9.28 고정 축 회전과 이동 축 회전의 등가 관계

1. 등가 관계의 핵심 정리

고정 축 회전(extrinsic rotation)과 이동 축 회전(intrinsic rotation)은 동일한 물리적 회전을 두 가지 서로 다른 해석으로 기술한 것이다. 두 해석 사이의 관계는 다음의 핵심 정리로 요약된다.

정리: 이동 축 해석으로 순서 A \to B \to C에 따라 각도 (\alpha, \beta, \gamma)로 회전한 결과는, 고정 축 해석으로 순서 C \to B \to A에 따라 각도 (\gamma, \beta, \alpha)로 회전한 결과와 동일하다.

수식으로 표현하면

\mathbf{R}_{\text{int},ABC}(\alpha, \beta, \gamma) = \mathbf{R}_{\text{ext},CBA}(\gamma, \beta, \alpha)

이며, 양변의 회전 행렬이 정확히 동일하다.

2. 등가 관계의 유도

두 해석의 합성 규칙을 비교하여 등가 관계를 직접 확인할 수 있다.

2.1 이동 축 해석의 합성

이동 축 A \to B \to C 회전의 합성은 다음과 같다.

\mathbf{R}_{\text{int},ABC}(\alpha, \beta, \gamma) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)\mathbf{R}_C(\gamma)

가장 먼저 적용되는 회전이 왼쪽에 위치한다.

2.2 고정 축 해석의 합성

고정 축 C \to B \to A 회전의 합성은 다음과 같다.

\mathbf{R}_{\text{ext},CBA}(\gamma, \beta, \alpha) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)\mathbf{R}_C(\gamma)

가장 먼저 적용되는 회전이 오른쪽에 위치한다. 여기서 첫 회전은 \mathbf{R}_C(\gamma)이지만, 고정 축 해석에서는 마지막 회전이 가장 왼쪽에 놓이므로 결과 행렬은 \mathbf{R}_A \mathbf{R}_B \mathbf{R}_C의 형태이다.

2.3 두 식의 동일성

두 합성 결과가 완전히 동일하므로 등가 관계가 성립한다.

\mathbf{R}_{\text{int},ABC}(\alpha, \beta, \gamma) = \mathbf{R}_{\text{ext},CBA}(\gamma, \beta, \alpha)

3. 등가 관계의 구체적 예

3.1 ZYX 이동 축 = XYZ 고정 축

ZYX 이동 축 규약(요-피치-롤)의 합성은

\mathbf{R}_{\text{int},ZYX}(\psi, \theta, \phi) = \mathbf{R}_z(\psi)\mathbf{R}_y(\theta)\mathbf{R}_x(\phi)

이다. 동일한 회전을 고정 축으로 표현하면 순서를 뒤집어 XYZ 고정 축 규약이 된다.

\mathbf{R}_{\text{ext},XYZ}(\phi, \theta, \psi) = \mathbf{R}_z(\psi)\mathbf{R}_y(\theta)\mathbf{R}_x(\phi)

두 식이 같은 행렬을 산출한다. 항공기의 자세 표현에서 “ZYX 이동 축 요-피치-롤“과 “XYZ 고정 축 롤-피치-요“는 동일한 회전을 지칭한다.

3.2 ZYZ 이동 축 = ZYZ 고정 축

ZYZ 규약은 첫 번째와 세 번째 회전축이 동일하므로 순서를 뒤집어도 같은 규약이 된다.

\mathbf{R}_{\text{int},ZYZ}(\alpha, \beta, \gamma) = \mathbf{R}_{\text{ext},ZYZ}(\gamma, \beta, \alpha)

단, 각도의 순서는 여전히 역전된다. 따라서 ZYZ 오일러 각 (\alpha, \beta, \gamma)를 이동 축 또는 고정 축으로 해석하든 같은 회전을 나타내지만, 두 해석에서 첫 각과 세 번째 각의 물리적 의미는 교환된다.

4. 수학적 증명

이동 축 회전의 유사 변환(similarity transformation)을 이용한 엄밀한 증명을 제시한다. 이동 축 해석에서 두 번째 회전은 이미 이동된 축 B' 주위에서 이루어진다.

