9.1 좌표계의 정의와 유형

9.1 좌표계의 정의와 유형

1. 좌표계의 정의

좌표계(coordinate frame)는 공간의 점과 벡터를 수치적으로 표현하기 위한 기준 구조이다. 3차원 좌표계는 원점(origin)과 세 개의 선형 독립 기저 벡터(basis vector)로 정의된다. 로봇 공학에서는 통상 직교 정규(orthonormal) 기저를 사용하며, 오른손 좌표계(right-handed frame)가 표준이다.

2. 직교 정규 기저

직교 정규 기저 \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}은 다음을 만족한다.

\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

오른손 좌표계는 추가로 \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3을 만족한다(왼손 좌표계는 \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = -\mathbf{e}_3).

3. 점과 벡터의 표현

3.1 점(Point)

점은 공간의 특정 위치이며, 좌표계 \{A\}에서 다음과 같이 표현된다.

{}^A\mathbf{p} = \begin{bmatrix}p_x \\ p_y \\ p_z\end{bmatrix}

여기서 좌측 상단의 A는 좌표계를 명시한다. 점은 좌표계에 의존적이며, 같은 물리적 위치가 다른 좌표계에서는 다른 좌표값을 갖는다.

3.2 벡터(Vector)

벡터는 두 점 사이의 변위 또는 방향을 나타내며, 원점에 무관하다. 벡터의 좌표 표현도 좌표계에 의존한다.

4. 좌표계의 유형

로봇 공학에서 자주 사용되는 좌표계는 다음과 같다.

4.1 세계 좌표계(World Frame)

고정된 기준 좌표계로, 보통 \{W\}로 표기한다. 로봇과 환경의 모든 것이 이 좌표계를 기준으로 기술된다. 관성 기준 프레임(inertial reference frame)과 연관된다.

4.2 몸체 좌표계(Body Frame)

로봇의 몸체에 고정된 좌표계로, \{B\}로 표기한다. 이동 로봇에서는 로봇과 함께 이동하며, 로봇 관점에서의 공간 관계를 기술한다. 통상 원점이 로봇의 기하학적 중심, 무게 중심, 또는 기준점에 위치한다.

4.3 관절 좌표계(Joint Frame)

매니퓰레이터의 각 링크에 고정된 좌표계이다. 드나비트-하텐버그(Denavit-Hartenberg, DH) 규약에 따라 각 관절 축을 기준으로 정의된다. 관절 변수의 변화가 인접 링크 좌표계 사이의 변환을 결정한다.

4.4 센서 좌표계(Sensor Frame)

개별 센서에 고정된 좌표계이다.

  • 카메라 좌표계: 광학 중심이 원점, 광축이 z축
  • 라이다 좌표계: 스캔 중심이 원점, 일반적으로 회전축이 z축
  • IMU 좌표계: 관성 측정 장치의 센서 축과 정렬

센서 관측은 센서 좌표계에서 얻어지므로, 융합을 위해 공통 좌표계(몸체 또는 세계)로 변환해야 한다.

4.5 말단 장치 좌표계(End-Effector Frame)

매니퓰레이터의 말단 장치에 고정된 좌표계이다. 작업(집기, 용접 등)의 기준점이며, 통상 z축이 접근 방향과 정렬된다.

4.6 작업 좌표계(Task Frame)

특정 작업과 관련된 좌표계로, 작업 공간에서 목표 자세를 기술하는 데 사용된다. 예를 들어, 조립 작업에서는 조립 위치에 작업 좌표계가 정의된다.

4.7 관성 좌표계와 비관성 좌표계

관성 좌표계는 뉴턴의 운동 법칙이 단순한 형태로 적용되는 좌표계이다. 지구 중심 관성(Earth-Centered Inertial, ECI) 좌표계가 대표적이다. 지구 표면에 고정된 ECEF(Earth-Centered Earth-Fixed)는 지구의 자전에 의해 비관성이지만, 대부분의 지상 로봇 응용에서 관성으로 근사된다.

5. 좌표계 표기법

본 서적에서는 다음 표기를 사용한다.

  • 좌측 상단 첨자: 좌표계 (예: {}^A\mathbf{p}는 좌표계 A에서의 점 \mathbf{p})
  • 우측 하단 첨자: 인덱스 또는 명칭 (예: \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_{obj})
  • 변환: {}^A_B\mathbf{T}는 좌표계 B에서 좌표계 A로의 변환 (좌표계 B에서의 점을 A에서의 점으로 변환)

6. 좌표계 사이의 관계

두 좌표계 \{A\}와 \{B\} 사이의 관계는 회전과 병진으로 완전히 기술된다.

6.1 회전

좌표계 \{B\}의 기저 벡터가 좌표계 \{A\}에서 어떻게 표현되는지가 회전 행렬 {}^A_B\mathbf{R}로 기술된다. 이 행렬의 열이 \{B\}의 기저 벡터의 \{A\} 좌표이다.

6.2 병진

좌표계 \{B\}의 원점이 좌표계 \{A\}에서 {}^A\mathbf{t}_B로 표현된다.

6.3 결합: 동차 변환

회전과 병진을 결합한 변환이 동차 변환 행렬 {}^A_B\mathbf{T}이다.

{}^A_B\mathbf{T} = \begin{bmatrix}{}^A_B\mathbf{R} & {}^A\mathbf{t}_B \\ \mathbf{0}^T & 1\end{bmatrix}

7. 로봇 공학에서의 실용적 고려

로봇 시스템의 설계와 구현에서 좌표계의 명확한 정의와 일관된 사용이 핵심이다. 불일치하는 좌표계 변환은 치명적인 오류를 야기할 수 있으며, ROS의 tf 프레임워크는 좌표계 관리를 체계화하는 대표적인 도구이다.

8. 참고 문헌

  • Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
  • Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control (2nd ed.). Wiley.
  • Craig, J. J. (2018). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (4th ed.). Pearson.

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