14.15 후방 재귀: 토크 전파

1. 개요

후방 재귀의 토크 전파는 각 링크에 작용하는 토크를 말단에서 베이스로 전파하는 단계이다. 본 절에서는 토크의 전파와 관절 토크의 추출을 다룬다.

2. 토크의 평형

2.1 링크 $i$ 의 토크 평형

링크 $i$ 의 질량 중심 또는 좌표계 $i$ 의 원점에 대한 토크 평형을 고려한다.

$\boldsymbol{\tau}_i = \mathbf{R}_{i+1}^i\boldsymbol{\tau}_{i+1} + \mathbf{N}_i + \mathbf{r}_{c,i} \times \mathbf{F}_i + \mathbf{r}_{i, i+1} \times (\mathbf{R}_{i+1}^i\mathbf{f}_{i+1})$

여기서

$\boldsymbol{\tau}_i$ : 링크 $i - 1$ 이 링크 $i$ 에 가하는 토크
$\mathbf{N}_i$ : 링크 $i$ 의 관성 모멘트
$\mathbf{F}_i$ : 링크 $i$ 의 관성력
$\mathbf{r}_{c,i}$ : 좌표계 $i$ 의 원점에서 질량 중심으로의 벡터
$\mathbf{r}_{i, i+1}$ : 좌표계 $i$ 의 원점에서 좌표계 $i + 1$ 의 원점으로의 벡터

2.2 항의 의미

$\mathbf{R}_{i+1}^i\boldsymbol{\tau}_{i+1}$ : 다음 링크에서 받는 토크
$\mathbf{N}_i$ : 회전 운동에 의한 관성 모멘트
$\mathbf{r}_{c,i} \times \mathbf{F}_i$ : 관성력에 의한 토크
$\mathbf{r}_{i, i+1} \times (\mathbf{R}_{i+1}^i\mathbf{f}_{i+1})$ : 다음 링크에서 받는 힘에 의한 토크

3. 관절 토크의 추출

3.1 회전 관절

회전 관절의 경우 관절 토크는 링크 $i$ 에 작용하는 토크의 관절 축 방향 성분이다.

$\tau_{j,i} = \boldsymbol{\tau}_i^T\hat{\mathbf{z}}_i$

여기서 $\hat{\mathbf{z}}_i$ 는 관절 $i$ 의 회전 축의 단위 벡터이다.

3.2 직선 관절

직선 관절의 경우 관절 힘은 링크 $i$ 에 작용하는 힘의 관절 축 방향 성분이다.

$\tau_{j,i} = \mathbf{f}_i^T\hat{\mathbf{z}}_i$

3.3 의미

관절 토크/힘은 액추에이터(모터)가 제공해야 하는 양이다. 매니퓰레이터의 동역학 분석의 최종 출력이다.

4. 시작 조건

4.1 외부 토크

말단 링크에 가해지는 외부 토크 $\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}$ 가 알려져 있어야 한다. 외력이 없으면

$\boldsymbol{\tau}_{n+1} = \mathbf{0}$

5. 알고리즘

τ_{n+1} = 외부 토크 (또는 0)

for i = n to 1:
    τ_i = R^i_{i+1} * τ_{i+1} + N_i + r_{c,i} × F_i 
          + r_{i,i+1} × (R^i_{i+1} * f_{i+1})
    
    if 회전 관절:
        tau_joint_i = τ_i^T * z_i
    else if 직선 관절:
        tau_joint_i = f_i^T * z_i

6. 본 절의 의의

본 절은 후방 재귀의 토크 전파를 다루었다. 이는 매니퓰레이터의 동역학 계산의 마지막 단계이며, 관절 토크의 계산을 완성한다.

7. 참고 문헌

Luh, J. Y. S., Walker, M. W., & Paul, R. P. (1980). “On-line computational scheme for mechanical manipulators.” Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 102(2), 69–76.
Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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