14.29 개방형 연쇄 기구의 동역학 모델링

1. 개요

개방형 연쇄(open chain) 기구는 한쪽 끝(기저)이 고정되고 다른 쪽 끝(말단)이 자유로운 구조의 기계 기구이다. 직렬 매니퓰레이터가 대표적인 예이다. 본 절에서는 개방형 연쇄 기구의 동역학 모델링 방법을 다룬다.

2. 개방형 연쇄 기구의 정의

2.1 위상학적 구조

개방형 연쇄는 강체와 관절의 그래프 구조에서 사이클이 없는 트리 구조를 형성한다. 각 강체는 하나의 부모 강체와 임의 수의 자식 강체에 연결된다.

2.2 직렬 연쇄

직렬 연쇄는 각 강체가 정확히 하나의 자식 강체를 가지는 단순한 트리 구조이다. 매니퓰레이터는 일반적으로 직렬 연쇄이다.

2.3 가지 연쇄

여러 자식을 가지는 강체가 있으면 가지 연쇄(branched chain)가 된다. 휴머노이드 로봇의 상체 등이 이에 해당한다.

3. 운동학적 변수

3.1 일반화 좌표

개방형 연쇄의 자유도가 n이면 일반화 좌표 \mathbf{q} \in \mathbb{R}^n가 정의된다. 일반적으로 각 관절의 변위가 일반화 좌표가 된다.

3.2 관절의 종류

• 회전 관절(revolute joint): 1자유도 회전
• 직선 관절(prismatic joint): 1자유도 병진
• 구면 관절(spherical joint): 3자유도 회전
• 자유 관절(free joint): 6자유도

각 관절의 자유도가 매니퓰레이터의 총 자유도에 더해진다.

3.3 동차 변환과 운동학 모형

각 관절에 대해 좌표 변환이 정의되며, 이들의 누적이 매니퓰레이터의 운동학 모형을 형성한다. 일반적으로 디나비트-하르텐베르크(Denavit-Hartenberg) 방법이 사용된다.

4. 동역학 모형의 일반 형식

4.1 표준 형식

개방형 연쇄 매니퓰레이터의 동역학 방정식은 다음의 표준 형식이다.

\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau} + \mathbf{J}^T(\mathbf{q})\mathbf{F}_{\text{ext}}

여기서 \mathbf{F}_{\text{ext}}는 외부 힘이고 \mathbf{J}는 외부 힘의 작용점에 대한 자코비안이다.

4.2 항의 해석

• \mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}: 관성 토크
• \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}: 코리올리력 및 원심력
• \mathbf{g}(\mathbf{q}): 중력 토크
• \boldsymbol{\tau}: 관절 액추에이터 토크
• \mathbf{J}^T\mathbf{F}_{\text{ext}}: 외부 힘의 관절 토크로의 사상

5. 모형의 유도 방법

5.1 라그랑주 방법

라그랑주 방법은 운동 에너지와 위치 에너지로부터 동역학 방정식을 유도한다. 운동 에너지 T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})와 위치 에너지 U(\mathbf{q})로부터 라그랑지언 L = T - U를 정의하고, 라그랑주 방정식을 적용한다.

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \tau_i

5.2 뉴턴-오일러 방법

뉴턴-오일러 방법은 각 강체에 대한 뉴턴-오일러 방정식을 적용하고, 재귀적으로 운동량과 힘을 전파하여 관절 토크를 계산한다.

5.3 케인의 방법

케인의 방법(Kane’s method)은 일반화 속도와 부분 속도를 사용하여 동역학 방정식을 유도한다. 라그랑주 방법보다 효율적인 경우가 있다.

5.4 가상 일의 원리

가상 일의 원리는 가상 변위와 일반화 힘의 관계로부터 동역학 방정식을 유도한다.

6. 동역학 매개 변수

6.1 강체의 매개 변수

각 강체에 대해 다음의 매개 변수가 필요하다.

• 질량 m_i
• 질량 중심의 위치 \mathbf{r}_{c,i}
• 관성 텐서 \mathbf{I}_i (3x3 대칭 행렬, 6개의 독립 성분)

총 10개의 매개 변수가 강체당 필요하다.

6.2 매개 변수의 식별

매개 변수는 CAD 모형으로부터 추정되거나 시스템 식별 기법으로 식별된다.

6.3 선형 매개 변수화

매니퓰레이터의 동역학 방정식은 매개 변수에 대해 선형으로 표현될 수 있다. 이는 적응 제어와 매개 변수 식별의 기반이다.

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{Y}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}})\boldsymbol{\pi}

여기서 \boldsymbol{\pi}는 매개 변수 벡터이고 \mathbf{Y}는 회귀 행렬이다.

7. 응용

7.1 매니퓰레이터 제어

개방형 연쇄 매니퓰레이터의 제어 설계는 동역학 모형에 기반한다.

7.2 동적 시뮬레이션

매니퓰레이터의 동적 시뮬레이션은 동역학 모형의 수치 적분으로 수행된다.

7.3 매개 변수 식별

운동 데이터로부터 동역학 매개 변수를 식별하기 위해 회귀 행렬 형식이 사용된다.

7.4 휴머노이드 로봇의 모형

휴머노이드 로봇은 가지 구조의 개방형 연쇄로 모형화된다.

8. 본 절의 의의

본 절은 개방형 연쇄 기구의 동역학 모델링 방법을 다루었다. 이는 매니퓰레이터의 정확한 모형화의 기반이며, 제어 설계, 시뮬레이션, 매개 변수 식별에서 핵심적이다.

9. 참고 문헌

• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
• Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
• Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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