\mathbf{R}_{B'}(\beta) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)\mathbf{R}_A(\alpha)^{-1}

이는 공간에 고정된 B축을 \mathbf{R}_A(\alpha)만큼 이동한 축 주위의 회전을 나타낸다. 첫 번째 회전 \mathbf{R}_A(\alpha)와 두 번째 회전 \mathbf{R}_{B'}(\beta)의 이동 축 합성은

\mathbf{R}_{B'}(\beta)\mathbf{R}_A(\alpha) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)\mathbf{R}_A(\alpha)^{-1}\mathbf{R}_A(\alpha) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)

이 된다. 마찬가지로 세 번째 회전 \mathbf{R}_{C''}(\gamma)를 포함한 전체 합성은

\mathbf{R}_{C''}(\gamma)\mathbf{R}_{B'}(\beta)\mathbf{R}_A(\alpha) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)\mathbf{R}_C(\gamma)

으로 간소화된다. 고정 축 C \to B \to A 해석에서는 정의에 의해

\mathbf{R}_{\text{ext},CBA}(\gamma, \beta, \alpha) = \mathbf{R}_A(\alpha)\mathbf{R}_B(\beta)\mathbf{R}_C(\gamma)

이다. 두 식이 정확히 일치하므로 등가 관계가 증명된다.

5. 등가 관계의 직관적 해석

두 해석의 등가 관계는 다음과 같은 직관으로 이해할 수 있다.

5.1 첫 번째 해석: 이동 축

강체가 초기 상태에서 A축 주위로 \alpha만큼 회전한다. 그 다음 이미 회전한 강체의 B'축 주위로 \beta만큼 회전한다. 마지막으로 두 번 회전한 강체의 C''축 주위로 \gamma만큼 회전한다.

5.2 두 번째 해석: 고정 축

동일한 최종 자세를 얻기 위해 역순의 고정 축 회전을 수행한다. 먼저 강체를 고정 C축 주위로 \gamma만큼 회전한다. 그 다음 고정 B축 주위로 \beta만큼 회전한다. 마지막으로 고정 A축 주위로 \alpha만큼 회전한다.

두 과정은 겉보기에 완전히 다르지만 최종적인 강체 자세는 완전히 동일하다.

6. 가지 오일러 각 규약과의 결합

12가지 오일러 각 규약 각각이 이동 축 해석과 고정 축 해석으로 표현될 수 있다. 이 이중성을 고려하면 총 24가지의 명명이 존재하나, 중복을 제거하면 12가지 독립된 회전 집합으로 귀결된다.

고유 오일러 각(첫 번째와 세 번째 축이 동일한 여섯 규약)은 역순을 취해도 규약이 바뀌지 않으므로 이동 축과 고정 축의 이름이 같다. 테이트-브라이언 각(여섯 규약)은 역순으로 다른 규약에 대응된다.

7. 실용적 시사점

7.1 소프트웨어 규약의 혼동

서로 다른 라이브러리가 이동 축 또는 고정 축 해석 중 하나를 선택하여 “오일러 각“이라고 명명하므로, 호환성 문제가 빈번히 발생한다. 예를 들어, 한 라이브러리의 “XYZ 오일러 각“이 이동 축 해석이고 다른 라이브러리의 “XYZ 오일러 각“이 고정 축 해석이면, 동일한 숫자가 서로 다른 회전을 나타낸다. 하지만 이동 축 XYZ는 고정 축 ZYX와 등가이므로, 각도의 순서를 역전시키면 두 라이브러리가 호환 가능하게 된다.

7.2 문서화의 필수 요소

오일러 각을 문서화할 때는 반드시 (1) 회전축 순서, (2) 해석 방식(이동 축/고정 축), (3) 각 각도의 명칭과 의미를 명시해야 한다. 이를 생략하면 등가 관계를 활용한 올바른 변환을 보장할 수 없다.

7.3 알고리즘 선택의 자유도

이동 축 해석이 자연스러운 경우(매니퓰레이터 기구학)와 고정 축 해석이 자연스러운 경우(월드 좌표계 센서 융합)가 있다. 등가 관계는 한 해석으로 작성된 알고리즘을 다른 해석으로 번역하는 규칙을 제공하므로, 구현자가 자신에게 편한 해석을 선택할 수 있게 한다.

8. 참고 문헌

• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
• Shuster, M. D. (1993). “A Survey of Attitude Representations.” Journal of the Astronautical Sciences, 41(4), 439–517.
• Diebel, J. (2006). “Representing Attitude: Euler Angles, Unit Quaternions, and Rotation Vectors.” Stanford University Technical Report.

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