14.14 후방 재귀: 힘 전파

1. 개요

후방 재귀의 두 번째 단계는 힘의 전파이다. 말단에서 베이스로 각 링크에 작용하는 힘이 전파된다. 본 절에서는 힘의 전파를 다룬다.

2. 힘의 평형

2.1 링크 $i$ 의 힘 평형

링크 $i$ 에 작용하는 힘의 평형을 고려한다. 작용하는 힘은 다음과 같다.

링크 $i - 1$ 로부터의 반력 $\mathbf{f}_i$
링크 $i + 1$ 로의 작용력 (반작용으로 $-\mathbf{f}_{i+1}$ 이 링크 $i$ 에 가해짐)
관성력 $\mathbf{F}_i$

뉴턴의 제2법칙은 이미 관성력으로 표현되어 있으므로, 이 모든 힘의 합이 0이 되는 형식이 된다.

$\mathbf{f}_i - \mathbf{R}_{i+1}^i\mathbf{f}_{i+1} - \mathbf{F}_i = \mathbf{0}$

또는

$\mathbf{f}_i = \mathbf{R}_{i+1}^i\mathbf{f}_{i+1} + \mathbf{F}_i$

3. 힘의 전파 식

3.1 일반 형식

$\mathbf{f}_i = \mathbf{R}_{i+1}^i\mathbf{f}_{i+1} + \mathbf{F}_i$

여기서

$\mathbf{f}_i$ : 링크 $i - 1$ 이 링크 $i$ 에 가하는 힘 (좌표계 $i$ 에서 표현)
$\mathbf{f}_{i+1}$ : 링크 $i$ 가 링크 $i + 1$ 에 가하는 힘 (좌표계 $i + 1$ 에서 표현)
$\mathbf{R}_{i+1}^i$ : 좌표계 $i + 1$ 에서 좌표계 $i$ 로의 회전 행렬
$\mathbf{F}_i$ : 링크 $i$ 의 관성력

3.2 회전 변환

$\mathbf{R}_{i+1}^i\mathbf{f}_{i+1}$ 는 좌표계 $i + 1$ 에서 표현된 힘을 좌표계 $i$ 로 변환한다. 두 좌표계가 회전 행렬로 관련되어 있다.

4. 시작 조건

4.1 말단의 외부 힘

말단 링크에 가해지는 외부 힘 $\mathbf{f}_{\text{ext}}$ 가 알려져 있어야 한다. 외력이 없으면

$\mathbf{f}_{n+1} = \mathbf{0}$

이로부터 후방 재귀가 시작된다.

4.2 외부 부하

매니퓰레이터가 객체를 잡고 있는 등 외부 부하가 있는 경우, 그 부하의 힘이 시작 조건에 포함된다.

5. 알고리즘

f_{n+1} = 외부 힘 (또는 0)

for i = n to 1:
    f_i = R^i_{i+1} * f_{i+1} + F_i

6. 의미

6.1 누적

힘은 말단에서 베이스로 전파되면서 누적된다. 베이스에 가까운 링크는 모든 후속 링크의 힘을 전달해야 한다.

6.2 정역학과의 연결

가속도가 0인 정적 평형의 경우, 관성력 $\mathbf{F}_i$ 가 0이 된다. 이는 정역학 분석으로 환원된다.

7. 본 절의 의의

본 절은 후방 재귀의 힘 전파를 다루었다. 이는 매니퓰레이터의 동역학 계산의 핵심 단계이며, 다음 단계인 토크 전파의 기초이다.

8. 참고 문헌

Luh, J. Y. S., Walker, M. W., & Paul, R. P. (1980). “On-line computational scheme for mechanical manipulators.” Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 102(2), 69–76.
Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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