9.52 DH 규약에 의한 동차 변환 행렬 유도

1. 유도의 목표

표준 DH 규약에 의해 인접한 두 링크 좌표계 $\{i-1\}$ 과 $\{i\}$ 사이의 동차 변환 행렬 ${}^{i-1}\mathbf{T}_i$ 을 4개의 DH 매개변수 $(a_i, \alpha_i, d_i, \theta_i)$ 로 표현한다. 결과는 다음의 닫힌 형태이다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i\cos\alpha_i & \sin\theta_i\sin\alpha_i & a_i\cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i\cos\alpha_i & -\cos\theta_i\sin\alpha_i & a_i\sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 네 단계 기본 변환의 합성

${}^{i-1}\mathbf{T}_i$ 는 네 개의 기본 변환의 곱으로 표현된다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \mathbf{Rot}_z(\theta_i) \cdot \mathbf{Trans}_z(d_i) \cdot \mathbf{Trans}_x(a_i) \cdot \mathbf{Rot}_x(\alpha_i)$

이 네 단계는 좌표계 $\{i-1\}$ 에서 출발하여 차례로 이동하면서 좌표계 $\{i\}$ 에 도달한다. 각 단계의 의미는 다음과 같다.

$\mathbf{Rot}_z(\theta_i)$ : 좌표계 $\{i-1\}$ 의 $z$ 축 주위로 $\theta_i$ 만큼 회전. $x$ 축이 $z_{i-1}$ 주위로 돌면서 $x_i$ 의 방향에 정렬되도록 한다.
$\mathbf{Trans}_z(d_i)$ : $z$ 축 방향으로 $d_i$ 만큼 병진. $\{i-1\}$ 의 원점이 $\{i\}$ 의 원점이 위치하는 $z$ 축 상의 점으로 이동한다.
$\mathbf{Trans}_x(a_i)$ : 새 $x$ 축 방향으로 $a_i$ 만큼 병진. 공통 수선의 길이를 따라 이동하여 $\{i\}$ 의 원점에 도달한다.
$\mathbf{Rot}_x(\alpha_i)$ : 새 $x$ 축 주위로 $\alpha_i$ 만큼 회전. $z$ 축이 $z_{i-1}$ 방향에서 $z_i$ 방향으로 회전한다.

3. 단계별 유도

3.1 단계 1: $\mathbf{Rot}_z(\theta_i)$

$z$ 축 주위 $\theta_i$ 회전의 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{Rot}_z(\theta_i) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.2 단계 2: $\mathbf{Trans}_z(d_i)$

$z$ 축 방향 $d_i$ 병진의 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{Trans}_z(d_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.3 단계 3: $\mathbf{Trans}_x(a_i)$

$x$ 축 방향 $a_i$ 병진의 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{Trans}_x(a_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.4 단계 4: $\mathbf{Rot}_x(\alpha_i)$

$x$ 축 주위 $\alpha_i$ 회전의 동차 변환 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{Rot}_x(\alpha_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha_i & -\sin\alpha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 곱의 계산

네 행렬의 곱을 차례로 계산한다. 우선 $\mathbf{Trans}_z(d_i) \cdot \mathbf{Trans}_x(a_i)$ 부터 시작한다.

4.1 부분 곱 1: $\mathbf{Trans}_z(d_i)\mathbf{Trans}_x(a_i)$

두 병진의 곱은 다음과 같다.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

병진들은 가환이므로 단순히 두 병진 벡터의 합 $(a_i, 0, d_i)^T$ 이다.

4.2 부분 곱 2: $\mathbf{Trans}_z(d_i)\mathbf{Trans}_x(a_i)\mathbf{Rot}_x(\alpha_i)$

위의 결과에 $\mathbf{Rot}_x(\alpha_i)$ 를 곱한다.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha_i & -\sin\alpha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & \cos\alpha_i & -\sin\alpha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4.3 부분 곱 3: 최종 합성

마지막으로 $\mathbf{Rot}_z(\theta_i)$ 를 왼쪽에서 곱한다.

$\begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_i \\ 0 & \cos\alpha_i & -\sin\alpha_i & 0 \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

원소별로 곱을 전개하면 다음의 결과를 얻는다.

이 행렬이 표준 DH 규약의 동차 변환 행렬이다.

5. 행렬 구조의 분석

5.1 회전 부분 ( $3 \times 3$ 좌상단)

$\mathbf{R}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i\cos\alpha_i & \sin\theta_i\sin\alpha_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i\cos\alpha_i & -\cos\theta_i\sin\alpha_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i \end{bmatrix}$

이는 $\mathbf{R}_z(\theta_i)\mathbf{R}_x(\alpha_i)$ 의 곱과 같다. 즉, 회전 부분은 $z$ 축 회전과 $x$ 축 회전의 합성이다.

5.2 병진 부분 ( $3 \times 1$ 우상단)

$\mathbf{t}_i = \begin{bmatrix}a_i\cos\theta_i \\ a_i\sin\theta_i \\ d_i\end{bmatrix}$

병진 부분의 $x$ , $y$ 성분은 링크 길이 $a_i$ 가 회전된 방향( $\theta_i$ )으로 표현된 것이고, $z$ 성분은 링크 오프셋 $d_i$ 이다.

