9.39 로그 사상(Logarithmic Map)과 축-각도 추출

1. 로그 사상의 정의

로그 사상(logarithmic map)은 지수 사상(exponential map)의 역함수이다. $SO(3)$ 의 경우 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 을 리 대수 $\mathfrak{so}(3)$ 의 반대칭 행렬 $[\boldsymbol{\phi}]_\times$ 로 사상하는 연산이다.

$\log: SO(3) \to \mathfrak{so}(3), \quad \mathbf{R} \mapsto [\boldsymbol{\phi}]_\times$

여기서 $\boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^3$ 는 회전 벡터이며, $\exp([\boldsymbol{\phi}]_\times) = \mathbf{R}$ 을 만족한다. 로그 사상은 회전 행렬로부터 축-각도 정보를 추출하는 수학적 연산이다.

2. 회전 행렬에서 회전 벡터로의 추출

로그 사상의 닫힌 형태는 다음과 같다. 주어진 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 에 대해

$\phi = \arccos\left(\frac{\mathrm{tr}(\mathbf{R}) - 1}{2}\right)$

$[\boldsymbol{\phi}]_\times = \frac{\phi}{2\sin\phi}(\mathbf{R} - \mathbf{R}^T)$

이다. 회전 벡터는

$\boldsymbol{\phi} = \frac{\phi}{2\sin\phi}\begin{bmatrix}r_{32} - r_{23} \\ r_{13} - r_{31} \\ r_{21} - r_{12}\end{bmatrix}$

로 추출된다. 이 공식은 $\phi \in (0, \pi)$ 범위에서 잘 정의된다.

3. 로그 사상의 단위 원리

로그 사상은 회전 행렬을 “얼마나 회전했는지“와 “어느 축 주위로 회전했는지“의 정보로 분해한다. 이는 회전 행렬의 반대칭 부분에서 추출된다.

$\mathbf{R} - \mathbf{R}^T = 2\sin\phi\,[\hat{\mathbf{u}}]_\times$

이 관계는 로드리게스 공식으로부터 직접 유도된다. 양변의 반대칭 부분을 비교하면 $\sin\phi$ 배의 $[\hat{\mathbf{u}}]_\times$ 가 얻어진다.

4. 특이점 1: 항등 회전 ( $\phi = 0$ )

$\mathbf{R} = \mathbf{I}$ 일 때 $\mathrm{tr}(\mathbf{R}) = 3$ 이고 $\phi = 0$ 이다. 이 경우 회전 축이 결정되지 않으며, 로그 사상은 영벡터 $\boldsymbol{\phi} = \mathbf{0}$ 을 산출한다.

수치적으로 $\phi$ 가 0에 가까울 때 $\sin\phi \approx \phi$ 이므로 계수 $\phi/(2\sin\phi) \approx 1/2$ 이고, 다음의 1차 근사가 성립한다.

$\boldsymbol{\phi} \approx \frac{1}{2}\begin{bmatrix}r_{32} - r_{23} \\ r_{13} - r_{31} \\ r_{21} - r_{12}\end{bmatrix} \quad (\phi \to 0)$

이는 $\mathbf{R} - \mathbf{R}^T$ 가 작은 회전 각의 두 배의 반대칭 표현임을 반영한다.

5. 특이점 2: 180도 회전 ( $\phi = \pi$ )

$\phi = \pi$ 일 때 $\sin\phi = 0$ 이므로 표준 공식의 분모가 0이 된다. 또한 $\cos\pi = -1$ 이고 $\mathrm{tr}(\mathbf{R}) = 2\cos\phi + 1 = -1$ 이다. 이 경우 $\mathbf{R}$ 은 다음의 형태를 가진다.

$\mathbf{R} = \mathbf{I} + 2[\hat{\mathbf{u}}]_\times^2 = 2\hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{u}}^T - \mathbf{I}$

대칭 부분 $\mathbf{R} + \mathbf{I}$ 의 비대각 성분으로부터 축 방향을 추출할 수 있다.

5.1 도 회전의 축 추출

$\mathbf{R} + \mathbf{I} = 2\hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{u}}^T$

의 대각선 원소로부터

$u_i = \pm\sqrt{\frac{r_{ii} + 1}{2}}$

의 절댓값을 얻는다. 부호는 비대각 원소 $r_{ij} = 2u_i u_j$ 로부터 상대적으로 결정된다. 가장 큰 대각 원소에 해당하는 성분을 양수로 고정하고 다른 성분의 부호를 결정하는 것이 수치적으로 안정적이다.

5.2 $\pm\hat{\mathbf{u}}$ 의 이중성

180도 회전에서는 $(\hat{\mathbf{u}}, \pi)$ 와 $(-\hat{\mathbf{u}}, \pi)$ 가 같은 회전을 나타낸다. 따라서 로그 사상의 결과는 부호의 관례에 의존한다.

6. 수치적으로 안정한 알고리즘

견고한 로그 사상 구현은 다음 단계로 구성된다.

$\cos\phi = (\mathrm{tr}(\mathbf{R}) - 1)/2$ 를 계산한다.
$\cos\phi$ 를 $[-1, 1]$ 로 클램핑한다.
$\phi = \arccos(\cos\phi)$ 를 계산한다.
if $\phi$ 가 임계값 $\epsilon_1$ 이하 (작은 회전):

$\boldsymbol{\phi} = \frac{1}{2}(r_{32} - r_{23}, r_{13} - r_{31}, r_{21} - r_{12})^T$ 의 1차 근사를 사용한다.

else if $\phi$ 가 $\pi - \epsilon_2$ 이상 (180도 근처):

대각선 기반 공식으로 축을 추출하고 $\phi = \pi$ 로 설정한다.

else (일반적 경우):

$\boldsymbol{\phi} = \frac{\phi}{2\sin\phi}(r_{32} - r_{23}, r_{13} - r_{31}, r_{21} - r_{12})^T$ 를 계산한다.

