14.37 멀티로터 드론의 뉴턴-오일러 운동 방정식

1. 개요

멀티로터 드론은 여러 개의 회전익(로터)으로 양력을 발생시켜 비행하는 항공 로봇이다. 쿼드콥터, 헥사콥터, 옥토콥터 등의 형태가 있다. 본 절에서는 멀티로터 드론의 뉴턴-오일러 운동 방정식을 다룬다.

2. 멀티로터의 구조

2.1 일반적 구성

멀티로터는 몇 개의 회전익 모터, 각 모터에 부착된 프로펠러, 본체(프레임), 비행 제어기, 센서 등으로 구성된다. 회전익이 양력을 발생시켜 드론을 떠받친다.

2.2 쿼드콥터

쿼드콥터는 4개의 회전익을 가진 가장 흔한 멀티로터이다. 두 개의 회전익이 시계방향, 두 개가 반시계방향으로 회전하여 반력 토크를 균형시킨다.

2.3 자유도

멀티로터는 공간에서 6자유도(3자유도 위치 + 3자유도 방향)를 가지지만 직접 제어할 수 있는 입력은 4개(전체 추력 + 3축 토크)이다. 따라서 부족구동 시스템이다.

3. 좌표계의 정의

3.1 관성 좌표계와 본체 좌표계

관성 좌표계 $\{I\}$ : 지구 고정 좌표계
본체 좌표계 $\{B\}$ : 드론에 부착된 좌표계, 일반적으로 본체의 질량 중심에 위치

3.2 자세의 표현

본체의 자세는 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 또는 오일러 각, 사원수 등으로 표현된다.

4. 회전익에 의한 힘과 토크

4.1 각 회전익의 추력

각 회전익 $i$ 의 추력은 회전 속도의 제곱에 비례한다.

$T_i = c_T \omega_i^2$

여기서 $c_T$ 는 추력 계수이다.

4.2 각 회전익의 반력 토크

각 회전익이 발생시키는 반력 토크는 다음과 같다.

$\tau_{D,i} = c_Q \omega_i^2$

여기서 $c_Q$ 는 토크 계수이다.

4.3 총 추력

총 추력은 모든 회전익의 추력의 합이다.

$T = \sum_{i=1}^{n} T_i$

이 추력은 본체 좌표계의 $z$ 축 방향(보통 위쪽)으로 작용한다.

4.4 본체 토크

각 회전익의 추력이 본체의 질량 중심으로부터 떨어진 곳에 작용하므로 본체에 토크가 발생한다. 또한 반력 토크가 본체에 작용한다.

4.4.1 쿼드콥터의 경우

쿼드콥터의 X 형태에서 본체 토크는 다음과 같다.

$\tau_x = \frac{l}{\sqrt{2}}((-T_1 + T_2 + T_3 - T_4))$

$\tau_y = \frac{l}{\sqrt{2}}((T_1 + T_2 - T_3 - T_4))$

$\tau_z = -\tau_{D,1} + \tau_{D,2} - \tau_{D,3} + \tau_{D,4}$

여기서 $l$ 은 본체 중심에서 회전익까지의 거리이다.

5. 뉴턴-오일러 운동 방정식

5.1 병진 운동 방정식

본체의 병진 운동 방정식은 관성 좌표계에서 다음과 같다.

$m\ddot{\mathbf{p}} = \mathbf{R}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ T \end{bmatrix} - m\mathbf{g} - \mathbf{F}_{\text{drag}}$

여기서 $m$ 은 드론의 질량, $\mathbf{p}$ 는 본체의 위치, $\mathbf{g}$ 는 중력 가속도, $\mathbf{F}_{\text{drag}}$ 는 공기 저항이다.

5.2 회전 운동 방정식

본체의 회전 운동 방정식은 본체 좌표계에서 오일러 방정식으로 표현된다.

$\mathbf{I}\dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}) = \boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{\tau}_{\text{gyro}}$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 본체의 관성 텐서, $\boldsymbol{\omega}$ 는 본체 각속도, $\boldsymbol{\tau}$ 는 회전익에 의한 본체 토크, $\boldsymbol{\tau}_{\text{gyro}}$ 는 회전익의 자이로스코프 효과이다.

5.3 자세 운동학

본체의 자세 변화는 본체 각속도에 의해 결정된다.

$\dot{\mathbf{R}} = \mathbf{R}[\boldsymbol{\omega}]_{\times}$

여기서 $[\boldsymbol{\omega}]_{\times}$ 는 각속도의 비대칭 행렬이다.

6. 입력 매핑

6.1 입력 벡터

멀티로터의 제어 입력은 4개이다.

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} T \\ \tau_x \\ \tau_y \\ \tau_z \end{bmatrix}$

6.2 회전익 속도와의 관계

회전익 속도와 입력 사이의 관계는 다음과 같이 표현된다.

$\begin{bmatrix} T \\ \tau_x \\ \tau_y \\ \tau_z \end{bmatrix} = \mathbf{M}_{\text{mix}}\begin{bmatrix} \omega_1^2 \\ \omega_2^2 \\ \omega_3^2 \\ \omega_4^2 \end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{M}_{\text{mix}}$ 는 혼합 행렬이다. 역행렬을 통해 입력으로부터 회전익 속도를 결정한다.

7. 부족구동성과 제어

7.1 부족구동 특성

멀티로터는 6자유도 운동 자유도를 가지지만 4개의 독립 입력만 있다. 따라서 위치와 자세의 모든 자유도를 독립적으로 제어할 수 없다.

7.2 위치 제어

위치 제어는 본체의 자세를 변경하여 추력 방향을 조정함으로써 수행된다. 즉, 자세 제어가 위치 제어와 결합된다.

7.3 계층적 제어

일반적으로 위치 제어 루프가 자세 명령을 생성하고, 자세 제어 루프가 회전익 속도 명령을 생성하는 계층적 구조가 사용된다.

8. 응용

8.1 비행 시뮬레이션

멀티로터의 정확한 시뮬레이션은 운동 방정식의 수치 적분으로 수행된다.

8.2 자율 비행

자율 비행 제어 알고리즘은 운동 방정식 모형에 기반한다.

8.3 항공 사진과 검사

멀티로터는 항공 사진, 인프라 검사, 농업 등의 다양한 응용에 사용된다.

9. 본 절의 의의

본 절은 멀티로터 드론의 뉴턴-오일러 운동 방정식을 다루었다. 이 방정식은 멀티로터의 정확한 모형화와 비행 제어 설계의 기반이다.

10. 참고 문헌

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Beard, R. W., & McLain, T. W. (2012). Small Unmanned Aircraft: Theory and Practice. Princeton University Press.
Bouabdallah, S. (2007). Design and Control of Quadrotors with Application to Autonomous Flying. Ph.D. Thesis, EPFL.
Stevens, B. L., & Lewis, F. L. (2003). Aircraft Control and Simulation (2nd ed.). Wiley.

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