9.30 회전 행렬에서 오일러 각 추출의 다가성

1. 다가성의 개념

회전 행렬에서 오일러 각을 추출하는 역변환 문제는 일반적으로 다가(multi-valued) 성질을 가진다. 주어진 회전 행렬 $\mathbf{R}$ 에 대응하는 오일러 각 세 벡터 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 가 두 개 이상 존재할 수 있으며, 이들이 모두 수학적으로 동일한 회전 행렬을 산출한다. 다가성의 원인은 삼각 함수의 주기성, 오일러 각 공간의 위상 구조, 그리고 짐벌 락 특이점에 있다.

2. 삼각 함수의 주기성에 의한 다가성

오일러 각 추출에서 사용되는 $\arcsin$ , $\arccos$ , $\mathrm{atan2}$ 함수는 모두 특정 주기성을 가진다. $\sin\theta = \sin(\pi - \theta)$ 이고 $\cos\theta = \cos(-\theta)$ 이므로, 하나의 삼각 함수 값은 두 개의 각도에 대응한다.

예를 들어 $ZYX$ 규약에서 피치 각 $\theta$ 는 $-r_{31} = \sin\theta$ 로부터 추출되는데, $\theta$ 와 $\pi - \theta$ 가 같은 사인 값을 가진다. 관례적으로 $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ 로 제한하여 $\arcsin$ 의 주가지(principal branch)를 선택한다. 그러나 이론적으로는 다음의 두 해가 존재한다.

2.1 주 해(Principal solution)

$\theta_1 = \arcsin(-r_{31})$

$\psi_1 = \mathrm{atan2}(r_{21}, r_{11})$

$\phi_1 = \mathrm{atan2}(r_{32}, r_{33})$

2.2 보조 해(Alternative solution)

$\theta_2 = \pi - \theta_1$

$\psi_2 = \mathrm{atan2}(-r_{21}, -r_{11})$

$\phi_2 = \mathrm{atan2}(-r_{32}, -r_{33})$

두 해 모두 동일한 회전 행렬을 산출하지만, 피치 각의 범위가 다르다. $\theta_1 \in [-\pi/2, \pi/2]$ 이고 $\theta_2 \in [\pi/2, 3\pi/2]$ 또는 $[-3\pi/2, -\pi/2]$ 에 해당한다. 관례상 $\theta_2$ 는 범위를 벗어나므로 사용되지 않는다.

3. $2\pi$ 주기성에 의한 다가성

각도는 $2\pi$ 의 주기성을 가지므로, 임의의 정수 $k$ 에 대해

$(\alpha + 2\pi k_1, \beta + 2\pi k_2, \gamma + 2\pi k_3)$

도 같은 회전을 나타낸다. 관례적 범위 $[-\pi, \pi) \times [-\pi/2, \pi/2] \times [-\pi, \pi)$ 로 제한하면 이러한 자명한 중복을 제거할 수 있다.

4. 짐벌 락 특이점에서의 무한 다가성

짐벌 락이 발생한 특이점에서 오일러 각 추출은 무한히 많은 해를 가진다. $ZYX$ 규약에서 피치 $\theta = \pm \pi/2$ 일 때 회전 행렬은

$\mathbf{R}_{\theta = \pi/2} = \mathbf{R}_z(\psi)\mathbf{R}_y(\pi/2)\mathbf{R}_x(\phi)$

이며, 이를 전개하면 $\mathbf{R}_y(\pi/2)$ 에 의해 $z$ 축과 $x''$ 축이 평행해져 요와 롤이 동일한 축 주위의 회전이 된다. 그 결과 $\psi$ 와 $\phi$ 의 개별 값이 아니라 $\phi - \psi$ 또는 $\phi + \psi$ 의 선형 결합만이 회전 행렬에 의해 결정된다.

4.1 짐벌 락 예시

$\theta = \pi/2$ 에서

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} 0 & \sin(\phi - \psi) & \cos(\phi - \psi) \\ 0 & \cos(\phi - \psi) & -\sin(\phi - \psi) \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

이 된다. $\phi - \psi$ 는 유일하게 결정되지만, $\phi$ 와 $\psi$ 를 개별적으로는 결정할 수 없다. 즉, 임의의 $\psi$ 에 대해 $\phi = (\phi - \psi) + \psi$ 로 설정하면 동일한 회전 행렬을 산출한다. 이는 1차원의 해 공간(1-parameter family of solutions)을 형성한다.

관례적으로는 $\psi = 0$ 으로 고정하여 유일한 대표 해를 선택한다.