임계값 $\epsilon_1$ 과 $\epsilon_2$ 는 통상 $10^{-6}$ 정도로 설정된다.

7. $\mathrm{atan2}$ 기반 대체 공식

$\arccos$ 대신 $\mathrm{atan2}$ 를 사용하여 수치 안정성을 향상시킬 수 있다.

$\phi = \mathrm{atan2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{(r_{32} - r_{23})^2 + (r_{13} - r_{31})^2 + (r_{21} - r_{12})^2}, \frac{\mathrm{tr}(\mathbf{R}) - 1}{2}\right)$

$\mathrm{atan2}$ 는 분자와 분모의 크기 관계를 고려하여 사분면을 결정하므로, $\arccos$ 보다 경계 근처에서 정확하다.

8. 로그 사상과 축-각도 추출의 관계

축-각도 표현 $(\hat{\mathbf{u}}, \phi)$ 과 회전 벡터 $\boldsymbol{\phi} = \phi\hat{\mathbf{u}}$ 는 동일한 정보를 담는 두 형태이다. 로그 사상은 회전 행렬로부터 회전 벡터를 직접 산출하며, 여기서 축과 각도를 분리하여 추출할 수 있다.

$\phi = \lVert \boldsymbol{\phi} \rVert, \quad \hat{\mathbf{u}} = \frac{\boldsymbol{\phi}}{\phi}$

9. 로그 사상의 국소성

9.1 지수 사상과의 역 관계

$\lVert \boldsymbol{\phi} \rVert < \pi$ 범위에서 로그 사상은 지수 사상의 국소 역함수이다.

$\log(\exp([\boldsymbol{\phi}]_\times)) = [\boldsymbol{\phi}]_\times$

$\lVert \boldsymbol{\phi} \rVert = \pi$ 에서는 ${\pm\hat{\mathbf{u}}}$ 이중성으로 인해 일대일이 아니다. $\lVert \boldsymbol{\phi} \rVert > \pi$ 로 확장하면 주기적 중복이 추가로 발생하며, 관례적으로 $\lVert \boldsymbol{\phi} \rVert \leq \pi$ 로 제한한다.

9.2 로그 사상의 야코비안

로그 사상의 미분은 지수 사상 야코비안의 역이다.

$\mathbf{J}_l^{-1}(\boldsymbol{\phi}) = \mathbf{I} - \frac{1}{2}[\boldsymbol{\phi}]_\times + \left(\frac{1}{\phi^2} - \frac{1 + \cos\phi}{2\phi\sin\phi}\right)[\boldsymbol{\phi}]_\times^2$

이 역 야코비안은 회전 행렬 오차를 회전 벡터 오차로 전파할 때 사용된다.

10. 로그 사상의 응용

10.1 두 회전 사이의 측지 거리

두 회전 행렬 $\mathbf{R}_1$ 과 $\mathbf{R}_2$ 사이의 측지 거리는 상대 회전의 로그 크기로 계산된다.

$d(\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2) = \lVert \log(\mathbf{R}_1^T\mathbf{R}_2) \rVert = \phi$

이는 $SO(3)$ 매니폴드 상에서의 “가장 짧은 회전“에 해당한다.

10.2 회전 오차의 표현

자세 제어와 자세 추정에서 오차 회전 $\mathbf{R}_e = \mathbf{R}_d \mathbf{R}^T$ 또는 $\mathbf{R}^T\mathbf{R}_d$ 의 로그 사상으로 오차를 3차원 벡터로 표현한다. 이 벡터 형태의 오차는 PID 제어나 LQR 제어의 입력으로 직접 사용할 수 있다.

10.3 SLAM의 제약 잔차

그래프 기반 SLAM에서 두 포즈 사이의 측정된 상대 회전과 예측된 상대 회전의 차이를 로그 사상으로 잔차 벡터로 표현한다. 이 잔차가 최소 제곱 비용 함수의 입력이 된다.

10.4 쿼터니언과의 변환

쿼터니언 $\mathbf{q} = (\cos(\phi/2), \sin(\phi/2)\hat{\mathbf{u}})$ 로부터 회전 벡터는 다음과 같이 직접 계산된다.

$\phi = 2\mathrm{atan2}(\lVert \mathbf{q}_v \rVert, q_w), \quad \boldsymbol{\phi} = \frac{\phi}{\lVert \mathbf{q}_v \rVert}\mathbf{q}_v$

여기서 $\mathbf{q}_v$ 는 쿼터니언의 벡터 부분이고 $q_w$ 는 스칼라 부분이다.

10.5 회전 보간

두 회전 사이의 선형 보간은 로그 사상에서 직선 경로를 선택하여 구현한다.

$\mathbf{R}(t) = \mathbf{R}_1 \exp(t \log(\mathbf{R}_1^T\mathbf{R}_2))$

이는 쿼터니언의 SLERP와 등가이며, $SO(3)$ 매니폴드 상의 측지선을 따라 균일한 각속도로 보간한다.

11. 참고 문헌

Hall, B. C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations (2nd ed.). Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Barfoot, T. D. (2017). State Estimation for Robotics. Cambridge University Press.
Sola, J., Deray, J., & Atchuthan, D. (2018). “A Micro Lie Theory for State Estimation in Robotics.” arXiv:1812.01537.
Chirikjian, G. S. (2011). Stochastic Models, Information Theory, and Lie Groups, Volume 2. Birkhäuser.

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