14.28 유연 관절의 동역학 방정식

1. 개요

유연 관절을 가진 매니퓰레이터의 동역학 방정식은 강체 매니퓰레이터의 방정식보다 자유도가 두 배가 되며 더 복잡한 구조를 가진다. 본 절에서는 유연 관절의 동역학 방정식의 유도와 형식을 자세히 다룬다.

2. 모형의 가정

2.1 스퐁의 모형

유연 관절 매니퓰레이터의 표준 모형은 1987년 스퐁(Spong)이 제시한 모형이다. 주요 가정은 다음과 같다.

모터의 회전자는 관성 대칭이다.
회전자의 질량 중심은 회전축 위에 있다.
모터의 운동 에너지는 단순한 형태이다.

이러한 가정 아래 동역학 방정식이 단순화된다.

2.2 변수의 정의

$\mathbf{q} \in \mathbb{R}^n$ : 링크 각도 벡터
$\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{R}^n$ : 모터 각도 벡터 (감속기 출력 환산)
$\mathbf{q}, \boldsymbol{\theta}$ 가 일치하면 강체 모형이 된다.

3. 동역학 방정식의 유도

3.1 라그랑지언

매니퓰레이터의 라그랑지언은 운동 에너지에서 위치 에너지를 뺀 것이다.

$L = T - U$

운동 에너지는 링크의 운동 에너지와 모터의 운동 에너지로 구성된다.

$T = T_{\text{link}}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) + T_{\text{motor}}(\dot{\boldsymbol{\theta}})$

위치 에너지는 중력에 의한 위치 에너지와 탄성 위치 에너지의 합이다.

$U = U_g(\mathbf{q}) + U_e(\mathbf{q}, \boldsymbol{\theta})$

탄성 위치 에너지는

$U_e = \frac{1}{2}(\boldsymbol{\theta} - \mathbf{q})^T \mathbf{K}(\boldsymbol{\theta} - \mathbf{q})$

여기서 $\mathbf{K}$ 는 양정행렬인 탄성 행렬이다.

3.2 운동 방정식

라그랑주 방정식을 적용하면 다음의 운동 방정식이 얻어진다.

링크측

$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) + \mathbf{K}(\mathbf{q} - \boldsymbol{\theta}) = 0$

모터측

$\mathbf{J}_m \ddot{\boldsymbol{\theta}} + \mathbf{K}(\boldsymbol{\theta} - \mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}_m$

여기서 $\mathbf{M}(\mathbf{q})$ 는 링크의 관성 행렬, $\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ 는 코리올리/원심력 행렬, $\mathbf{g}(\mathbf{q})$ 는 중력 항, $\mathbf{J}_m$ 은 모터 관성 행렬, $\boldsymbol{\tau}_m$ 은 모터 토크 벡터이다.

4. 동역학 방정식의 성질

4.1 자유도

$n$ 개의 관절을 가진 유연 관절 매니퓰레이터는 $2n$ 개의 자유도를 가진다. 강체 매니퓰레이터의 두 배이다.

4.2 카스케이드 구조

링크측과 모터측 방정식이 탄성 항을 통해 결합된 카스케이드 구조를 가진다. 모터 토크는 모터측에 직접 작용하고, 링크는 탄성 항을 통해 간접적으로 구동된다.

4.3 비선형성

링크측의 관성 행렬, 코리올리/원심력 행렬, 중력 항은 비선형이다. 탄성 항과 모터측은 일반적으로 선형이다.

4.4 결합과 비결합

스퐁의 가정 아래 모터의 운동 에너지는 모터 각도 속도에만 의존하므로 모터측 방정식이 단순화된다. 이를 단순 모형(simplified model)이라 한다. 결합 모형(complete model)은 모터 운동 에너지의 결합도 고려한다.

5. 상태 공간 표현

5.1 상태 변수

상태 공간 표현을 위해 다음의 상태 변수를 정의한다.

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{q} \\ \dot{\mathbf{q}} \\ \boldsymbol{\theta} \\ \dot{\boldsymbol{\theta}} \end{bmatrix}$

총 $4n$ 개의 상태 변수가 필요하다.

5.2 상태 방정식

상태 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \mathbf{B}(\mathbf{x})\boldsymbol{\tau}_m$

이러한 상태 공간 모형은 시뮬레이션과 제어 설계의 기반이 된다.

6. 마찰과 감쇠의 추가

6.1 모터 마찰

모터의 점성 마찰을 추가하면 모터측 방정식이 다음과 같이 확장된다.

$\mathbf{J}_m\ddot{\boldsymbol{\theta}} + \mathbf{B}_m\dot{\boldsymbol{\theta}} + \mathbf{K}(\boldsymbol{\theta} - \mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}_m$

여기서 $\mathbf{B}_m$ 은 모터의 점성 마찰 행렬이다.

6.2 탄성 감쇠

탄성 요소의 감쇠를 고려하면 탄성 토크에 감쇠 항이 추가된다.

$\boldsymbol{\tau}_e = \mathbf{K}(\boldsymbol{\theta} - \mathbf{q}) + \mathbf{D}(\dot{\boldsymbol{\theta}} - \dot{\mathbf{q}})$

여기서 $\mathbf{D}$ 는 감쇠 행렬이다.

7. 선형화

7.1 평형점 주위의 선형화

특정 평형점 주위에서 동역학 방정식을 선형화하여 선형 시스템 분석을 수행할 수 있다. 이는 자연 진동수와 모드 분석에 사용된다.

7.2 선형화의 한계

선형화는 작은 진동에 대해서만 정확하다. 큰 운동에서는 비선형성이 중요하다.

8. 응용

8.1 유연 관절 제어

유연 관절 매니퓰레이터의 정밀 제어를 위한 모형 기반 제어 설계에 사용된다.

8.2 진동 분석

유연 관절의 진동 특성과 공진 분석에 사용된다.

8.3 안전 분석

탄성 관절의 충격 흡수 특성과 안전 분석에 사용된다.

9. 본 절의 의의

본 절은 유연 관절의 동역학 방정식을 다루었다. 이 방정식은 유연 관절 매니퓰레이터의 정확한 모형화의 기반이며, 정밀 제어와 진동 분석에서 중요하다.

10. 참고 문헌

Spong, M. W. (1987). Modeling and control of elastic joint robots. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 109(4), 310-319.
De Luca, A., & Lucibello, P. (1998). A general algorithm for dynamic feedback linearization of robots with elastic joints. IEEE International Conference on Robotics and Automation.
Tomei, P. (1991). A simple PD controller for robots with elastic joints. IEEE Transactions on Automatic Control, 36(10), 1208-1213.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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