10.21 쿼터니언과 축-각도(Axis-Angle) 표현의 변환

1. 두 표현의 자연스러운 관계

쿼터니언과 축-각도 표현은 회전을 표현하는 두 가지 방법이지만, 매우 밀접하게 관련되어 있다. 단위 쿼터니언이 본질적으로 축과 각도의 정보를 인코딩하므로, 두 표현 사이의 변환이 단순한 닫힌 형태로 주어진다.

2. 축-각도 표현의 정의

축-각도 표현은 회전을 회전 축 $\hat{\mathbf{u}}$ (단위 벡터)와 회전 각 $\phi$ 의 쌍 $(\hat{\mathbf{u}}, \phi)$ 로 나타낸다. 이는 오일러의 회전 정리(Euler’s rotation theorem)에 의해 모든 3차원 회전이 단일 축 주위의 회전으로 환원될 수 있다는 사실에 기반한다.

3. 축-각도에서 쿼터니언으로의 변환

축 $\hat{\mathbf{u}} = (u_x, u_y, u_z)$ 와 회전 각 $\phi$ 로부터 단위 쿼터니언은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{q} = (\cos(\phi/2), \sin(\phi/2)\hat{\mathbf{u}})$

명시적으로

$q_w = \cos(\phi/2)$

$q_x = \sin(\phi/2)u_x$

$q_y = \sin(\phi/2)u_y$

$q_z = \sin(\phi/2)u_z$

이 공식은 쿼터니언의 정의 자체이며, 축-각도 표현에서 쿼터니언으로의 변환은 거의 직접적이다.

4. 쿼터니언에서 축-각도로의 변환

역변환은 다음과 같이 수행된다.

4.1 회전 각 추출

$\phi = 2\arccos(q_w)$

또는 더 수치적으로 안정적인 형태로

$\phi = 2\,\mathrm{atan2}(\lVert\mathbf{q}_v\rVert, q_w)$

여기서 $\lVert\mathbf{q}_v\rVert = \sqrt{q_x^2 + q_y^2 + q_z^2}$ 이다.

4.2 회전 축 추출

$\hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{q}_v}{\lVert\mathbf{q}_v\rVert} = \frac{(q_x, q_y, q_z)}{\sqrt{q_x^2 + q_y^2 + q_z^2}}$

또는 $\sin(\phi/2)$ 를 사용하여

$\hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{q}_v}{\sin(\phi/2)}$

이 두 형태는 동등하다.

5. $\arccos$ vs. $\mathrm{atan2}$

회전 각 추출에서 두 가지 공식이 사용될 수 있다.

5.1 $\arccos$ 형태

$\phi = 2\arccos(q_w)$

이는 직접적이지만 $q_w$ 가 $\pm 1$ 에 가까울 때(작은 회전 또는 180도 회전) 수치적으로 불안정하다. $\arccos$ 의 도함수가 발산하기 때문이다.

5.2 $\mathrm{atan2}$ 형태

$\phi = 2\,\mathrm{atan2}(\lVert\mathbf{q}_v\rVert, q_w)$

$\mathrm{atan2}$ 는 두 인수의 비율을 사용하므로 더 안정적이다. 모든 회전 각에서 잘 작동한다.

권장: 항상 $\mathrm{atan2}$ 형태를 사용한다.

6. 작은 회전의 처리

회전 각 $\phi$ 가 0에 가까우면 $\sin(\phi/2) \approx 0$ 이고, 회전 축 $\hat{\mathbf{u}}$ 가 결정되지 않는다. 이는 항등 회전의 경미한 특이점이다.

6.1 검출

$\text{if } \lVert\mathbf{q}_v\rVert < \epsilon: \text{handle small rotation}$

6.2 처리

작은 회전에서는 회전 축이 의미가 없으므로 임의의 단위 벡터(예: $(1, 0, 0)$ )를 반환한다.

if abs(qw) > 1 - epsilon:
    # 항등 회전 또는 그와 유사
    angle = 0
    axis = (1, 0, 0)  # 임의
else:
    angle = 2 * atan2(norm(qv), qw)
    axis = qv / norm(qv)

7. 도 회전의 처리

$\phi = \pi$ 인 회전에서는 $q_w = 0$ 이고 $\lVert\mathbf{q}_v\rVert = 1$ 이다. 이 경우는 특이점이 아니며, 위의 공식이 정상적으로 작동한다. 단순히 $\hat{\mathbf{u}}$ 가 단위 벡터로 결정된다.

