13.17 각운동량의 정의와 계산

1. 개요

각운동량(angular momentum)은 회전 운동의 운동량이며, 강체 회전 동역학의 핵심 개념이다. 직선 운동에서 운동량 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ 가 보존량 또는 운동의 척도로 사용되는 것처럼, 각운동량 $\mathbf{L}$ 은 회전 운동의 척도이다. 본 절에서는 각운동량의 정의, 계산 방법, 그리고 강체에서의 표현을 다룬다.

2. 점 질량의 각운동량

2.1 정의

기준점에 대한 점 질량의 각운동량은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = m\mathbf{r} \times \mathbf{v}$

여기서

$\mathbf{r}$ : 기준점에서 점 질량까지의 위치 벡터
$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ : 점 질량의 운동량
$m$ : 질량
$\mathbf{v}$ : 속도

2.2 단위

각운동량의 단위는 kg·m²/s이다.

2.3 기하학적 의미

각운동량은 위치와 운동량의 외적이며, 그 크기는 다음과 같다.

$|\mathbf{L}| = mvr\sin\theta$

여기서 $\theta$ 는 $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{v}$ 사이의 각도이다. 방향은 회전축과 평행하며, 오른손 법칙으로 결정된다.

3. 강체의 각운동량

3.1 적분 형태

연속 강체의 각운동량은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{L} = \int_B\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}' - \mathbf{r}_{\text{ref}}) \times \mathbf{v}(\mathbf{r}')\,dV$

여기서 $\mathbf{r}_{\text{ref}}$ 는 기준점의 위치이다.

3.2 점 질량의 합으로

이산 점 질량들로 구성된 강체의 각운동량은 합으로 표현된다.

$\mathbf{L} = \sum_i m_i\mathbf{r}_i \times \mathbf{v}_i$

4. 한 점 주위의 회전

4.1 고정된 한 점 주위로 회전하는 강체

기준점이 강체의 한 점이고 그 점이 고정되어 있는 경우, 강체의 모든 점이 그 점 주위로 회전한다.

$\mathbf{v}_i = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i$

4.2 각운동량의 계산

이 경우 각운동량은

$\mathbf{L} = \int_B\rho(\mathbf{r}')\mathbf{r}' \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}')\,dV$

벡터 항등식 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$ 를 사용하면

$\mathbf{L} = \int_B\rho(\mathbf{r}')(\boldsymbol{\omega}(\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') - \mathbf{r}'(\mathbf{r}' \cdot \boldsymbol{\omega}))\,dV$

5. 관성 텐서를 사용한 표현

5.1 결과

위의 적분을 정리하면

$\mathbf{L} = \mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$

여기서 $\mathbf{I}$ 는 기준점에 대한 관성 텐서이다. 이는 각운동량과 각속도의 관계를 단순한 형태로 표현한다.

5.2 의미

이 식은 직선 운동의 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ 의 회전 형태이다. 각운동량은 관성 텐서와 각속도의 곱이다.

5.3 비평행성

관성 텐서가 대각이 아닌 경우, 각운동량의 방향이 각속도의 방향과 다를 수 있다. 이는 강체 회전 동역학의 흥미로운 특징이다.

6. 일반 운동의 각운동량

6.1 분해

일반적인 강체 운동(병진과 회전이 결합된 운동)의 각운동량은 두 부분으로 분해된다.

$\mathbf{L} = \mathbf{L}_{\text{trans}} + \mathbf{L}_{\text{rot}}$

여기서

6.1.1 병진 부분

$\mathbf{L}_{\text{trans}} = M\mathbf{r}_c \times \mathbf{v}_c$

이는 강체의 모든 질량이 질량 중심에 집중된 점 질량의 각운동량이다.

6.1.2 회전 부분

$\mathbf{L}_{\text{rot}} = \mathbf{I}_c\boldsymbol{\omega}$

이는 질량 중심을 통과하는 축에 대한 회전의 각운동량이다.

6.2 의미

이 분해는 강체 운동을 두 단순한 운동(질량 중심의 병진과 질량 중심 주위의 회전)으로 분해할 수 있게 한다.

7. 기준점의 선택

7.1 기준점의 영향

각운동량은 기준점의 선택에 의존한다. 다른 기준점은 다른 각운동량을 산출한다.