6. 행렬의 직접적 의미

DH 규약의 변환 행렬은 다음과 같이 분해해서 이해할 수 있다.

세 번째 열 $(\sin\theta_i\sin\alpha_i, -\cos\theta_i\sin\alpha_i, \cos\alpha_i)^T$ : 좌표계 $\{i\}$ 의 $z$ 축 방향이 $\{i-1\}$ 에서 표현된 것
첫 번째 열 $(\cos\theta_i, \sin\theta_i, 0)^T$ : 좌표계 $\{i\}$ 의 $x$ 축 방향이 $\{i-1\}$ 에서 표현된 것
두 번째 열: 위 두 열의 외적으로 결정되는 $y$ 축

병진 부분은 좌표계 $\{i\}$ 의 원점이 $\{i-1\}$ 에서 표현된 위치이다.

7. 정규 직교성 검증

회전 부분이 $SO(3)$ 에 속함을 확인한다.

7.1 첫 번째 열의 노름

$\cos^2\theta_i + \sin^2\theta_i + 0 = 1 \checkmark$

7.2 두 번째 열의 노름

$\sin^2\theta_i\cos^2\alpha_i + \cos^2\theta_i\cos^2\alpha_i + \sin^2\alpha_i = \cos^2\alpha_i + \sin^2\alpha_i = 1 \checkmark$

7.3 세 번째 열의 노름

$\sin^2\theta_i\sin^2\alpha_i + \cos^2\theta_i\sin^2\alpha_i + \cos^2\alpha_i = \sin^2\alpha_i + \cos^2\alpha_i = 1 \checkmark$

7.4 직교성

각 쌍의 열벡터가 직교함을 직접 확인할 수 있다. 예를 들어 첫 번째와 세 번째 열의 내적은

$\cos\theta_i \cdot \sin\theta_i\sin\alpha_i + \sin\theta_i \cdot (-\cos\theta_i\sin\alpha_i) + 0 = 0 \checkmark$

이다. 다른 쌍들도 마찬가지로 0이 된다.

7.5 행렬식

행렬식의 계산을 통해 $\det(\mathbf{R}_i) = +1$ 임을 확인할 수 있다. 결과적으로 $\mathbf{R}_i \in SO(3)$ 이며 ${}^{i-1}\mathbf{T}_i \in SE(3)$ 이다.

8. 특수한 경우의 행렬

8.1 $\alpha_i = 0$ (평행 축)

두 관절 축이 평행하면 $\sin\alpha_i = 0$ , $\cos\alpha_i = 1$ 이고

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 & a_i\cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 & a_i\sin\theta_i \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

이 된다. 회전 부분이 단순한 $z$ 축 회전이다.

8.2 $\alpha_i = \pm \pi/2$ (수직 축)

두 관절 축이 직각을 이루면 $\cos\alpha_i = 0$ , $\sin\alpha_i = \pm 1$ 이고

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & 0 & \pm\sin\theta_i & a_i\cos\theta_i \\ \sin\theta_i & 0 & \mp\cos\theta_i & a_i\sin\theta_i \\ 0 & \pm 1 & 0 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

이 된다.

8.3 $a_i = 0$ , $d_i = 0$ (교차 축)

두 관절 축이 한 점에서 만나면 병진이 0이고 회전만 남는다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i = \begin{bmatrix} \mathbf{R}_z(\theta_i)\mathbf{R}_x(\alpha_i) & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}$

이는 손목 관절과 같이 한 점에서 만나는 관절들의 변환에 적용된다.

9. 변환의 합성과 순기구학

매니퓰레이터 전체의 순기구학은 모든 링크의 DH 변환의 곱이다.

${}^0\mathbf{T}_n(\boldsymbol{\theta}) = \prod_{i=1}^n {}^{i-1}\mathbf{T}_i(\theta_i)$

이는 베이스 좌표계에서 말단 장치 좌표계까지의 누적 변환이며, 관절 변수 $\boldsymbol{\theta}$ 의 함수로서 말단 장치의 자세와 위치를 결정한다.

10. 변형 DH의 차이

크레이그의 변형 DH(Modified DH) 규약에서는 4개의 기본 변환의 순서가 다르다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i^{\text{Modified}} = \mathbf{Rot}_x(\alpha_{i-1}) \cdot \mathbf{Trans}_x(a_{i-1}) \cdot \mathbf{Rot}_z(\theta_i) \cdot \mathbf{Trans}_z(d_i)$

매개변수의 인덱싱과 곱의 순서가 표준 DH와 다르므로, 결과 행렬의 구체적 형태도 조금 다르다. 두 변형 사이의 차이는 9.55에서 자세히 다룬다.

11. 참고 문헌

Denavit, J., & Hartenberg, R. S. (1955). “A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices.” Journal of Applied Mechanics, 22, 215–221.
Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Paul, R. P. (1981). Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control. MIT Press.

version: 1.0