14.26 관절 마찰 토크의 역동역학 반영
1. 개요
매니퓰레이터의 역동역학에서 관절 마찰 토크의 정확한 반영은 실제 액추에이터 토크 예측의 정확도를 결정한다. 이상적인 무마찰 모형의 계산 결과에 마찰 토크를 추가하여 실제 시스템에 가까운 결과를 얻는다. 본 절에서는 관절 마찰 토크를 역동역학에 반영하는 방법을 다룬다.
2. 마찰 토크의 동역학 방정식 통합
2.1 마찰을 포함한 동역학 방정식
관절 마찰을 포함한 매니퓰레이터의 동역학 방정식은 다음과 같이 확장된다.
\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) + \boldsymbol{\tau}_{\text{friction}}(\dot{\mathbf{q}}) = \boldsymbol{\tau}
여기서 \boldsymbol{\tau}_{\text{friction}}은 각 관절의 마찰 토크 벡터이다.
2.2 마찰 토크 벡터의 구성
각 관절의 마찰 토크는 일반적으로 그 관절의 속도에만 의존한다.
[\boldsymbol{\tau}_{\text{friction}}]_i = \tau_{F,i}(\dot{q}_i)
이는 관절들 사이의 마찰 결합이 약하다는 가정에 기반한다.
3. 역동역학에서의 마찰 보정
3.1 무마찰 역동역학과의 결합
뉴턴-오일러 역동역학 알고리즘으로 무마찰 토크 \boldsymbol{\tau}_{\text{NE}}를 계산한 후 마찰 토크를 더하여 최종 토크를 얻는다.
\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}_{\text{NE}}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}}) + \boldsymbol{\tau}_{\text{friction}}(\dot{\mathbf{q}})
이는 마찰이 다른 동역학 항과 독립적으로 추가된다는 가정에 기반한다.
3.2 마찰 모형의 선택
쿨롱 + 점성 모형을 사용하면 다음과 같다.
\tau_{F,i}(\dot{q}_i) = \tau_{C,i}\,\text{sgn}(\dot{q}_i) + \beta_i \dot{q}_i
더 정확한 모형이 필요한 경우 스트라이벡 모형이나 르그르 모형이 사용된다.
4. 정지 상태에서의 처리
4.1 부호 함수의 불연속성
쿨롱 마찰 모형은 정지 상태(\dot{q} = 0)에서 부호 함수의 불연속성을 가지며, 이는 수치적 문제를 일으킬 수 있다.
4.2 평활화
부호 함수를 평활한 함수로 근사하는 방법이 자주 사용된다.
\text{sgn}(\dot{q}) \approx \tanh\left(\frac{\dot{q}}{\epsilon}\right)
여기서 \epsilon은 작은 양수이다.
4.3 임계값 처리
또 다른 방법은 작은 임계값 \delta 이하의 속도에서 마찰 토크를 0으로 설정하는 것이다.
\tau_{F,i} = \begin{cases} \tau_{C,i}\,\text{sgn}(\dot{q}_i) + \beta_i \dot{q}_i & \vert \dot{q}_i\vert > \delta \\ 0 & \vert \dot{q}_i\vert \leq \delta \end{cases}
5. 정지 마찰의 처리
5.1 정지 마찰의 효과
정지 마찰은 정지 상태에서 운동을 시작하기 위해 일정 토크가 필요함을 의미한다. 이는 역동역학에서 명시적 처리가 어렵다.
5.2 정지 상태 검출
매니퓰레이터의 정지 상태가 검출되면 인가 토크가 정지 마찰 한계를 초과하는지 확인하여 운동 시작을 결정한다.
5.3 모드 전환
정지와 운동 사이의 모드 전환을 명시적으로 처리하는 방법이 있다.
6. 감속기 마찰의 모형화
6.1 감속기 효율
매니퓰레이터의 관절에 사용되는 감속기는 대체로 효율이 100%가 아니다. 효율 \eta를 도입하여 마찰 효과를 모형화할 수 있다.
\tau_{\text{out}} = N\eta \tau_{\text{in}} - \tau_F
여기서 N은 감속비이다.
6.2 부하 의존 마찰
감속기의 마찰은 부하에 의존할 수 있다. 일부 모형은 부하 의존 항을 포함한다.
7. 마찰 보상의 정확도
7.1 식별 정확도
마찰 모형 파라미터의 식별 정확도가 보상의 정확도를 결정한다.
7.2 시간 변동성
마찰 특성은 온도, 마모, 윤활 상태에 따라 시간이 지남에 따라 변할 수 있다. 이를 위해 적응 보상이 필요할 수 있다.
7.3 적응 추정
온라인으로 마찰 파라미터를 추정하고 보상하는 적응 방법이 사용된다.
8. 응용
8.1 정밀 추종 제어
정밀 추종 제어에서 마찰 토크의 보상은 추종 오차를 크게 줄인다.
8.2 직접 교시
협동 매니퓰레이터의 직접 교시 모드에서 마찰 보상이 정확하면 사용자가 가벼운 힘으로 매니퓰레이터를 움직일 수 있다.
8.3 동적 시뮬레이션
매니퓰레이터의 정확한 동적 시뮬레이션은 마찰 모형을 포함해야 한다.
9. 본 절의 의의
본 절은 관절 마찰 토크를 역동역학에 반영하는 방법을 다루었다. 마찰의 정확한 반영은 실제 시스템의 토크 예측과 정밀 제어에 필수적이다.
10. 참고 문헌
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
- Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2010). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
- Olsson, H., Åström, K. J., Canudas de Wit, C., Gäfvert, M., & Lischinsky, P. (1998). Friction models and friction compensation. European Journal of Control, 4(3), 176-195.
- Armstrong-Hélouvry, B. (1991). Control of Machines with Friction. Kluwer Academic Publishers.
version: 1.0