9.12 삼차원 기본 회전 행렬 \mathbf{R}_x의 유도
1. x축 주위 회전의 정의
\mathbf{R}_x(\phi)는 3차원 공간에서 x축을 회전축으로 하여 각도 \phi만큼 회전시키는 변환이다. 오른손 법칙을 따르며, 오른손 엄지를 x축 양의 방향으로 두면 손가락의 구부러지는 방향이 양의 회전 방향이다.
2. 기하학적 관찰
x축 주위 회전의 특징은 다음과 같다.
- x 성분 불변: x축 위의 점들은 고정된다. 따라서 벡터의 x 성분은 변하지 않는다.
- yz 평면에서의 2차원 회전: y와 z 성분은 2차원 회전 행렬로 변환된다.
yz 평면에서 y를 z로 향하는 방향이 양의 회전 방향이다(오른손 법칙).
3. 유도
\mathbf{R}_x(\phi)가 기저 벡터에 어떻게 작용하는지 고려한다.
3.1 \hat{\mathbf{e}}_x
x축 위의 점이므로 고정된다.
\mathbf{R}_x(\phi)\hat{\mathbf{e}}_x = \hat{\mathbf{e}}_x = (1, 0, 0)^T
3.2 \hat{\mathbf{e}}_y
y축의 단위 벡터가 yz 평면에서 \phi만큼 회전한다. y축에서 z축으로의 회전이므로:
\mathbf{R}_x(\phi)\hat{\mathbf{e}}_y = (0, \cos\phi, \sin\phi)^T
3.3 \hat{\mathbf{e}}_z
z축의 단위 벡터는 y축에서 z축으로의 회전에서 z축이 -y 방향으로 이동하는 것으로 이해된다.
\mathbf{R}_x(\phi)\hat{\mathbf{e}}_z = (0, -\sin\phi, \cos\phi)^T
4. 회전 행렬의 구성
회전 행렬의 열은 기저 벡터의 회전 결과이다.
\mathbf{R}_x(\phi) = \begin{bmatrix}\mathbf{R}_x\hat{\mathbf{e}}_x & \mathbf{R}_x\hat{\mathbf{e}}_y & \mathbf{R}_x\hat{\mathbf{e}}_z\end{bmatrix}
\mathbf{R}_x(\phi) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}
5. 검증
5.1 기저 벡터에의 작용
\mathbf{R}_x(\phi)\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ \cos\phi \\ \sin\phi\end{bmatrix} \checkmark
\mathbf{R}_x(\phi)\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -\sin\phi \\ \cos\phi\end{bmatrix} \checkmark
5.2 직교성
\mathbf{R}_x^T\mathbf{R}_x = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi\end{bmatrix} = \mathbf{I}
5.3 행렬식
\det(\mathbf{R}_x(\phi)) = 1 \cdot (\cos^2\phi + \sin^2\phi) = 1
특수 직교 행렬이다.
6. 주요 회전 각도의 값
| \phi | \mathbf{R}_x(\phi) |
|---|---|
| 0 | \mathbf{I} |
| \pi/2 | \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} |
| \pi | \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix} |
| -\pi/2 | \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0\end{bmatrix} |
7. 역변환
\mathbf{R}_x(\phi)^{-1} = \mathbf{R}_x(-\phi) = \mathbf{R}_x(\phi)^T
반대 방향 회전과 전치 행렬이 일치하는 것은 회전 행렬의 일반적 성질이다.
8. 지수 형식
\mathbf{R}_x(\phi)는 반대칭 행렬의 지수로 표현된다.
\mathbf{R}_x(\phi) = \exp(\phi\mathbf{J}_x)
여기서:
\mathbf{J}_x = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
\mathbf{J}_x는 x축 방향 단위 벡터의 교차곱 행렬이며, \mathfrak{so}(3) 리 대수의 기저이다.
9. 응용 예시
9.1 피치(Pitch) 운동
항공기의 피치 운동은 x축(동체 전방) 주위의 회전이며 \mathbf{R}_x(\phi)로 표현된다. 단, 관례에 따라 y축 주위로 정의되기도 한다(표준 관례 따름).
9.2 관절 회전
x축과 정렬된 회전 관절의 운동이 \mathbf{R}_x(\theta)로 기술되며, \theta가 관절 각도이다.
9.3 좌표계 정렬
두 좌표계가 x축을 공유하고 y-z 평면에서만 차이가 있으면, \mathbf{R}_x로 변환이 완결된다.
10. 참고 문헌
- Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
- Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.
- Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
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