9.13 삼차원 기본 회전 행렬 \mathbf{R}_y의 유도
1. y축 주위 회전의 정의
\mathbf{R}_y(\theta)는 3차원 공간에서 y축을 회전축으로 하여 각도 \theta만큼 회전시키는 변환이다. 오른손 법칙을 따르며, 오른손 엄지를 y축 양의 방향으로 두면 손가락의 구부러지는 방향이 양의 회전 방향이다. 즉, z축에서 x축을 향하는 방향이 양의 회전 방향이다.
2. 기하학적 관찰
y축 주위 회전은 다음의 특징을 가진다.
- y 성분 불변: y축 위의 점들은 고정되므로 벡터의 y 성분은 변하지 않는다.
- zx 평면에서의 2차원 회전: z와 x 성분은 2차원 회전 행렬에 의해 변환된다.
zx 평면에서 z에서 x를 향하는 방향이 양의 회전 방향이다. 이는 x, y, z 순환의 일관성에 따른 결과이며, 우수 좌표계의 순환적 대칭성을 반영한다.
3. 유도
\mathbf{R}_y(\theta)가 표준 기저 벡터에 어떻게 작용하는지 고려한다.
3.1 \hat{\mathbf{e}}_y
y축 위의 점이므로 고정된다.
\mathbf{R}_y(\theta)\hat{\mathbf{e}}_y = \hat{\mathbf{e}}_y = (0, 1, 0)^T
3.2 \hat{\mathbf{e}}_z
z축의 단위 벡터가 zx 평면에서 \theta만큼 회전한다. z축에서 x축으로의 회전이므로:
\mathbf{R}_y(\theta)\hat{\mathbf{e}}_z = (\sin\theta, 0, \cos\theta)^T
3.3 \hat{\mathbf{e}}_x
x축의 단위 벡터는 z축에서 x축으로의 양의 회전에서 -z 방향 성분을 얻는다.
\mathbf{R}_y(\theta)\hat{\mathbf{e}}_x = (\cos\theta, 0, -\sin\theta)^T
4. 회전 행렬의 구성
회전 행렬의 열은 기저 벡터의 회전 결과이다.
\mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix}\mathbf{R}_y\hat{\mathbf{e}}_x & \mathbf{R}_y\hat{\mathbf{e}}_y & \mathbf{R}_y\hat{\mathbf{e}}_z\end{bmatrix}
\mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}
\mathbf{R}_y의 부호 배치는 \mathbf{R}_x 및 \mathbf{R}_z와 다르다는 점에 유의한다. -\sin\theta가 (3,1) 위치에 나타나는데, 이는 y축 회전이 z \to x 방향의 순환을 따르는 기하학적 관찰의 직접적 결과이다.
5. 검증
5.1 기저 벡터에의 작용
\mathbf{R}_y(\theta)\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sin\theta \\ 0 \\ \cos\theta\end{bmatrix} \checkmark
\mathbf{R}_y(\theta)\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\theta \\ 0 \\ -\sin\theta\end{bmatrix} \checkmark
5.2 직교성
\mathbf{R}_y^T\mathbf{R}_y = \begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix} = \mathbf{I}
5.3 행렬식
\det(\mathbf{R}_y(\theta)) = 1 \cdot (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 1
\mathbf{R}_y(\theta) \in SO(3)이며 특수 직교 행렬이다.
6. 주요 회전 각도의 값
| \theta | \mathbf{R}_y(\theta) |
|---|---|
| 0 | \mathbf{I} |
| \pi/2 | \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{bmatrix} |
| \pi | \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix} |
| -\pi/2 | \begin{bmatrix}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix} |
7. 역변환
\mathbf{R}_y(\theta)^{-1} = \mathbf{R}_y(-\theta) = \mathbf{R}_y(\theta)^T
반대 방향 회전과 전치 행렬이 일치하는 것은 회전 행렬의 일반적 성질이다.
8. 지수 형식
\mathbf{R}_y(\theta)는 반대칭 행렬의 지수로 표현된다.
\mathbf{R}_y(\theta) = \exp(\theta\mathbf{J}_y)
여기서:
\mathbf{J}_y = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{bmatrix}
\mathbf{J}_y는 y축 방향 단위 벡터의 교차곱 행렬이며, \mathfrak{so}(3) 리 대수의 기저 중 하나이다.
9. 부호 배치의 구조적 이유
\mathbf{R}_x와 \mathbf{R}_z에서는 -\sin이 상단 오른쪽에 위치하지만, \mathbf{R}_y에서는 하단 왼쪽에 위치한다. 세 기본 회전 행렬 모두 동일한 순환 규칙(x \to y \to z \to x)을 따르나, \mathbf{R}_y가 작용하는 평면 zx는 순환 순서상 z가 x보다 앞서므로, 표준 행렬 표현에서 행 순서와 평면 내 순환 순서가 불일치하여 부호가 반전되어 나타난다.
10. 응용 예시
10.1 피치(Pitch) 운동
항공기 표준 관례인 ZYX 자세 표현에서 피치는 y축 주위의 회전이며 \mathbf{R}_y(\theta)로 표현된다. 기체의 기수가 위아래로 움직이는 운동에 해당한다.
10.2 관절 회전
y축과 정렬된 회전 관절의 운동은 \mathbf{R}_y(\theta)로 기술되며, \theta가 관절 각도이다. 매니퓰레이터의 어깨 또는 팔꿈치 관절이 전형적인 예이다.
10.3 좌표계 정렬
두 좌표계가 y축을 공유하고 z-x 평면에서만 차이를 가지면, \mathbf{R}_y의 단일 작용으로 변환이 완료된다.
11. 참고 문헌
- Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
- Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
- Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
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