbf{F}_n = N\hat{\mathbf{n}}, \quad N \geq 0
2.5 공기 저항
공기 저항(항력)은 공기 중에서 운동하는 물체에 작용한다.
\mathbf{F}_d = -\frac{1}{2}\rho C_d A v\mathbf{v}
여기서
- \rho: 공기 밀도
- C_d: 항력 계수
- A: 단면적
- v: 속력
2.6 부력
부력은 유체 안에 잠긴 물체에 작용한다.
\mathbf{F}_b = -\rho_{\text{fluid}}V\mathbf{g}
여기서 V는 잠긴 부피이다.
2.7 탄성력
용수철과 같은 탄성 요소가 가하는 힘이다.
\mathbf{F}_s = -k(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0)
여기서 k는 용수철 상수, \mathbf{r}_0는 자연 길이 위치이다.
2.8 전자기력
전기장이나 자기장에서의 대전된 물체에 작용하는 힘이다. 로렌츠 힘이 일반적인 형태이다.
\mathbf{F}_{\text{em}} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})
3. 토크의 모델링
3.1 외부 토크
외부 토크는 다양한 원인으로 발생한다.
- 모터 토크
- 외부 힘에 의한 토크
- 마찰 토크
- 공기 동역학 토크 (드론, 항공기)
3.2 외부 힘에 의한 토크
기준점 \mathbf{r}_{\text{ref}}에 대한 외력 \mathbf{F}가 만드는 토크는
\boldsymbol{\tau} = (\mathbf{r}_{\text{app}} - \mathbf{r}_{\text{ref}}) \times \mathbf{F}
여기서 \mathbf{r}_{\text{app}}는 외력의 작용점이다.
3.3 모터 토크
매니퓰레이터의 관절 모터의 토크는 직접 주어진다.
\tau_{\text{motor}}
3.4 마찰 토크
회전 관절의 마찰 토크는 일반적으로 다음과 같이 모델링된다.
\tau_f = -b\dot\theta - \mu_c\,\text{sgn}(\dot\theta)
여기서 b는 점성 마찰 계수, \mu_c는 쿨롱 마찰 토크이다.
3.5 공기 동역학 토크
드론과 항공기는 공기 동역학 토크를 받는다. 이는 공기력의 분포에 의해 발생한다.
4. 외력과 토크의 결합
4.1 일반화된 힘
강체에 작용하는 일반화된 힘은 외력과 외토크의 결합이다.
\mathcal{F} = \begin{bmatrix}\mathbf{F} \\ \boldsymbol{\tau}\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^6
이를 렌치(wrench)라 한다.
4.2 렌치의 변환
렌치는 좌표계 변환 시 특별한 변환 법칙을 따른다. 이는 렌치가 코트랑겐트 공간의 원소이기 때문이다.
5. 응용 예시: 매니퓰레이터의 외력
매니퓰레이터에 작용하는 외력은 다음을 포함한다.
- 각 링크의 중력
- 액추에이터 토크
- 관절의 마찰 토크
- 말단 장치의 외부 부하
6. 응용 예시: 드론
드론에 작용하는 외력은 다음을 포함한다.
- 중력
- 모터 추력
- 공기 항력
- 풍력
- 모터 회전에 의한 토크
7. 응용 예시: 자율 주행 차량
차량에 작용하는 외력은 다음을 포함한다.
- 중력
- 정상력 (휠과 도로)
- 마찰력 (가속, 감속, 회전)
- 공기 저항
8. 본 절의 의의
본 절은 외력과 외모멘트의 모델링을 다루었다. 정확한 모델링이 동역학 분석의 정확성을 결정한다. 다양한 로봇 시스템에서 적절한 외력 모델이 필요하다.
9. 참고 문헌
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
- Beer, F. P., Johnston Jr., E. R., Mazurek, D. F., & Cornwell, P. J. (2013). Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics (10th ed.). McGraw-Hill.
- Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
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