14.34 부유 기저 로봇의 뉴턴-오일러 방정식

1. 개요

부유 기저 로봇의 뉴턴-오일러 방정식은 자유로운 기저의 운동을 포함하므로 고정 기저 로봇의 방정식보다 확장된 형태이다. 본 절에서는 부유 기저 로봇의 뉴턴-오일러 방정식의 유도와 형식을 다룬다.

2. 부유 기저 로봇의 좌표

2.1 일반화 좌표

부유 기저 로봇의 일반화 좌표는 두 부분으로 구성된다.

$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_b \\ \mathbf{q}_j \end{bmatrix}, \quad \mathbf{q}_b \in \mathbb{R}^6 \text{ (또는 } SE(3)\text{)}, \quad \mathbf{q}_j \in \mathbb{R}^n$

기저의 좌표 $\mathbf{q}_b$ 는 기저의 위치(3개) 와 방향(3개)으로 구성되고, 관절 좌표 $\mathbf{q}_j$ 는 $n$ 개의 관절 변수로 구성된다.

2.2 일반화 속도

일반화 속도는 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_b \\ \dot{\mathbf{q}}_j \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_b = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\omega}_b \\ \mathbf{v}_b^{\text{lin}} \end{bmatrix}$

여기서 $\boldsymbol{\omega}_b$ 는 기저의 각속도이고 $\mathbf{v}_b^{\text{lin}}$ 은 기저의 선속도이다.

3. 동역학 방정식의 일반 형식

3.1 행렬 표현

부유 기저 로봇의 동역학 방정식은 다음의 형식으로 표현된다.

$\mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{v}} + \mathbf{h}(\mathbf{q}, \mathbf{v}) = \mathbf{S}^T\boldsymbol{\tau} + \mathbf{J}_c^T\mathbf{f}_c$

여기서

$\mathbf{M}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{(6+n)\times(6+n)}$ : 관성 행렬
$\mathbf{h}(\mathbf{q}, \mathbf{v})$ : 코리올리력, 원심력, 중력의 합
$\boldsymbol{\tau} \in \mathbb{R}^n$ : 관절 액추에이터 토크
$\mathbf{S} = [\mathbf{0}_{n\times 6}, \mathbf{I}_{n\times n}]$ : 액추에이터의 선택 행렬
$\mathbf{f}_c$ : 외부 접촉력
$\mathbf{J}_c$ : 접촉점에 대한 야코비안

3.2 부족구동성

선택 행렬 $\mathbf{S}$ 의 형태에서 알 수 있듯이 기저의 6자유도에 대해서는 직접 액추에이터가 없다. 따라서 부유 기저 로봇은 부족구동 시스템이다.

4. 분리된 방정식

4.1 기저측 방정식

동역학 방정식을 기저와 관절로 분리하면 기저측 방정식이 다음과 같다.

$\mathbf{M}_{bb}\dot{\mathbf{v}}_b + \mathbf{M}_{bj}\ddot{\mathbf{q}}_j + \mathbf{h}_b = \mathbf{J}_{cb}^T\mathbf{f}_c$

기저는 액추에이터의 직접 작용을 받지 않는다.

4.2 관절측 방정식

$\mathbf{M}_{jb}\dot{\mathbf{v}}_b + \mathbf{M}_{jj}\ddot{\mathbf{q}}_j + \mathbf{h}_j = \boldsymbol{\tau} + \mathbf{J}_{cj}^T\mathbf{f}_c$

관절은 액추에이터의 직접 작용을 받는다.

4.3 상호 결합

기저와 관절의 운동은 결합 행렬 $\mathbf{M}_{bj}$ 를 통해 결합된다. 관절의 운동이 기저의 운동을 유발하고 그 반대도 마찬가지이다.

5. 뉴턴-오일러 알고리즘의 확장

5.1 부유 기저용 알고리즘

부유 기저 로봇의 동역학을 위한 뉴턴-오일러 알고리즘은 고정 기저 알고리즘의 확장이다. 주요 차이는 기저의 운동(속도, 가속도)이 미지수이거나 계산되어야 한다는 점이다.

5.2 합성 강체 알고리즘

합성 강체 알고리즘(Composite Rigid Body Algorithm, CRBA)은 부유 기저 로봇의 관성 행렬 계산을 위한 효율적인 방법이다.

5.3 관절 공간 관성 알고리즘

관절 공간 관성 행렬 알고리즘(ABA 등)이 부유 기저 로봇에 확장된다. 이는 순동역학의 효율적 계산을 가능하게 한다.

6. 운동량과 각운동량

6.1 시스템 운동량

부유 기저 로봇의 시스템 운동량은 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{p} = \mathbf{A}_p(\mathbf{q})\mathbf{v}$

여기서 $\mathbf{A}_p$ 는 운동량 행렬이다.

6.2 운동량의 변화

운동량의 변화율은 외부 힘과 같다.

$\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{f}_{\text{ext}} + m\mathbf{g}_0$

이는 부유 기저 로봇의 동역학 분석에 자주 사용된다.

7. 응용

7.1 보행 로봇 시뮬레이션

보행 로봇의 정확한 동적 시뮬레이션은 부유 기저 뉴턴-오일러 방정식에 기반한다.

7.2 휴머노이드 로봇 제어

휴머노이드 로봇의 전신 제어는 부유 기저 동역학 모형을 활용한다.

7.3 우주 로봇

우주 로봇의 자세 제어와 매니퓰레이션은 부유 기저 동역학에 기반한다.

7.4 항공 로봇

드론과 다른 항공 로봇의 동역학과 제어도 부유 기저 모형을 사용한다.

8. 본 절의 의의

본 절은 부유 기저 로봇의 뉴턴-오일러 방정식을 다루었다. 부유 기저 동역학 방정식은 다양한 로봇 응용에서 정확한 모형화의 기반이다.

9. 참고 문헌

Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
Wieber, P.-B. (2006). Holonomy and nonholonomy in the dynamics of articulated motion. In Fast Motions in Biomechanics and Robotics (pp. 411-425). Springer.
Mistry, M., Buchli, J., & Schaal, S. (2010). Inverse dynamics control of floating base systems using orthogonal decomposition. IEEE International Conference on Robotics and Automation.
Sentis, L., & Khatib, O. (2005). Synthesis of whole-body behaviors through hierarchical control of behavioral primitives. International Journal of Humanoid Robotics, 2(4), 505-518.

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