13.31 해밀턴 함수와 정준 변수

1. 개요

해밀턴 함수(Hamiltonian) $H$ 와 정준 변수(canonical variables)는 1833년 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)에 의해 도입된 해석 역학의 핵심 개념이다. 라그랑주 역학과 동등한 형식이지만, 일반화 좌표와 일반화 운동량을 독립 변수로 사용하여 운동 방정식을 1차 미분 방정식 시스템으로 변환한다. 본 절에서는 해밀턴 함수와 정준 변수의 정의를 다룬다.

2. 해밀턴 함수의 정의

2.1 정의

해밀턴 함수 $H$ 는 라그랑지안 $L$ 의 르장드르 변환(Legendre transformation)으로 정의된다.

$H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum_j p_j\dot q_j - L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$

여기서 $p_j$ 는 일반화 운동량이며 $\dot q_j$ 는 $\mathbf{p}$ 와 $\mathbf{q}$ 의 함수로 표현된다.

2.2 일반화 운동량

일반화 운동량은 라그랑지안의 일반화 속도에 대한 편미분이다.

$p_j = \frac{\partial L}{\partial\dot q_j}$

2.3 변수 변환

해밀턴 형식에서는 $(q_j, \dot q_j)$ 대신 $(q_j, p_j)$ 가 독립 변수이다. $\dot q_j$ 는 $p_j$ 와 $q_j$ 로 표현되어야 한다.

3. 르장드르 변환

3.1 개념

르장드르 변환은 한 변수 집합에서 다른 변수 집합으로의 변환이며, 다음의 성질을 가진다. 라그랑지안의 르장드르 변환이 해밀터니안이며, 그 역도 성립한다.

3.2 의미

이 변환은 $\dot q_j$ 를 $p_j$ 로 교체한다. 이는 두 변수가 서로 결합되어 있고, 한 표현에서 다른 표현으로의 자연스러운 변환이다.

4. 정준 변수

4.1 정의

정준 변수(canonical variables)는 일반화 좌표 $q_j$ 와 일반화 운동량 $p_j$ 의 짝이다.

$(q_1, q_2, \ldots, q_n; p_1, p_2, \ldots, p_n)$

이는 시스템의 상태를 완전히 결정하는 $2n$ 차원 변수의 집합이다.

4.2 위상 공간

정준 변수가 정의하는 $2n$ 차원 공간을 위상 공간(phase space)이라 한다. 시스템의 상태는 위상 공간의 한 점이며, 운동은 위상 공간의 곡선이다.

4.3 의미

위상 공간은 라그랑주 역학의 구성 공간(configuration space)을 일반화한 것이다. 구성 공간이 $n$ 차원이라면 위상 공간은 $2n$ 차원이다.

5. 해밀턴 함수의 의미

5.1 에너지와의 관계

대부분의 경우 해밀턴 함수는 시스템의 총 에너지(운동 에너지 + 위치 에너지)와 같다.

$H = T + V = E$

이는 $T$ 가 $\dot{\mathbf{q}}$ 의 2차 동차 함수이고 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때 성립한다.

5.2 보존

라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 해밀터니안이 보존된다.

$\frac{\partial L}{\partial t} = 0 \implies \frac{dH}{dt} = 0$

이는 에너지 보존의 일반화이다.

6. 해밀턴의 정준 방정식

6.1 운동 방정식

해밀턴 형식에서 운동 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$\dot q_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}$

$\dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}$

이를 해밀턴의 정준 방정식이라 한다. 이는 후속 절에서 자세히 다룬다.

6.2 차 시스템

라그랑주 방정식은 2차 미분 방정식이지만, 정준 방정식은 1차 미분 방정식의 시스템이다. 변수의 수가 두 배가 되지만, 1차 시스템의 분석이 더 단순할 수 있다.

7. 응용 예시: 단순 진자

7.1 라그랑지안

$L = \frac{1}{2}ML^2\dot\theta^2 + MgL\cos\theta$

7.2 일반화 운동량

$p_\theta = \frac{\partial L}{\partial\dot\theta} = ML^2\dot\theta$

7.3 일반화 속도

$\dot\theta = \frac{p_\theta}{ML^2}$

7.4 해밀터니안

$H = p_\theta\dot\theta - L = \frac{p_\theta^2}{ML^2} - \frac{p_\theta^2}{2ML^2} - MgL\cos\theta$

$= \frac{p_\theta^2}{2ML^2} - MgL\cos\theta$

이는 운동 에너지와 위치 에너지의 합이다.

8. 응용 예시: 매니퓰레이터

매니퓰레이터의 라그랑지안에서 해밀터니안을 유도할 수 있다.

$L = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T\mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} - V(\mathbf{q})$

일반화 운동량은

$\mathbf{p} = \mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}$

따라서 $\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p}$ 이고

$H = \frac{1}{2}\mathbf{p}^T\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})\mathbf{p} + V(\mathbf{q})$

9. 응용 예시: 자유 강체

자유 강체의 해밀터니안은 운동 에너지와 위치 에너지의 합이다. 회전 부분의 운동 에너지가 일반화 운동량으로 표현된다.

10. 본 절의 의의

본 절은 해밀턴 함수와 정준 변수를 다루었다. 이는 해밀턴 역학의 출발점이며, 라그랑주 역학과 동등하지만 다른 시각을 제공한다. 위상 공간 형식은 보존 법칙, 안정성 분석, 양자 역학으로의 일반화 등 다양한 응용에서 유용하다.

11. 학습 권장사항

해밀턴 함수의 정의를 이해한다.
일반화 운동량과의 관계를 학습한다.
라그랑지안과 해밀터니안의 변환을 연습한다.
정준 변수의 의미를 인식한다.
위상 공간의 개념을 익힌다.

12. 참고 문헌

Hamilton, W. R. (1834). “On a general method in dynamics.” Philosophical Transactions of the Royal Society.
Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Lanczos, C. (1986). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). Dover Publications.
Greenwood, D. T. (2003). Advanced Dynamics. Cambridge University Press.
Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer.

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