9.22 $ZYZ$ 오일러 각과 회전 행렬의 관계

1. $ZYZ$ 규약의 정의

$ZYZ$ 오일러 각은 고유 오일러 각 범주에 속하며, 세 회전이 차례로 $z$ 축, $y$ 축, $z$ 축 주위에서 이루어지는 규약이다. 첫 번째와 세 번째 회전이 모두 $z$ 축을 사용한다는 점에서 고유 오일러 각의 전형적 예이다. 이 규약은 산업용 로봇 매니퓰레이터, 특히 손목이 구형 관절로 구성된 경우의 자세 표현에 표준적으로 사용된다.

2. 이동 축 해석의 합성

이동 축 해석에서 $ZYZ$ 오일러 각 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 에 대응하는 회전 행렬은 다음과 같이 합성된다.

$\mathbf{R}_{ZYZ}(\alpha, \beta, \gamma) = \mathbf{R}_z(\alpha)\mathbf{R}_y(\beta)\mathbf{R}_z(\gamma)$

각 기본 회전은 이전 회전에 의해 이미 이동된 좌표계의 축 주위에서 이루어진다. 즉, 첫 번째 $\mathbf{R}_z(\alpha)$ 는 원래 $z$ 축 주위의 회전, 두 번째 $\mathbf{R}_y(\beta)$ 는 이미 회전된 $y'$ 축 주위의 회전, 세 번째 $\mathbf{R}_z(\gamma)$ 는 두 번 회전된 $z''$ 축 주위의 회전이다.

이동 축 $ZYZ$ 와 고정 축 $ZYZ$ 의 두 해석은 회전의 순서가 반대가 되지만, 이동 축 $ZYZ$ 는 고정 축 표현에서 동일한 행렬을 산출한다. 이 대칭성은 $ZYZ$ 규약이 시작과 끝 회전에 동일한 축을 사용하기 때문이다.

3. 회전 행렬의 명시적 형태

기본 회전 행렬을 대입하여 곱을 전개한다. $c_\alpha = \cos\alpha$ , $s_\alpha = \sin\alpha$ 등의 축약 표기를 사용한다.

$\mathbf{R}_z(\alpha) = \begin{bmatrix}c_\alpha & -s_\alpha & 0 \\ s_\alpha & c_\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}, \quad \mathbf{R}_y(\beta) = \begin{bmatrix}c_\beta & 0 & s_\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_\beta & 0 & c_\beta\end{bmatrix}, \quad \mathbf{R}_z(\gamma) = \begin{bmatrix}c_\gamma & -s_\gamma & 0 \\ s_\gamma & c_\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

두 단계에 걸쳐 곱을 수행하면 다음의 명시적 행렬 형태를 얻는다.

$\mathbf{R}_{ZYZ}(\alpha, \beta, \gamma) = \begin{bmatrix} c_\alpha c_\beta c_\gamma - s_\alpha s_\gamma & -c_\alpha c_\beta s_\gamma - s_\alpha c_\gamma & c_\alpha s_\beta \\ s_\alpha c_\beta c_\gamma + c_\alpha s_\gamma & -s_\alpha c_\beta s_\gamma + c_\alpha c_\gamma & s_\alpha s_\beta \\ -s_\beta c_\gamma & s_\beta s_\gamma & c_\beta \end{bmatrix}$

4. 열벡터의 기하학적 해석

4.1 세 번째 열

$\mathbf{R}_{ZYZ}(\alpha, \beta, \gamma)\hat{\mathbf{e}}_z = \begin{bmatrix}c_\alpha s_\beta \\ s_\alpha s_\beta \\ c_\beta\end{bmatrix}$

이 벡터는 회전된 $z$ 축의 원래 좌표계에서의 표현이며, 구면 좌표에서 극각 $\beta$ 와 방위각 $\alpha$ 에 해당한다. 즉, $(\alpha, \beta)$ 는 회전된 $z$ 축의 방향을 결정하며, $\gamma$ 는 그 축 주위의 자전을 결정한다.

4.2 첫 번째 열과 두 번째 열

첫 번째와 두 번째 열은 회전된 $x$ 축과 $y$ 축의 표현이며, 이들은 회전된 $z$ 축에 수직한 평면 상에 놓여 있다. 세 번째 각 $\gamma$ 는 이 평면 내에서의 이차원 회전을 제어한다.

5. 역문제: 회전 행렬에서 $ZYZ$ 각 추출

주어진 회전 행렬 $\mathbf{R} = [r_{ij}]$ 로부터 $ZYZ$ 오일러 각을 추출하는 과정은 다음과 같다.

