10.2 복소수의 확장으로서의 쿼터니언

1. 복소수의 회상

복소수(complex number)는 실수의 자연스러운 확장으로, 다음과 같이 정의된다.

$\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}$

여기서 $i$ 는 허수 단위이며 $i^2 = -1$ 을 만족한다. 복소수의 곱셈은 다음과 같다.

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

이 곱셈은 가환적이며 결합 법칙을 만족한다. 복소수는 가환 체(commutative field)를 형성한다.

2. 복소수와 2차원 회전

복소수의 가장 자연스러운 기하학적 해석은 2차원 평면 상의 점이다. $a + bi \leftrightarrow (a, b)$ 의 대응이다.

2.1 단위 복소수

크기가 1인 복소수, 즉 $|z| = 1$ 인 복소수는 단위 원 상의 점이며, 다음과 같이 표현된다.

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

이는 오일러 공식이다.

2.2 회전으로서의 곱셈

단위 복소수와 다른 복소수의 곱은 평면 회전과 같다.

$e^{i\theta}(a + bi)$

은 점 $(a, b)$ 를 원점 주위로 $\theta$ 만큼 회전시킨 결과이다.

2.3 일반 복소수의 곱

일반 복소수의 곱은 회전과 스케일링의 결합이다. $z = re^{i\theta}$ 와 $w = se^{i\phi}$ 의 곱은 $zw = rse^{i(\theta + \phi)}$ 이며, 크기는 곱해지고 각도는 더해진다.

이러한 복소수의 성질이 19세기 수학자들에게 “3차원 공간에 대한 비슷한 대수가 존재할까?“라는 질문을 낳았다.

3. 차원 일반화의 시도

3.1 -튜플 시도

가장 자연스러운 시도는 3차원 수 $a + bi + cj$ 의 형태였다. 여기서 $i$ 와 $j$ 는 서로 독립적인 허수 단위이다. 그러나 이 체계에서 곱셈을 정의할 때 문제가 발생한다.

$(0 + i + 0j) \cdot (0 + 0i + j) = ij \quad \text{??}$

$ij$ 가 무엇이 되어야 할지 일관된 답이 없다. 이는 $ij$ 가 $\{a + bi + cj\}$ 의 형태에 속해야 하는데, 어떤 형태든 만족시키기 어렵다.

3.2 가환성의 포기

해밀턴은 13년간의 시도 끝에, 일관된 곱셈을 위해서는 가환성을 포기해야 함을 깨달았다. 즉, $ij \neq ji$ 이다.

또한 4차원으로 확장해야 함도 깨달았다. 즉, 새 원소 $k$ 를 추가하여 $\{a + bi + cj + dk\}$ 의 형태로 만들어야 한다.

4. 쿼터니언의 정의

이러한 통찰로부터 쿼터니언이 정의된다. 쿼터니언 $\mathbf{q}$ 는 다음의 형태를 가진다.

$\mathbf{q} = q_w + q_x i + q_y j + q_z k$

여기서 $q_w, q_x, q_y, q_z \in \mathbb{R}$ 이고, $i, j, k$ 는 다음의 관계를 만족하는 허수 단위이다.

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$

5. 해밀턴의 곱셈 규칙

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ 로부터 다른 곱셈 규칙들을 유도할 수 있다.

5.1 순환적 관계

$ijk = -1$ 의 양변에 $k$ 를 오른쪽에서 곱하면

$ijk \cdot k = -k$

$k^2 = -1$ 이므로

$-ij = -k \quad \Rightarrow \quad ij = k$

비슷한 방법으로 다음을 얻는다.

$jk = i, \quad ki = j$

5.2 반순환적 관계

곱셈의 비가환성을 사용하여 반대 순서의 곱도 결정한다. $ij = k$ 의 양변에 $i^{-1} = -i$ 를 왼쪽에서 곱하면

$i \cdot ij = i \cdot k$

$i^2 = -1$ 이므로

$-j = ik \quad \Rightarrow \quad ik = -j$

따라서

$ji = -k, \quad kj = -i, \quad ik = -j$

5.3 곱셈 표

$i, j, k$ 의 모든 곱셈을 표로 정리하면 다음과 같다.

$\times$	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$

이 표는 행이 첫 번째 인수, 열이 두 번째 인수이다. 결과가 행렬의 항이다.

6. 쿼터니언과 복소수의 비교

6.1 차원

복소수: 2차원 (실수부 + 허수부)
쿼터니언: 4차원 (실수부 + 3개의 허수부)

6.2 가환성

복소수: 가환 ( $zw = wz$ )
쿼터니언: 비가환 ( $\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 \neq \mathbf{q}_2\mathbf{q}_1$ 일반적으로)

6.3 회전

복소수: 2차원 회전 표현
쿼터니언: 3차원 회전 표현

6.4 대수 구조

복소수: 가환 체(field)
쿼터니언: 비가환 디비전 링(division ring) 또는 스큐 필드(skew field)

7. 쿼터니언 곱의 일반 형태

두 쿼터니언 $\mathbf{q}_1 = a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k$ 과 $\mathbf{q}_2 = a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k$ 의 곱은 위의 곱셈 규칙을 사용하여 전개된다.