$\phi = \pi$ 의 경우 $(\hat{\mathbf{u}}, \pi)$ 와 $(-\hat{\mathbf{u}}, \pi)$ 는 같은 회전을 나타낸다. 이는 축-각도 표현의 이중성이다.

8. 부호 이중성의 처리

쿼터니언의 부호 이중성( $\mathbf{q}$ 와 $-\mathbf{q}$ )은 축-각도로 변환할 때 영향을 준다.

8.1 $\mathbf{q} = (q_w, \mathbf{q}_v)$ 의 변환

$\phi = 2\arccos(q_w), \quad \hat{\mathbf{u}} = \mathbf{q}_v / \lVert\mathbf{q}_v\rVert$

8.2 $-\mathbf{q} = (-q_w, -\mathbf{q}_v)$ 의 변환

$\phi' = 2\arccos(-q_w) = 2(\pi - \phi/2) = 2\pi - \phi$

$\hat{\mathbf{u}}' = -\mathbf{q}_v / \lVert\mathbf{q}_v\rVert = -\hat{\mathbf{u}}$

따라서 $-\mathbf{q}$ 의 변환 결과는 $(-\hat{\mathbf{u}}, 2\pi - \phi)$ 이다. 이는 원래 회전과 같지만(축이 반대이고 각도가 보각), 다른 매개변수로 표현된다.

8.3 표준 형태

일관된 결과를 위해 $q_w \geq 0$ 이 되도록 부호를 정규화한다. 이렇게 하면 $\phi \in [0, \pi]$ 의 표준 범위가 보장된다.

if q.w < 0:
    q = -q

9. 회전 벡터 표현

축-각도 표현의 변형으로 회전 벡터 $\boldsymbol{\phi} = \phi\hat{\mathbf{u}}$ 를 사용할 수 있다. 이는 축과 각도를 단일 벡터로 결합한 것이다.

9.1 쿼터니언에서 회전 벡터로

$\boldsymbol{\phi} = \phi\hat{\mathbf{u}} = 2\arccos(q_w)\frac{\mathbf{q}_v}{\lVert\mathbf{q}_v\rVert}$

또는 더 안정적인 형태로

$\boldsymbol{\phi} = \frac{2\,\mathrm{atan2}(\lVert\mathbf{q}_v\rVert, q_w)}{\lVert\mathbf{q}_v\rVert}\mathbf{q}_v$

9.2 회전 벡터에서 쿼터니언으로

$\phi = \lVert\boldsymbol{\phi}\rVert, \quad \hat{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\phi}/\phi$

$\mathbf{q} = (\cos(\phi/2), \sin(\phi/2)\hat{\mathbf{u}})$

또는 직접 회전 벡터로부터

$\mathbf{q} = (\cos(\lVert\boldsymbol{\phi}\rVert/2), \sin(\lVert\boldsymbol{\phi}\rVert/2)\boldsymbol{\phi}/\lVert\boldsymbol{\phi}\rVert)$

10. 변환의 효율성

축-각도와 쿼터니언 사이의 변환은 비교적 효율적이다.

10.1 축-각도 → 쿼터니언

1 코사인, 1 사인, 3 곱셈
총 약 5 연산 (삼각 함수 제외)

10.2 쿼터니언 → 축-각도

1 atan2 (또는 1 arccos), 3 곱셈, 1 제곱근, 3 나눗셈
총 약 8 연산 (삼각 함수 제외)

10.3 회전 벡터를 거치는 경로

회전 벡터는 축과 각도를 결합한 형태이므로, 회전 벡터를 사용하면 변환이 약간 단순해진다.

11. 변환의 알고리즘

11.1 축-각도에서 쿼터니언으로

function axis_angle_to_quaternion(axis, angle):
    half_angle = angle / 2
    sin_half = sin(half_angle)
    
    q.w = cos(half_angle)
    q.x = sin_half * axis.x
    q.y = sin_half * axis.y
    q.z = sin_half * axis.z
    
    return q

11.2 쿼터니언에서 축-각도로

function quaternion_to_axis_angle(q):
    norm_v = sqrt(q.x*q.x + q.y*q.y + q.z*q.z)
    
    if norm_v < epsilon:
        # 작은 회전 (항등 회전 근처)
        angle = 0
        axis = (1, 0, 0)  # 임의
    else:
        angle = 2 * atan2(norm_v, q.w)
        axis = (q.x / norm_v, q.y / norm_v, q.z / norm_v)
    
    return axis, angle

12. 변환의 응용

12.1 회전의 시각적 표현

축-각도 표현은 사용자에게 직관적이다. 회전을 “어느 축 주위로 얼마나 회전했는지“로 설명한다.

