13.44 뉴턴-오일러 재귀 알고리즘의 순방향 재귀

1. 개요

뉴턴-오일러 재귀 알고리즘의 순방향 재귀(forward recursion)는 베이스에서 말단으로 운동학적 양(각속도, 각가속도, 선가속도)을 전파하는 단계이다. 본 절에서는 순방향 재귀의 세부 사항과 수식을 다룬다.

2. 순방향 재귀의 목적

2.1 운동학적 양의 계산

순방향 재귀는 각 링크의 운동학적 양을 계산한다. 이 양들은 후속의 역방향 재귀에서 사용된다.

2.2 계산되는 양

각 링크 $i$ 에 대해 다음의 양들이 계산된다.

$\boldsymbol{\omega}_i$ : 링크 $i$ 의 각속도
$\dot{\boldsymbol{\omega}}_i$ : 링크 $i$ 의 각가속도
$\mathbf{a}_{c,i}$ : 링크 $i$ 의 질량 중심의 선가속도

3. 좌표계 표현

3.1 좌표계의 부착

각 링크에 좌표계가 부착된다. 일반적으로 관절 $i$ 에 좌표계 $i$ 가 부착된다.

3.2 변환 행렬

좌표계 $i - 1$ 에서 좌표계 $i$ 로의 회전 행렬을 $\mathbf{R}_i^{i-1}$ 로 표기한다. 이는 관절 변수에 의존한다.

3.3 링크의 본체 좌표계 사용

운동학적 양은 일반적으로 각 링크의 본체 좌표계에서 표현된다. 이는 관성 텐서가 시간에 무관하게 표현되도록 한다.

4. 각속도의 전파

4.1 회전 관절

회전 관절 $i$ 의 경우, 링크 $i$ 의 각속도는 다음과 같다.

$\boldsymbol{\omega}_i = \mathbf{R}_i^{i-1, T}\boldsymbol{\omega}_{i-1} + \dot q_i\hat{\mathbf{z}}_i$

여기서

$\mathbf{R}_i^{i-1, T}$ : 좌표계 $i - 1$ 에서 좌표계 $i$ 로의 변환의 전치
$\hat{\mathbf{z}}_i$ : 관절 $i$ 의 회전 축의 단위 벡터 (좌표계 $i$ 에서 표현)

4.2 직선 관절

직선 관절의 경우 회전이 없으므로 각속도가 변하지 않는다.

$\boldsymbol{\omega}_i = \mathbf{R}_i^{i-1, T}\boldsymbol{\omega}_{i-1}$

4.3 의미

회전 관절은 그 축 주위의 추가 각속도를 더한다. 직선 관절은 각속도를 변화시키지 않는다.

5. 각가속도의 전파

5.1 회전 관절

각가속도의 전파는 더 복잡하다. 회전 관절의 경우

$\dot{\boldsymbol{\omega}}_i = \mathbf{R}_i^{i-1, T}\dot{\boldsymbol{\omega}}_{i-1} + \ddot q_i\hat{\mathbf{z}}_i + \mathbf{R}_i^{i-1, T}\boldsymbol{\omega}_{i-1} \times \dot q_i\hat{\mathbf{z}}_i$

마지막 항은 회전 좌표계의 효과로 등장한다.

5.2 직선 관절

직선 관절의 경우 각가속도가 단순히 전파된다.

$\dot{\boldsymbol{\omega}}_i = \mathbf{R}_i^{i-1, T}\dot{\boldsymbol{\omega}}_{i-1}$

6. 선가속도의 전파

6.1 일반 식

링크 $i$ 의 한 점의 선가속도는 인접 링크의 가속도와 회전의 효과로부터 계산된다. 링크 $i$ 의 원점의 가속도는

$\mathbf{a}_i = \mathbf{R}_i^{i-1, T}[\mathbf{a}_{i-1} + \dot{\boldsymbol{\omega}}_{i-1} \times \mathbf{r}_{i-1, i} + \boldsymbol{\omega}_{i-1} \times (\boldsymbol{\omega}_{i-1} \times \mathbf{r}_{i-1, i})]$

여기서 $\mathbf{r}_{i-1, i}$ 는 좌표계 $i - 1$ 의 원점에서 좌표계 $i$ 의 원점으로의 벡터(좌표계 $i - 1$ 에서 표현)이다.

6.2 직선 관절의 추가 항

직선 관절의 경우 다음의 항이 추가된다.

