9.59 스크류 축과 스크류 파라미터

1. 스크류 축의 기하학적 정의

스크류 축(screw axis)은 3차원 공간의 한 직선이며, 강체 운동에서 회전과 병진이 모두 일어나는 기준 직선이다. 직선이 통과하는 한 점과 그 직선의 방향 벡터로 매개화된다. 스크류 축은 공간상의 임의의 위치에 존재할 수 있으며, 원점을 지나지 않는 일반적인 직선이다.

2. 스크류 축의 매개화

2.1 표준 매개화

스크류 축은 다음 두 벡터로 표현된다.

• 방향 벡터 \hat{\mathbf{s}} \in \mathbb{R}^3: 단위 벡터로 직선의 방향
• 위치 벡터 \mathbf{q} \in \mathbb{R}^3: 직선이 지나가는 한 점

직선 위의 모든 점은 다음과 같이 매개화된다.

\mathbf{r}(t) = \mathbf{q} + t\hat{\mathbf{s}}, \quad t \in \mathbb{R}

2.2 매개변수의 자유도

방향 벡터의 자유도는 2(S^2의 차원), 위치 벡터의 자유도는 3이지만 이 중 1자유도가 직선 위의 평행 이동과 중복되므로 직선의 자유도는 2 + 3 - 1 = 4이다.

3. 스크류 파라미터

스크류 운동을 완전히 기술하기 위해서는 스크류 축에 더하여 다음 스칼라 파라미터가 필요하다.

3.1 회전 각 \phi

스크류 축 주위로의 회전 각도이다. 단위는 라디안이며, 일반적으로 \phi \in [0, 2\pi)의 범위로 제한된다.

3.2 피치 h

회전 각 1 라디안당 진행하는 거리이다.

h = \frac{\text{병진 거리}}{\text{회전 각}} = \frac{d}{\phi}

피치는 스크류의 “가파름“을 나타낸다. h = 0이면 순수 회전이고, h = \infty이면 순수 병진이다. 단위는 길이/라디안이지만, 통상 미터/라디안으로 표기한다.

3.3 병진 거리 d

스크류 축 방향으로의 병진 거리이다. d = h\phi로 회전 각과 피치로부터 결정된다. 일반적으로는 양수이지만, 음수도 가능하다.

4. 스크류 6 파라미터

스크류 운동의 매개변수를 모두 합치면 6 파라미터가 된다.

이는 강체 운동의 자연스러운 6자유도와 일치한다.

5. 트위스트 표현과의 관계

스크류 운동의 무한소 형태인 트위스트는 6차원 벡터로 표현된다.

\boldsymbol{\xi} = (\boldsymbol{\omega}^T, \mathbf{v}^T)^T \in \mathbb{R}^6

여기서 \boldsymbol{\omega}는 각속도 부분, \mathbf{v}는 선형 속도 부분이다. 트위스트의 매개변수와 스크류 매개변수는 다음과 같이 연결된다.

5.1 스크류 축의 추출

\hat{\mathbf{s}} = \frac{\boldsymbol{\omega}}{\lVert \boldsymbol{\omega} \rVert} \quad (\boldsymbol{\omega} \neq \mathbf{0})

스크류 축의 방향은 각속도 벡터의 단위 방향이다.

5.2 회전 각의 추출

\phi = \lVert \boldsymbol{\omega} \rVert

이는 트위스트가 단위 시간 동안 발생하는 회전 각의 크기로 해석되는 경우이다.

5.3 피치의 추출

h = \frac{\hat{\mathbf{s}}^T\mathbf{v}}{\phi} = \frac{\boldsymbol{\omega}^T\mathbf{v}}{\lVert \boldsymbol{\omega} \rVert^2}

이는 선형 속도의 스크류 축 방향 성분을 회전 속도로 나눈 값이다.

5.4 축 위치의 추출

스크류 축이 통과하는 점 \mathbf{q}는 다음과 같이 결정된다.

\mathbf{q} = \frac{\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}}{\lVert \boldsymbol{\omega} \rVert^2}

이는 원점에서 스크류 축까지의 수직 거리이다.

6. 정규화된 트위스트

스크류 축이 단위 벡터일 때 트위스트를 “정규화된” 형태로 표현할 수 있다.

6.1 회전 관절 (피치 h)의 정규화 트위스트

\boldsymbol{\xi}_{\text{norm}} = \begin{bmatrix}\hat{\mathbf{s}} \\ -\hat{\mathbf{s}} \times \mathbf{q} + h\hat{\mathbf{s}}\end{bmatrix}

회전 부분이 단위 벡터이다.

6.2 직선 관절(피치 무한)의 정규화 트위스트

순수 병진의 경우 \boldsymbol{\omega} = \mathbf{0}이고 회전이 없으므로 다음과 같이 정의한다.

\boldsymbol{\xi}_{\text{prismatic}} = \begin{bmatrix}\mathbf{0} \\ \hat{\mathbf{s}}\end{bmatrix}

병진 방향의 단위 벡터만 존재한다.

7. 스크류의 분류

스크류 운동은 피치에 따라 다음과 같이 분류된다.

