9.70 선형 보간(LERP)과 그 한계

1. 선형 보간의 정의

선형 보간(Linear Interpolation, LERP)은 두 값 사이를 직선적으로 연결하는 가장 단순한 보간 방법이다. 두 값 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 사이를 매개변수 $t \in [0, 1]$ 에 따라 연결한다.

$\mathrm{LERP}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, t) = (1 - t)\mathbf{a} + t\mathbf{b}$

이는 $t = 0$ 에서 $\mathbf{a}$ 를 산출하고 $t = 1$ 에서 $\mathbf{b}$ 를 산출하며, 그 사이는 일정한 비율로 변한다.

2. 회전에 대한 LERP의 적용

회전의 표현법에 따라 LERP를 적용하는 방식이 다르다.

2.1 회전 행렬의 LERP

$\mathbf{R}(t) = (1-t)\mathbf{R}_0 + t\mathbf{R}_1$

각 원소를 직접 선형 보간한다.

2.2 쿼터니언의 LERP

$\mathbf{q}(t) = (1-t)\mathbf{q}_0 + t\mathbf{q}_1$

쿼터니언의 4 성분을 각각 선형 보간한다.

2.3 오일러 각의 LERP

$\boldsymbol{\eta}(t) = (1-t)\boldsymbol{\eta}_0 + t\boldsymbol{\eta}_1$

세 각도를 각각 선형 보간한다.

이 모든 형태가 “선형 보간“의 범주에 속하지만, 각각 다른 한계를 가진다.

3. 회전 행렬 LERP의 한계

3.1 결과가 회전 행렬이 아님

$\mathbf{R}_0$ 과 $\mathbf{R}_1$ 이 회전 행렬이라도 $(1-t)\mathbf{R}_0 + t\mathbf{R}_1$ 은 일반적으로 회전 행렬이 아니다.

3.2 정규 직교성 위반

직교 행렬의 선형 결합은 일반적으로 직교 행렬이 아니다.

3.3 행렬식의 변화

$\det((1-t)\mathbf{R}_0 + t\mathbf{R}_1)$ 이 일반적으로 1이 아니며, $t$ 에 따라 변한다. 일부 $t$ 에서는 0이 될 수도 있다(특이 행렬).

3.4 부피 보존 위반

선형 결합된 결과가 부피를 보존하지 않으므로, 변환 후 형태가 왜곡된다.

이러한 이유로 회전 행렬을 직접 선형 보간하는 것은 심각하게 잘못된 접근이다.

4. 쿼터니언 LERP의 한계

쿼터니언의 LERP는 회전 행렬보다는 적합하지만, 여전히 한계가 있다.

4.1 결과가 단위 쿼터니언이 아님

$(1-t)\mathbf{q}_0 + t\mathbf{q}_1$ 의 노름이 일반적으로 1이 아니다. 따라서 결과를 회전으로 사용하려면 정규화가 필요하다.

$\mathbf{q}_{\text{norm}}(t) = \frac{(1-t)\mathbf{q}_0 + t\mathbf{q}_1}{\lVert (1-t)\mathbf{q}_0 + t\mathbf{q}_1 \rVert}$

이 정규화된 LERP가 NLERP(9.73)이다.

4.2 비균일한 각속도

정규화 후에도 LERP는 일정한 각속도를 보장하지 않는다. 보간이 시작과 끝에서 빠르고 중간에서 느려지는 경향이 있다(또는 그 반대). 이는 4차원 공간의 직선이 단위 구면을 균일한 비율로 가로지르지 않기 때문이다.

4.3 각도가 큰 경우의 비효율

두 쿼터니언 사이의 각도가 클수록 LERP의 비균일성이 두드러진다. 작은 각도에서는 LERP와 SLERP의 차이가 미미하지만, 큰 각도에서는 명확한 차이가 나타난다.

4.4 부호 이중성

쿼터니언 $\mathbf{q}$ 와 $-\mathbf{q}$ 가 같은 회전을 나타내므로, $\mathbf{q}_0$ 과 $\mathbf{q}_1$ 의 부호 선택에 따라 LERP의 결과가 달라진다. 잘못된 선택은 보간이 불필요하게 긴 경로를 따르게 만든다.

5. 오일러 각 LERP의 한계

5.1 짐벌 락 영역에서의 비정상 거동

오일러 각이 짐벌 락 근처에 있으면 보간 결과가 비정상적으로 변한다. 한 각도가 갑자기 큰 변화를 보이거나, 보간된 자세가 의도와 다른 경로를 따라간다.

5.2 비균일한 각속도

오일러 각의 선형 보간은 일정한 각속도를 보장하지 않는다. 회전이 세 단계로 분해되어 각 단계가 별도로 보간되므로, 결과가 비매끄럽다.

