13.32 해밀턴 운동 방정식의 유도
1. 개요
해밀턴 운동 방정식(Hamilton’s equations of motion) 또는 정준 방정식(canonical equations)은 해밀턴 함수에서 출발하여 시스템의 운동을 기술하는 1차 미분 방정식 시스템이다. 라그랑주 방정식과 동등하지만, 일반화 좌표와 일반화 운동량을 독립 변수로 사용하여 시스템을 1차 시스템으로 변환한다. 본 절에서는 해밀턴 운동 방정식의 유도와 응용을 다룬다.
2. 정준 방정식
2.1 정리
해밀턴의 정준 방정식: 해밀턴 함수 H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)를 가진 시스템에 대해 다음의 운동 방정식이 성립한다.
\dot q_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}
\dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}
이는 j = 1, 2, \ldots, n에 대해 2n개의 1차 미분 방정식이다.
2.2 형태
이 두 식은 대칭적인 구조를 가진다. 좌표의 시간 미분이 운동량에 대한 편미분이고, 운동량의 시간 미분이 좌표에 대한 편미분의 음수이다. 이를 정준 형식이라 한다.
3. 유도
3.1 라그랑지안에서 출발
라그랑지안 L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)의 전미분은
dL = \sum_j\!\left(\frac{\partial L}{\partial q_j}dq_j + \frac{\partial L}{\partial\dot q_j}d\dot q_j\right) + \frac{\partial L}{\partial t}dt
3.2 일반화 운동량
일반화 운동량의 정의 p_j = \partial L/\partial\dot q_j를 사용하여
dL = \sum_j\!\left(\frac{\partial L}{\partial q_j}dq_j + p_jd\dot q_j\right) + \frac{\partial L}{\partial t}dt
3.3 라그랑주 방정식
라그랑주 방정식 \partial L/\partial q_j = \dot p_j (보존 시스템에서)을 사용하여
dL = \sum_j(\dot p_jdq_j + p_jd\dot q_j) + \frac{\partial L}{\partial t}dt
3.4 르장드르 변환
해밀턴 함수 H = \sum_j p_j\dot q_j - L의 전미분은
dH = \sum_j(\dot q_jdp_j + p_jd\dot q_j) - dL
위의 dL을 대입하면
dH = \sum_j(\dot q_jdp_j + p_jd\dot q_j) - \sum_j(\dot p_jdq_j + p_jd\dot q_j) - \frac{\partial L}{\partial t}dt
= \sum_j(\dot q_jdp_j - \dot p_jdq_j) - \frac{\partial L}{\partial t}dt
3.5 결과
다른 한편으로 H = H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)의 전미분은
dH = \sum_j\!\left(\frac{\partial H}{\partial q_j}dq_j + \frac{\partial H}{\partial p_j}dp_j\right) + \frac{\partial H}{\partial t}dt
두 표현을 비교하면
\dot q_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}
\dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}
\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}
이것이 해밀턴의 정준 방정식이다.
4. 정준 방정식의 의미
4.1 차 시스템
해밀턴 방정식은 1차 미분 방정식의 시스템이다. 라그랑주 방정식(n개의 2차 방정식)이 2n개의 1차 방정식으로 변환된다.
4.2 변수의 수
라그랑주 형식: n개 변수 (q_j), n개 2차 방정식
해밀턴 형식: 2n개 변수 (q_j, p_j), 2n개 1차 방정식
총 차원은 같지만 형식이 다르다.
4.3 위상 공간의 흐름
해밀턴 방정식은 위상 공간에서의 흐름을 기술한다. 시스템의 상태가 위상 공간의 점으로 표현되며, 시간이 지남에 따라 곡선을 그린다.
5. 해밀턴 함수의 시간 진화
5.1 전미분
해밀턴 함수의 시간에 대한 전미분은
\frac{dH}{dt} = \sum_j\!\left(\frac{\partial H}{\partial q_j}\dot q_j + \frac{\partial H}{\partial p_j}\dot p_j\right) + \frac{\partial H}{\partial t}
정준 방정식을 대입하면
\frac{dH}{dt} = \sum_j\!\left(\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j}\right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}
5.2 보존
해밀턴 함수가 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 (\partial H/\partial t = 0), 해밀턴 함수가 보존된다.
\frac{dH}{dt} = 0 \implies H = \text{const}
이는 에너지 보존의 일반화이다.
6. 응용 예시: 단순 진자
6.1 해밀턴 함수
H = \frac{p_\theta^2}{2ML^2} - MgL\cos\theta
6.2 정준 방정식
\dot\theta = \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{ML^2}
\dot p_\theta = -\frac{\partial H}{\partial\theta} = -MgL\sin\theta
이 두 식이 진자의 운동을 기술한다.
6.3 라그랑주 방정식과의 비교
라그랑주 형식에서 \ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0의 단일 2차 방정식이다. 해밀턴 형식에서는 두 개의 1차 방정식이다.
7. 응용 예시: 매니퓰레이터
매니퓰레이터의 해밀터니안은
H = \frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p} + V(\mathbf{q})
정준 방정식을 적용하면
\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p}
\dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial}{\partial\mathbf{q}}\!\left(\frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}\mathbf{p}\right) - \frac{\partial V}{\partial\mathbf{q}}
이는 매니퓰레이터의 해밀턴 형식 운동 방정식이다.
8. 해밀턴 형식의 장점
8.1 위상 공간 분석
위상 공간에서의 분석이 가능하다. 시스템의 궤적, 안정성, 보존 법칙 등이 직관적으로 분석된다.
8.2 보존 법칙
해밀턴 형식에서 보존 법칙이 자연스럽게 등장한다. 푸아송 괄호를 사용한 분석이 강력하다.
8.3 정준 변환
정준 변환을 사용하여 운동 방정식을 단순화할 수 있다. 이는 후속 절에서 다룬다.
8.4 양자 역학으로의 일반화
해밀턴 형식은 양자 역학의 출발점이다. 정준 양자화가 직접 적용된다.
9. 본 절의 의의
본 절은 해밀턴 운동 방정식의 유도를 다루었다. 이는 해석 역학의 또 다른 강력한 정식화이며, 라그랑주 형식과 보완적이다. 위상 공간 분석, 보존 법칙, 정준 변환 등 다양한 응용에서 해밀턴 형식이 유용하다.
10. 학습 권장사항
- 해밀턴의 정준 방정식의 형태를 정확히 이해한다.
- 유도를 따라가 본다.
- 라그랑주 형식과의 비교를 학습한다.
- 단순한 시스템에 적용해 본다.
- 위상 공간 분석의 기초를 익힌다.
11. 참고 문헌
- Hamilton, W. R. (1834). “On a general method in dynamics.” Philosophical Transactions of the Royal Society.
- Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
- Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover Publications.
- Greenwood, D. T. (2003). Advanced Dynamics. Cambridge University Press.
- Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer.
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