5.1 일반적인 경우 ( $r_{33} \neq \pm 1$ )

$\beta = \arccos(r_{33}) \in (0, \pi)$

$\alpha = \mathrm{atan2}(r_{23}, r_{13})$

$\gamma = \mathrm{atan2}(r_{32}, -r_{31})$

여기서 $\mathrm{atan2}$ 는 사분면을 식별하는 이변수 역탄젠트 함수이다. $\sin\beta > 0$ 이므로 $r_{13} = c_\alpha s_\beta$ 와 $r_{23} = s_\alpha s_\beta$ 에서 $\alpha$ 를 유일하게 결정할 수 있으며, $r_{31} = -s_\beta c_\gamma$ 와 $r_{32} = s_\beta s_\gamma$ 에서 $\gamma$ 도 유일하게 결정할 수 있다.

또한 다음의 대체 공식도 사용될 수 있다.

$\beta = \mathrm{atan2}\left(\sqrt{r_{13}^2 + r_{23}^2}, r_{33}\right)$

이 공식은 $r_{33}$ 이 $\pm 1$ 에 가까울 때 $\arccos$ 보다 수치적으로 안정적이다.

5.2 특이점: $\beta = 0$

$r_{33} = 1$ 이면 $\beta = 0$ 이고 회전 행렬은

$\mathbf{R} = \mathbf{R}_z(\alpha + \gamma) = \begin{bmatrix}c_{\alpha+\gamma} & -s_{\alpha+\gamma} & 0 \\ s_{\alpha+\gamma} & c_{\alpha+\gamma} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

이 된다. 이 경우 $\alpha$ 와 $\gamma$ 는 개별적으로 결정되지 않으며 오직 $\alpha + \gamma$ 의 합만 의미를 가진다. 통상 $\alpha = 0$ 으로 고정하고 $\gamma = \mathrm{atan2}(r_{21}, r_{11})$ 로 설정한다.

5.3 특이점: $\beta = \pi$

$r_{33} = -1$ 이면 $\beta = \pi$ 이고 회전 행렬은

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix}\cos(\alpha - \gamma) & \sin(\alpha - \gamma) & 0 \\ \sin(\alpha - \gamma) & -\cos(\alpha - \gamma) & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$

이 되며, $\alpha - \gamma$ 의 차만이 의미를 가진다. 통상 $\alpha = 0$ 으로 고정하고 $\gamma = -\mathrm{atan2}(r_{21}, r_{11})$ 로 설정한다.

6. 짐벌 락과의 관계

$\beta \in \{0, \pi\}$ 에서의 특이점이 바로 짐벌 락이다. 중간 각 $\beta$ 의 회전축( $y'$ 축)이 첫 번째와 세 번째 회전축( $z$ 축)과 수직 관계를 유지해야 세 각도가 독립적이나, $\beta$ 가 경계값을 가질 때 첫 번째와 세 번째 회전축이 정렬되어 한 자유도를 잃는다. 산업용 로봇 매니퓰레이터에서 $ZYZ$ 손목의 특이점은 $\beta = 0$ 이며, 이는 세 번째 손목 조인트의 축이 첫 번째 손목 조인트의 축과 평행이 되는 자세에 해당한다.

7. 로봇 공학에서의 응용

7.1 구형 손목 매니퓰레이터

PUMA 로봇과 같이 손목이 구형(spherical) 관절로 구성된 매니퓰레이터에서, 손목 세 관절의 각도가 $ZYZ$ 오일러 각과 직접 대응한다. 이 경우 역기구학에서 손목 각도를 $ZYZ$ 오일러 각 추출 공식으로 계산할 수 있다.

7.2 안테나 및 센서 방향 제어

관측 대상을 향하는 지향성 센서의 자세는 방위각, 고도각, 시선 주위의 회전으로 표현되며, 이는 $ZYZ$ 규약과 대응된다. 특히 위성 안테나의 자세 제어에서 표준적으로 사용된다.

7.3 축 짐벌의 설계

$ZYZ$ 구성의 3축 짐벌은 관측 장비의 지향에 널리 사용되며, 오일러 각이 하드웨어 관절 각도와 직접 일치한다.

8. 참고 문헌

Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
Diebel, J. (2006). “Representing Attitude: Euler Angles, Unit Quaternions, and Rotation Vectors.” Stanford University Technical Report.
Paul, R. P. (1981). Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control. MIT Press.

version: 1.0

9.22 ZYZ 오일러 각과 회전 행렬의 관계

1. ZYZ 규약의 정의