7.2 일반적 선택

다음과 같은 기준점이 일반적으로 사용된다.

강체의 질량 중심
관성 좌표계의 한 고정된 점
강체의 한 고정된 점

7.3 운동 방정식의 단순화

기준점의 선택은 운동 방정식의 형태에 영향을 준다. 적절한 선택이 분석을 단순화한다.

8. 각운동량과 각속도의 관계

8.1 평행한 경우

각속도가 주축 방향이면 각운동량과 각속도가 평행하다.

$\mathbf{L} = I_i\boldsymbol{\omega}, \quad \boldsymbol{\omega} = \omega_i\hat{\mathbf{e}}_i$

여기서 $I_i$ 는 그 주축의 주관성 모멘트이다.

8.2 비평행한 경우

각속도가 주축 방향이 아니면 각운동량과 각속도가 일반적으로 평행하지 않다.

$\mathbf{L} = I_1\omega_1\hat{\mathbf{e}}_1 + I_2\omega_2\hat{\mathbf{e}}_2 + I_3\omega_3\hat{\mathbf{e}}_3$

세 주관성 모멘트가 다르면 각운동량과 각속도의 방향이 다르다.

9. 응용 예시: 단단한 막대의 회전

길이 $L$ , 질량 $M$ 인 균일 막대가 한쪽 끝 주위로 각속도 $\omega$ 로 회전한다.

관성 모멘트(한쪽 끝): $I = ML^2/3$

각운동량: $L = I\omega = ML^2\omega/3$

10. 응용 예시: 회전하는 원판

반지름 $R$ , 질량 $M$ 인 균일 원판이 중심 축 주위로 각속도 $\omega$ 로 회전한다.

관성 모멘트: $I = MR^2/2$

각운동량: $L = MR^2\omega/2$

11. 응용 예시: 떨어지는 회전 강체

회전하면서 떨어지는 강체의 각운동량은 두 부분으로 분해된다.

질량 중심의 병진에 의한 부분 (기준점이 고정된 경우)
질량 중심 주위의 회전에 의한 부분

12. 응용 예시: 매니퓰레이터의 링크

매니퓰레이터의 각 링크의 각운동량은 그 링크의 회전과 병진에 의해 결정된다. 다체 시스템의 각운동량은 모든 링크의 기여의 합이다.

13. 응용 예시: 우주선의 각운동량

우주선의 각운동량은 본체의 회전과 운동량 휠의 회전의 합이다.

$\mathbf{L}_{\text{total}} = \mathbf{I}_{\text{body}}\boldsymbol{\omega}_{\text{body}} + \sum_i\mathbf{L}_{\text{wheel}, i}$

운동량 휠의 회전이 본체의 자세 변화를 일으킨다.

14. 응용 예시: 떨어지는 고양이

떨어지는 고양이가 자세를 바꾸어 발로 착지하는 현상은 각운동량 보존의 흥미로운 예이다. 고양이의 총 각운동량은 0이지만, 자세를 변화시킬 수 있다.

15. 응용 예시: 빙판 위의 스케이터

회전하는 피겨 스케이터가 팔을 가슴에 모으면 회전 속도가 증가한다. 각운동량 $\mathbf{L} = \mathbf{I}\boldsymbol{\omega}$ 가 보존되고 $\mathbf{I}$ 가 감소하므로 $\boldsymbol{\omega}$ 가 증가한다.

16. 본 절의 의의

본 절은 각운동량의 정의와 계산을 다루었다. 각운동량은 회전 운동의 핵심 양이며, 후속 절에서 다룰 토크와의 관계, 보존 법칙 등의 토대이다. 매니퓰레이터, 우주선, 무인 항공기 등 모든 회전 시스템의 분석에서 각운동량의 정확한 계산이 필수이다.

17. 학습 권장사항

각운동량의 정의를 정확히 이해한다.
점 질량과 강체의 각운동량을 구분한다.
관성 텐서와 각운동량의 관계를 학습한다.
기준점의 영향을 인식한다.
단순 강체에 대해 각운동량을 계산해 본다.

18. 참고 문헌

Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Symon, K. R. (1971). Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.). Wiley.
Greenwood, D. T. (2003). Advanced Dynamics. Cambridge University Press.
Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.

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