14.31 폐쇄형 연쇄 기구의 구속 조건
1. 개요
폐쇄형 연쇄(closed chain) 기구는 사이클을 포함하는 기구 구조이다. 폐쇄 루프가 운동학적 구속을 부과하므로 분석이 개방형 연쇄보다 복잡하다. 본 절에서는 폐쇄형 연쇄 기구의 구속 조건을 다룬다.
2. 폐쇄형 연쇄의 정의
2.1 위상학적 구조
폐쇄형 연쇄는 강체와 관절의 그래프 구조에서 사이클을 포함한다. 즉, 한 강체에서 출발하여 관절을 따라가다가 같은 강체로 돌아오는 경로가 존재한다.
2.2 예시
- 4절 연결 기구: 가장 단순한 폐쇄형 연쇄
- 병렬 기구: 여러 다리로 말단을 지지
- 보행 로봇: 두 발이 동시에 지면에 접촉하면 폐쇄형 연쇄가 형성됨
2.3 자유도
폐쇄형 연쇄의 자유도는 그뤼블러(Grübler) 또는 쿠츠바흐(Kutzbach) 공식으로 계산된다.
F = 6(n - 1) - \sum_{i=1}^{j}(6 - f_i)
여기서 n은 강체의 수, j는 관절의 수, f_i는 관절 i의 자유도이다.
3. 구속 조건의 표현
3.1 위치 구속 조건
폐쇄 루프의 운동학적 구속은 일반화 좌표 사이의 대수 방정식으로 표현된다.
\boldsymbol{\Phi}(\mathbf{q}) = 0
여기서 \boldsymbol{\Phi} \in \mathbb{R}^m이고 m은 구속 조건의 수이다.
3.2 속도 구속 조건
위치 구속 조건을 시간 미분하면 속도 구속 조건이 얻어진다.
\frac{d\boldsymbol{\Phi}}{dt} = \frac{\partial \boldsymbol{\Phi}}{\partial \mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}} = \boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}} = 0
여기서 \boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}는 구속 야코비안이다.
3.3 가속도 구속 조건
다시 시간 미분하면 가속도 구속 조건이 얻어진다.
\boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}\ddot{\mathbf{q}} + \dot{\boldsymbol{\Phi}}_{\mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}} = 0
또는
\boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}\ddot{\mathbf{q}} = -\dot{\boldsymbol{\Phi}}_{\mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}} \equiv \boldsymbol{\gamma}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})
4. 구속 조건의 종류
4.1 홀로노믹 구속
홀로노믹 구속은 위치만의 함수로 표현되는 구속이다.
\boldsymbol{\Phi}(\mathbf{q}) = 0
폐쇄 루프 구속은 일반적으로 홀로노믹이다.
4.2 비홀로노믹 구속
비홀로노믹 구속은 속도를 포함하며 적분 불가능한 구속이다.
\mathbf{A}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} = 0
차륜형 이동 로봇의 구름 구속 등이 이에 해당한다.
5. 구속 야코비안
5.1 정의
구속 야코비안은 구속 함수의 일반화 좌표에 대한 편미분이다.
\boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}} = \frac{\partial \boldsymbol{\Phi}}{\partial \mathbf{q}} \in \mathbb{R}^{m \times n}
5.2 계수
구속 야코비안의 계수가 구속 조건의 독립 수를 나타낸다. 계수가 m이면 모든 구속 조건이 독립적이다.
5.3 특이성
특정 자세에서 구속 야코비안의 계수가 떨어지면 구속 특이성이 발생한다. 이는 기구의 운동학적 변화점과 관련된다.
6. 라그랑주 곱셈수와 구속력
6.1 동역학 방정식의 확장
폐쇄형 연쇄 기구의 동역학 방정식은 라그랑주 곱셈수를 도입한다.
\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}^T \boldsymbol{\lambda}
여기서 \boldsymbol{\lambda} \in \mathbb{R}^m이 라그랑주 곱셈수이다.
6.2 구속력의 의미
라그랑주 곱셈수는 구속 조건을 유지하기 위해 발생하는 내부 구속력에 해당한다. 이는 시스템이 구속 조건을 만족하는 운동을 수행하도록 한다.
6.3 결합 시스템
폐쇄형 연쇄 기구의 동역학과 구속 조건이 함께 결합된 시스템은 다음의 미분-대수 방정식(DAE)을 형성한다.
\begin{cases} \mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g} + \boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}^T\boldsymbol{\lambda} = \boldsymbol{\tau} \\ \boldsymbol{\Phi}(\mathbf{q}) = 0 \end{cases}
7. 구속 위반의 안정화
7.1 수치 적분의 문제
수치 적분에서 가속도 구속 조건만을 사용하면 위치 구속 조건이 점진적으로 위반될 수 있다. 이를 표류(drift)라 한다.
7.2 바움가르트 안정화
바움가르트 안정화(Baumgarte stabilization)는 가속도 구속 조건에 위치와 속도 오차를 더하여 안정화한다.
\boldsymbol{\Phi}_{\mathbf{q}}\ddot{\mathbf{q}} + 2\alpha\dot{\boldsymbol{\Phi}} + \beta^2\boldsymbol{\Phi} = -\dot{\boldsymbol{\Phi}}_{\mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}}
여기서 \alpha, \beta는 양의 상수이다.
7.3 사영 방법
사영 방법은 적분 후 위치와 속도를 구속 다양체에 사영하여 구속 조건을 정확히 유지한다.
8. 응용
8.1 절 연결 기구
4절 연결 기구는 가장 단순한 폐쇄형 연쇄이며 그 운동학과 동역학이 잘 연구되어 있다.
8.2 병렬 매니퓰레이터
스튜어트 플랫폼 등의 병렬 매니퓰레이터는 폐쇄형 연쇄의 대표적 예이다.
8.3 보행 로봇
보행 로봇이 두 발로 지면에 접촉하는 단계에서는 폐쇄형 연쇄가 형성된다.
9. 본 절의 의의
본 절은 폐쇄형 연쇄 기구의 구속 조건을 다루었다. 구속 조건의 정확한 처리는 폐쇄형 연쇄의 운동학과 동역학 분석의 기반이다.
10. 참고 문헌
- Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
- Haug, E. J. (1989). Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems. Allyn and Bacon.
- Tsai, L. W. (1999). Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators. Wiley.
- Merlet, J.-P. (2006). Parallel Robots (2nd ed.). Springer.
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