$\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2)i$
$$

(a_1 c_2 - b_1 d_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2)j + (a_1 d_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2 + d_1 a_2)k
$$

이는 복잡해 보이지만, 벡터 표기법으로 정리하면 더 간결한 형태가 된다.

8. 스칼라-벡터 표기

쿼터니언을 스칼라 부분과 벡터 부분으로 분리하여 표기한다.

$\mathbf{q} = q_w + \mathbf{q}_v = q_w + q_x i + q_y j + q_z k$

여기서 $q_w$ 가 스칼라 부분(실수부), $\mathbf{q}_v = (q_x, q_y, q_z)$ 가 벡터 부분이다.

쿼터니언 곱을 스칼라-벡터 표기로 다시 쓰면

$\mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 = (a_1 a_2 - \mathbf{q}_{1,v} \cdot \mathbf{q}_{2,v}) + (a_1\mathbf{q}_{2,v} + a_2\mathbf{q}_{1,v} + \mathbf{q}_{1,v} \times \mathbf{q}_{2,v})$

여기서 $\cdot$ 는 내적, $\times$ 는 외적이다. 이 형태가 쿼터니언 곱의 자연스러운 기하학적 의미를 보여준다.

9. 쿼터니언과 벡터 분석의 관계

쿼터니언 곱의 위 형태에서 다음을 알 수 있다.

스칼라 부분: 두 벡터의 내적의 음수와 스칼라 곱의 합
벡터 부분: 두 벡터의 외적과 스칼라 배의 합

내적과 외적이 모두 등장한다는 점이 흥미롭다. 19세기 말 깁스와 헤비사이드의 벡터 분석은 쿼터니언의 이 두 부분을 분리하여 별도로 다루는 방법으로 발전했다.

10. 쿼터니언의 대수 구조

쿼터니언 집합 $\mathbb{H}$ 는 다음과 같은 대수 구조를 가진다.

10.1 덧셈

성분별 덧셈으로 정의되며, 가환적이고 결합적이다. 영원소가 존재하고 모든 원소가 역원을 가진다.

10.2 곱셈

위에 정의된 비가환 곱셈이다. 결합 법칙을 만족하지만 가환 법칙은 만족하지 않는다. 항등원이 1이고 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가진다.

10.3 디비전 링

쿼터니언은 디비전 링(division ring)을 형성한다. 즉, 나눗셈이 잘 정의된다(0으로의 나눗셈 제외). 그러나 가환적이지 않으므로 체(field)는 아니다.

10.4 노름

쿼터니언의 노름은 다음과 같이 정의된다.

$\lVert \mathbf{q} \rVert = \sqrt{q_w^2 + q_x^2 + q_y^2 + q_z^2}$

이는 4차원 유클리드 노름과 같다. 노름은 곱에 대해 다음의 성질을 만족한다.

$\lVert \mathbf{q}_1\mathbf{q}_2 \rVert = \lVert \mathbf{q}_1 \rVert \cdot \lVert \mathbf{q}_2 \rVert$

이 성질이 단위 쿼터니언이 곱에 대해 닫혀 있음을 보장한다.

11. 후르비츠의 정리

쿼터니언이 4차원이라는 사실은 우연이 아니다. 후르비츠(Adolf Hurwitz)의 1898년 정리에 의하면, 노름이 곱셈을 보존하는 실수 위의 디비전 대수는 다음 네 가지뿐이다.

실수 $\mathbb{R}$ (1차원)
복소수 $\mathbb{C}$ (2차원)
쿼터니언 $\mathbb{H}$ (4차원)
옥토니언 $\mathbb{O}$ (8차원)

이는 차원이 1, 2, 4, 8로 제한됨을 의미한다. 다른 차원에서는 이러한 좋은 대수 구조가 존재하지 않는다.

옥토니언은 8차원이지만 결합 법칙도 만족하지 않으므로 실용성이 더 제한된다. 결과적으로 쿼터니언이 회전 표현에 적합한 차원의 마지막 디비전 대수이다.

12. 쿼터니언과 다른 수 체계의 비교

수 체계	차원	가환성	결합성	회전
실수 $\mathbb{R}$	1	예	예	1차원 (없음)
복소수 $\mathbb{C}$	2	예	예	2차원
쿼터니언 $\mathbb{H}$	4	아니오	예	3차원
옥토니언 $\mathbb{O}$	8	아니오	아니오	7차원 (제한적)

13. 쿼터니언의 의의

쿼터니언이 단순한 수학적 호기심이 아닌 이유는 그 자연스러움이다. 후르비츠의 정리에서 보듯이, 쿼터니언은 복소수의 자연스러운 일반화로서 실수, 복소수와 함께 가능한 디비전 대수의 하나이다. 그리고 우연하게도 3차원 회전을 표현하기에 매우 적합한 구조를 가진다.

해밀턴 자신이 깨달은 것처럼, 4차원이라는 추가 차원은 비가환성과 함께 3차원 회전의 모든 풍부한 구조를 매끄럽게 포착한다.

14. 참고 문헌

Hamilton, W. R. (1844). “On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra.” Philosophical Magazine, Vol. 25, 489–495.
Hurwitz, A. (1898). “Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen.” Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 309–316.
Conway, J. H., & Smith, D. A. (2003). On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry. A K Peters.
Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences. Princeton University Press.
Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History (3rd ed.). Springer.

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