14.3 오일러 회전 방정식의 유도

1. 개요

오일러 회전 방정식은 강체의 회전 운동을 본체 좌표계에서 기술하는 운동 방정식이다. 1758년 레온하르트 오일러에 의해 제시되었으며, 강체 동역학의 핵심 방정식이다. 본 절에서는 오일러 회전 방정식의 체계적 유도를 다룬다.

2. 출발점

2.1 각운동량과 토크의 관계

관성 좌표계에서 강체의 회전 운동 방정식은

\frac{d\mathbf{L}}{dt}\bigg|_{\text{inertial}} = \boldsymbol{\tau}

여기서 \mathbf{L}은 각운동량, \boldsymbol{\tau}는 외부 토크이다.

2.2 본체 좌표계의 도입

본체 좌표계에서는 관성 텐서가 시간에 무관하다. 이는 분석을 단순화한다. 그러나 본체 좌표계는 회전하므로 추가 항이 필요하다.

3. 회전 좌표계의 시간 미분

3.1 변환 공식

벡터 \mathbf{A}의 시간 미분을 두 좌표계에서 비교하면

\frac{d\mathbf{A}}{dt}\bigg|_{\text{inertial}} = \frac{d\mathbf{A}}{dt}\bigg|_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A}

여기서 \boldsymbol{\omega}는 본체 좌표계의 각속도이다.

3.2 의미

이 공식은 회전 좌표계에서 측정한 미분과 관성 좌표계에서 측정한 미분 사이의 관계를 표현한다. 회전 효과로 인해 추가 항 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{A}가 등장한다.

4. 운동 방정식의 변환

4.1 각운동량에 적용

각운동량에 변환 공식을 적용하면

\frac{d\mathbf{L}}{dt}\bigg|_{\text{inertial}} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}\bigg|_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L}

4.2 운동 방정식

이를 운동 방정식 \dot{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\tau}에 대입하면

\frac{d\mathbf{L}}{dt}\bigg|_{\text{body}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} = \boldsymbol{\tau}

4.3 관성 텐서

본체 좌표계에서 \mathbf{L} = \mathbf{I}_{\text{body}}\boldsymbol{\omega}이며, \mathbf{I}_{\text{body}}는 시간에 무관하다.

\frac{d\mathbf{L}}{dt}\bigg|_{\text{body}} = \mathbf{I}_{\text{body}}\dot{\boldsymbol{\omega}}

4.4 결과

따라서

\mathbf{I}_{\text{body}}\dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{I}_{\text{body}}\boldsymbol{\omega}) = \boldsymbol{\tau}

이것이 본체 좌표계에서의 회전 운동 방정식이다.

5. 주축 좌표계로의 단순화

5.1 주축 선택

본체 좌표계를 주축 좌표계로 선택하면 관성 텐서가 대각 행렬이 된다.

\mathbf{I}_{\text{principal}} = \text{diag}(I_1, I_2, I_3)

5.2 성분의 계산

각속도 \boldsymbol{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)와 토크 \boldsymbol{\tau} = (\tau_1, \tau_2, \tau_3)를 사용하여 운동 방정식의 각 성분을 계산한다.

5.2.1 자이로스코프 항

\mathbf{I}\boldsymbol{\omega} = (I_1\omega_1, I_2\omega_2, I_3\omega_3)

\boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}) = ((I_3 - I_2)\omega_2\omega_3, (I_1 - I_3)\omega_3\omega_1, (I_2 - I_1)\omega_1\omega_2)

5.2.2 운동 방정식의 성분

따라서

I_1\dot\omega_1 + (I_3 - I_2)\omega_2\omega_3 = \tau_1

I_2\dot\omega_2 + (I_1 - I_3)\omega_3\omega_1 = \tau_2

I_3\dot\omega_3 + (I_2 - I_1)\omega_1\omega_2 = \tau_3

이것이 오일러 회전 방정식이다.

6. 의미

6.1 비선형성

오일러 방정식의 자이로스코프 항 (I_k - I_j)\omega_j\omega_k는 비선형이다. 이는 회전 동역학의 본질적 비선형성을 표현한다.

6.2 결합

다른 축의 회전이 결합되어 있다. 한 축의 운동이 다른 축에 영향을 준다.

6.3 단순한 경우

다음의 경우에 오일러 방정식이 단순화된다.

• 한 축 주위의 회전: 다른 두 성분이 0이면 자이로스코프 항이 0이다.
• 구형 강체: I_1 = I_2 = I_3이면 자이로스코프 항이 0이다.

7. 본 절의 의의

본 절은 오일러 회전 방정식의 유도를 다루었다. 이는 강체 회전 동역학의 가장 기본적인 식이며, 매니퓰레이터, 우주선, 무인 항공기 등의 분석에 사용된다.

8. 참고 문헌

• Euler, L. (1758). “Du mouvement de rotation des corps solides autour d’un axe variable.”
• Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
• Greenwood, D. T. (2003). Advanced Dynamics. Cambridge University Press.
• Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.

version: 1.0