5. 고유 오일러 각에서의 다가성

고유 오일러 각( $ZYZ$ , $ZXZ$ 등)에서도 유사한 다가성이 존재한다. $ZYZ$ 규약에서 $\beta = \arccos(r_{33})$ 는 주가지로 $[0, \pi]$ 에 속하지만, $\beta' = -\beta$ 에 대응하는 해도 존재한다.

5.1 주 해

$\beta_1 = \arccos(r_{33}) \in [0, \pi]$

$\alpha_1 = \mathrm{atan2}(r_{23}, r_{13})$

$\gamma_1 = \mathrm{atan2}(r_{32}, -r_{31})$

5.2 보조 해

$\beta_2 = -\beta_1$

$\alpha_2 = \mathrm{atan2}(-r_{23}, -r_{13}) = \alpha_1 + \pi$

$\gamma_2 = \mathrm{atan2}(-r_{32}, r_{31}) = \gamma_1 + \pi$

두 해 중 $\beta \in [0, \pi]$ 에 해당하는 주 해를 관례적으로 선택한다.

6. 다가성의 분류

오일러 각 추출의 다가성은 다음 네 가지로 분류할 수 있다.

유형	원인	예시	해결
주기성	$2\pi$ 주기	$(\psi, \theta, \phi)$ 와 $(\psi + 2\pi, \theta, \phi)$	범위 제한
삼각 대칭	$\sin/\cos$ 의 중복	주 해와 보조 해	주가지 선택
이중 피복	$\mathbf{q}$ 와 $-\mathbf{q}$	쿼터니언 부호 반전	관례 고정
짐벌 락	특이점	무한 개의 해	한 각 고정

7. 연속성 문제

오일러 각의 다가성이 연속적 궤적 표현에서 심각한 문제를 야기한다. 자세가 연속적으로 변화할 때 추출된 오일러 각이 갑자기 $2\pi$ 만큼 도약하거나 주 해와 보조 해 사이를 전환할 수 있다. 이러한 도약은 수치 적분이나 제어기에 부적절한 입력을 공급한다.

7.1 연속성 보장 기법

연속적 궤적에서 각도의 일관성을 보장하려면 언랩핑(unwrapping) 기법을 사용한다. 이전 시점의 각도와 현재 추출된 각도의 차이가 $\pi$ 를 넘으면 $2\pi$ 의 배수를 더하거나 빼서 조정한다.

$\psi_k \leftarrow \psi_k + 2\pi \cdot \mathrm{round}\left(\frac{\psi_{k-1} - \psi_k}{2\pi}\right)$

8. 다가성의 실용적 시사점

8.1 소프트웨어 테스트

오일러 각 추출 함수의 단위 테스트에서 왕복 변환만으로는 불충분하다. 추출 후 다시 회전 행렬로 변환하면 원래 행렬이 복구되지만, 추출된 오일러 각 자체는 원래 값과 다를 수 있다. 테스트는 회전 행렬 수준에서 일치를 확인해야 한다.

8.2 관례의 명시

특정 응용에서 여러 동등한 해 중 어느 것을 선택할지 관례로 고정해야 한다. 예를 들어, $ZYX$ 규약에서 $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ , $\psi, \phi \in [-\pi, \pi)$ 가 표준적이다.

8.3 짐벌 락의 처리

짐벌 락 근처에서 추출이 수치적으로 불안정하다. 이러한 경우 오일러 각 대신 쿼터니언이나 축-각도 표현을 사용하는 것이 권장된다.

8.4 최적화에서의 다가성

SLAM이나 번들 조정에서 오일러 각을 직접 최적화 변수로 사용하면 다가성이 최적화 수렴을 방해할 수 있다. 매개화를 쿼터니언이나 지수 좌표로 바꾸면 이 문제가 완화된다.

9. 해의 수와 회전 공간의 위상

오일러 각 공간 $[0, 2\pi) \times [0, \pi] \times [0, 2\pi)$ (고유 오일러 각의 경우)는 토러스(torus)에 해당하며, 위상적으로는 3차원 매니폴드이다. $SO(3)$ 은 이와 달리 위상적으로 단순하지 않은 매니폴드이며, 오일러 각 공간에서 $SO(3)$ 으로의 사상은 대부분의 점에서 일대일이 아니다. 이는 유클리드 매개화로 $SO(3)$ 을 전역적으로 부드럽게 덮을 수 없다는 사실의 표현이다.

10. 참고 문헌

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Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
Shoemake, K. (1985). “Animating Rotation with Quaternion Curves.” SIGGRAPH Computer Graphics, 19(3), 245–254.

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