5.3 주기성 처리

각도가 $-\pi$ 에서 $\pi$ 로의 경계를 넘을 때, 단순 선형 보간이 짧은 경로 대신 긴 경로를 선택할 수 있다. 예를 들어 $\theta_0 = 170°$ 와 $\theta_1 = -170°$ 사이의 보간은 짧게 $20°$ 를 거쳐 도달해야 하지만, 단순 LERP는 $340°$ 를 거치게 된다.

5.4 좌표계 의존성

오일러 각은 특정 회전 순서(규약)에 의존하므로, 같은 두 회전을 다른 규약의 오일러 각으로 표현하면 보간 결과가 달라질 수 있다. 좌표 불변성이 깨진다.

6. LERP의 시각적 비교 (쿼터니언 사례)

쿼터니언 LERP와 SLERP의 차이를 시각화하면 다음과 같다.

6.1 작은 회전 (예: $30°$ )

두 방법의 차이가 거의 없다. LERP가 더 효율적이고 충분히 정확하다.

6.2 중간 회전 (예: $90°$ )

LERP는 보간 경로에서 미세하게 비균일하지만, 시각적으로는 큰 차이가 없다. SLERP가 더 정확하다.

6.3 큰 회전 (예: $170°$ )

LERP의 비균일성이 명확해진다. 시작과 끝에서는 빠르게, 중간에서는 천천히 진행하는 듯한 현상이 발생한다. SLERP가 일정한 각속도를 보장한다.

7. LERP가 사용되는 경우

LERP는 한계에도 불구하고 다음과 같은 경우에 사용된다.

7.1 작은 회전

두 회전 사이의 각도가 매우 작으면 LERP와 SLERP의 차이가 무시할 수 있다. 이 경우 단순한 LERP가 효율적이다.

7.2 실시간 시스템

게임이나 시각화에서 매우 빠른 계산이 필요한 경우, LERP의 단순함이 장점이다. 정확도가 다소 떨어져도 사용자에게 보이는 차이가 작다면 허용된다.

7.3 사전 처리 단계

여러 회전의 추정 결과에서 사전 처리로 평균이나 보간을 빠르게 계산할 때 LERP가 유용하다.

7.4 큰 회전 사이의 빠른 추정

세밀한 정확도가 필요 없는 경우, 정규화 후 LERP(NLERP)가 빠른 근사 보간을 제공한다.

8. LERP의 수정 형태

8.1 NLERP (Normalized LERP)

$\mathbf{q}(t) = \mathrm{normalize}((1-t)\mathbf{q}_0 + t\mathbf{q}_1)$

LERP 후 정규화하는 방법이다. 여전히 일정한 각속도는 보장하지 않으나, 단위 쿼터니언을 유지한다. SLERP보다 빠르며 일부 응용에서 사용된다.

8.2 부호 보정 LERP

LERP를 적용하기 전에 $\mathbf{q}_0^T\mathbf{q}_1 < 0$ 인 경우 $\mathbf{q}_1$ 의 부호를 반전시킨다. 이는 짧은 경로를 선택하도록 보장한다.

8.3 단계별 LERP

큰 회전을 작은 단계로 나누어 각 단계마다 LERP를 적용한다. 정확도가 향상되지만 계산 비용도 증가한다.

9. LERP의 본질적 문제

LERP의 본질적 문제는 회전 공간 $SO(3)$ 이 선형 공간이 아니라는 점이다. 선형 보간은 유클리드 공간에서 자연스러운 연산이지만, 매니폴드에서는 매니폴드 구조를 위반한다. 매니폴드 상의 자연스러운 보간은 측지선 보간이며, 이는 SLERP가 제공한다.

10. 측지선과 LERP의 비교

쿼터니언의 단위 구면 $S^3$ 상에서:

LERP: 4차원 유클리드 공간에서의 직선 (구면 안쪽으로 들어감)
SLERP: 구면 위의 측지선 (대원, great circle)

LERP는 구면 위의 두 점을 연결하는 직선이며, 이 직선의 중간점은 구면에서 떨어져 있다(짧은 직선이 구면을 통과하지 않음). SLERP는 구면 위에 머물면서 두 점을 연결한다.

11. 일반화: 매니폴드 상의 LERP

매니폴드 상에서 LERP를 시도하면 항상 매니폴드를 벗어난다. 따라서 매니폴드 보간은 다음 두 단계로 수행된다.

유클리드 보간: 매니폴드를 유클리드 공간에 임베딩한 후 직선 보간
투영: 결과를 매니폴드로 다시 투영

쿼터니언의 NLERP가 정확히 이 패턴이다. SLERP는 더 자연스러운 측지선 접근이지만, 매니폴드의 곡률을 고려해야 한다.

12. 결론

LERP는 단순하지만 회전 보간에는 본질적으로 부적합하다. 정규화를 추가한 NLERP는 사용 가능하지만 일정한 각속도를 보장하지 않는다. 정확한 회전 보간을 위해서는 SLERP나 리 군 측지선 방법을 사용해야 한다. LERP는 작은 회전에서의 빠른 근사 또는 정확도가 중요하지 않은 경우에만 사용해야 한다.

13. 참고 문헌

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