7.1 유한 피치 스크류 (0 < h < \infty)

회전과 병진이 모두 있는 일반적 스크류 운동이다. 매니퓰레이터의 일반적인 운동에 해당한다.

7.2 영 피치 스크류 (h = 0)

순수 회전이다. 회전 관절의 운동에 해당한다.

7.3 무한 피치 스크류 (h = \infty)

순수 병진이다. 직선 관절의 운동에 해당한다.

이 분류는 매니퓰레이터의 회전 관절과 직선 관절을 통일적으로 다루는 데 사용된다.

8. 스크류 축의 성질

8.1 위치의 비유일성

스크류 축이 통과하는 점 \mathbf{q}는 직선 위의 어느 점이든 선택 가능하다. 다른 점을 선택하면 표현은 달라지지만 같은 직선을 가리킨다. 통상 원점에서 가장 가까운 점을 선택한다.

8.2 방향의 이중성

스크류 축의 방향 \hat{\mathbf{s}}를 반대 방향 -\hat{\mathbf{s}}로 바꾸면, 회전 각의 부호도 함께 바뀌어야 같은 운동을 나타낸다. 즉, (\hat{\mathbf{s}}, \phi)와 (-\hat{\mathbf{s}}, -\phi)가 같은 회전이다.

8.3 항등 운동

\phi = 0이면 항등 운동이며, 스크류 축이 정의되지 않는다. 이는 축-각도 표현의 항등 회전 특이성과 동등하다.

9. 스크류 축의 시각화

스크류 축은 마치 우주에 떠 있는 직선 모양의 봉이라고 상상할 수 있다. 강체가 이 봉을 중심으로 회전하면서 봉을 따라 미끄러진다. 회전 각이 증가함에 따라 강체는 봉 방향으로 일정한 비율(h)로 진행한다. 회전과 진행이 동시에 일어나므로, 강체 위의 점이 그리는 궤적은 봉 주위의 나선이 된다.

10. 스크류 매개변수의 응용

10.1 매니퓰레이터 관절 표현

매니퓰레이터의 각 관절은 하나의 스크류 축으로 표현된다. 회전 관절은 영 피치 스크류, 직선 관절은 무한 피치 스크류이다. 모든 관절을 통일적으로 처리할 수 있다.

10.2 POE 공식

곱지수 공식에서 매니퓰레이터의 순기구학은 각 관절의 스크류 축의 지수의 곱이다.

\mathbf{T}(\boldsymbol{\theta}) = \exp([\boldsymbol{\xi}_1]\theta_1)\exp([\boldsymbol{\xi}_2]\theta_2)\cdots\exp([\boldsymbol{\xi}_n]\theta_n)\mathbf{M}

각 \boldsymbol{\xi}_i가 i번째 관절의 스크류 축이다.

10.3 자코비안 계산

매니퓰레이터의 공간 자코비안은 각 관절의 현재 스크류 축으로 구성된다. 즉, \mathbf{J}(\boldsymbol{\theta})의 i번째 열이 현재 자세에서의 i번째 관절의 스크류 축이다.

10.4 동역학 모델링

SE(3)의 리 대수 구조에서 각 관절의 운동을 트위스트로 표현하면, 동역학 방정식이 자연스럽게 표현된다.

10.5 이동 로봇과 강체 운동

이동 로봇의 운동도 스크류 운동으로 분석할 수 있다. 일반적 강체 운동은 슈아세의 정리에 의해 적절한 스크류 축 주위의 회전과 병진의 결합으로 표현된다.

11. 스크류 매개변수 계산의 예시

특정 강체 변환 \mathbf{T}로부터 스크류 매개변수를 추출하는 절차는 다음과 같다.

11.1 단계: 회전 각 추출

\mathbf{T}의 회전 부분 \mathbf{R}의 대각합으로부터 회전 각을 계산한다.

\phi = \arccos\left(\frac{\mathrm{tr}(\mathbf{R}) - 1}{2}\right)

11.2 단계: 회전 축 추출

\mathbf{R}의 반대칭 부분으로부터 회전 축(스크류 축의 방향)을 추출한다.

\hat{\mathbf{s}} = \frac{1}{2\sin\phi}(r_{32} - r_{23}, r_{13} - r_{31}, r_{21} - r_{12})^T

11.3 단계: 병진 거리와 피치 계산

병진 벡터 \mathbf{t}의 스크류 축 방향 성분이 병진 거리이다.

d = \hat{\mathbf{s}}^T\mathbf{t}

피치는 h = d/\phi이다.

11.4 단계: 축 위치 계산

축 위치는 다음과 같이 계산된다.

\mathbf{q} = \frac{1}{2}(\mathbf{I} - \mathbf{R})\mathbf{t} + \frac{h}{2\tan(\phi/2)}\hat{\mathbf{s}}\hat{\mathbf{s}}^T\mathbf{t} + \cdots

(자세한 공식은 9.62-9.64에서 다룬다.)

12. 참고 문헌

• Ball, R. S. (1900). A Treatise on the Theory of Screws. Cambridge University Press.
• Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
• Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
• Selig, J. M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics (2nd ed.). Springer.
• McCarthy, J. M. (1990). Introduction to Theoretical Kinematics. MIT Press.

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