$\mathbf{a}_i \mathrel{+}= \ddot q_i\hat{\mathbf{z}}_i + 2\boldsymbol{\omega}_i \times (\dot q_i\hat{\mathbf{z}}_i)$

이는 직선 운동의 가속도와 코리올리 항이다.

6.3 질량 중심의 가속도

링크 $i$ 의 질량 중심의 가속도는 원점의 가속도에 회전 효과를 더한 것이다.

$\mathbf{a}_{c,i} = \mathbf{a}_i + \dot{\boldsymbol{\omega}}_i \times \mathbf{r}_{c,i} + \boldsymbol{\omega}_i \times (\boldsymbol{\omega}_i \times \mathbf{r}_{c,i})$

여기서 $\mathbf{r}_{c,i}$ 는 좌표계 $i$ 의 원점에서 링크 $i$ 의 질량 중심으로의 벡터이다.

7. 중력의 처리

7.1 중력 보상

중력의 효과는 베이스의 가속도에 추가하여 처리할 수 있다. 베이스의 가속도를 $-\mathbf{g}$ 로 설정하면 중력이 자동으로 모든 링크에 적용된다.

$\mathbf{a}_0 = -\mathbf{g}$

이는 가속하는 좌표계의 가상력으로 중력을 표현하는 트릭이다.

8. 시작 조건

8.1 베이스의 운동학적 양

베이스(고정된 경우)의 운동학적 양은 다음과 같다.

$\boldsymbol{\omega}_0 = \mathbf{0}$

$\dot{\boldsymbol{\omega}}_0 = \mathbf{0}$

$\mathbf{a}_0 = -\mathbf{g}$

(중력 보상 포함)

이로부터 순방향 재귀가 시작된다.

8.2 부유 베이스

베이스가 자유롭게 움직일 수 있는 경우(예: 무인 항공기)에는 베이스의 운동학적 양이 측정값이나 추정값으로 주어진다.

9. 알고리즘의 의사 코드

for i = 1 to n:
    if 회전 관절:
        ω_i = R^{i-1}_i^T (ω_{i-1}) + q_dot_i * z_i
        ω_dot_i = R^{i-1}_i^T (ω_dot_{i-1}) + q_ddot_i * z_i 
                  + R^{i-1}_i^T (ω_{i-1}) × (q_dot_i * z_i)
    else if 직선 관절:
        ω_i = R^{i-1}_i^T (ω_{i-1})
        ω_dot_i = R^{i-1}_i^T (ω_dot_{i-1})
    
    a_i = R^{i-1}_i^T [a_{i-1} + ω_dot_{i-1} × r_{i-1,i} + ω_{i-1} × (ω_{i-1} × r_{i-1,i})]
    if 직선 관절:
        a_i += q_ddot_i * z_i + 2 * ω_i × (q_dot_i * z_i)
    
    a_{c,i} = a_i + ω_dot_i × r_{c,i} + ω_i × (ω_i × r_{c,i})

10. 효율성

10.1 계산 비용

각 링크에 대해 일정한 수의 행렬 곱과 외적이 필요하다. 따라서 전체 계산 비용은 자유도 $n$ 에 선형적이다.

10.2 메모리 사용

각 링크의 운동학적 양을 저장해야 한다. 메모리 사용도 $n$ 에 선형적이다.

11. 응용

11.1 매니퓰레이터 동역학

순방향 재귀는 매니퓰레이터의 모든 링크의 운동학적 양을 계산한다. 이는 후속의 동역학 계산의 기초이다.

11.2 시뮬레이션

매니퓰레이터의 시뮬레이션에서 순방향 재귀가 매 시간 단계마다 호출된다.

11.3 제어

계산 토크 제어, 모델 기반 제어 등에서 순방향 재귀가 사용된다.

12. 본 절의 의의

본 절은 뉴턴-오일러 재귀 알고리즘의 순방향 재귀를 자세히 다루었다. 이는 운동학적 양을 효율적으로 전파하는 기본 메커니즘이며, 후속의 역방향 재귀와 결합하여 전체 동역학을 계산한다.

13. 학습 권장사항

순방향 재귀의 목적을 이해한다.
각 양의 전파 식을 익힌다.
회전과 직선 관절의 차이를 인식한다.
중력 보상의 트릭을 학습한다.
의사 코드를 따라가 본다.

14. 참고 문헌

Luh, J. Y. S., Walker, M. W., & Paul, R. P. (1980). “On-line computational scheme for mechanical manipulators.” Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 102(2), 69–76.
Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.

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