12.2 회전 명령

사용자가 “이 축 주위로 90도 회전시켜라“라고 명령할 때, 축-각도 표현이 자연스럽다. 내부적으로 쿼터니언으로 변환하여 처리한다.

12.3 자세 오차

자세 오차를 축-각도로 표현하면 회전의 크기(각도)와 방향(축)을 명확히 분리할 수 있다. 이는 자세 제어에서 유용하다.

12.4 로드리게스 공식

축-각도 표현이 로드리게스 회전 공식의 자연스러운 입력이다. 쿼터니언에서 회전 행렬로 변환할 때 중간 단계로 축-각도가 사용될 수 있다.

12.5 보간

축-각도 표현은 같은 축 주위의 회전 보간에서 자연스럽다. 회전 각만 보간하면 된다.

13. 변환의 한계

13.1 작은 회전의 특이성

회전 각이 0에 가까울 때 회전 축이 결정되지 않는다. 이는 실용적으로 큰 문제는 아니지만, 일관된 처리가 필요하다.

13.2 도 회전의 이중성

$(\hat{\mathbf{u}}, \pi)$ 와 $(-\hat{\mathbf{u}}, \pi)$ 가 같은 회전을 나타낸다. 표준 형태를 선택해야 한다.

13.3 표준 범위

회전 각의 범위(예: $[0, \pi]$ 또는 $[0, 2\pi)$ )에 대한 관례가 일관되지 않을 수 있다. 사용 중인 라이브러리의 관례를 확인한다.

14. 변환의 라이브러리 지원

대부분의 회전 라이브러리가 변환을 지원한다.

14.1 Eigen

Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(angle, axis));
Eigen::AngleAxisd aa(q);
Eigen::Vector3d axis_out = aa.axis();
double angle_out = aa.angle();

14.2 NumPy/SciPy

from scipy.spatial.transform import Rotation
q = Rotation.from_rotvec(angle * axis).as_quat()
rotvec = Rotation.from_quat(q).as_rotvec()

(SciPy는 회전 벡터를 사용하며, 별도의 정규화 단계가 필요 없다.)

14.3 ROS의 tf2

tf2::Quaternion q;
q.setRotation(axis, angle);
double angle_out = q.getAngle();
tf2::Vector3 axis_out = q.getAxis();

15. 변환의 정확성 검증

15.1 왕복 변환

축-각도 → 쿼터니언 → 축-각도의 결과가 원래 입력과 (특이점을 제외하고) 같아야 한다.

15.2 회전 동등성

축-각도와 쿼터니언이 같은 회전을 나타내면, 같은 벡터에 대한 회전 결과가 같아야 한다.

$\mathbf{R}_{\text{axis-angle}}\mathbf{v} = \mathbf{q}\mathbf{v}\mathbf{q}^*$

16. 회전 표현의 비교

표현	매개변수	특이점	용도
축-각도	4 (3 + 1)	항등 회전	직관적 표현
회전 벡터	3	항등 회전 (경미)	비선형 최적화
단위 쿼터니언	4	부호 이중성	자세 추정, 보간

축-각도와 쿼터니언은 매우 밀접하게 관련되어 있으며, 변환이 단순하다. 회전 벡터는 축과 각도를 결합한 또 다른 형태이다.

17. 참고 문헌

Hamilton, W. R. (1844). “On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra.” Philosophical Magazine, Vol. 25, 489–495.
Diebel, J. (2006). “Representing Attitude: Euler Angles, Unit Quaternions, and Rotation Vectors.” Stanford University Technical Report.
Shoemake, K. (1985). “Animating Rotation with Quaternion Curves.” SIGGRAPH Computer Graphics, 19(3), 245–254.
Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences. Princeton University Press.
Sola, J. (2017). “Quaternion Kinematics for the Error-State Kalman Filter.” arXiv:1711.02508.

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