6.9 삼중적과 체적 계산

1. 삼중적의 정의

삼중적(triple product)은 세 벡터로부터 스칼라 또는 벡터를 생성하는 연산이며, 외적과 내적의 결합으로 정의된다. 삼중적은 3차원 공간에서 체적, 좌표계의 우수성, 평행 육면체의 면적 등을 계산하는 데 사용되며, 로봇공학에서 작업 공간의 부피 계산, 우수 좌표계 판정, 동역학 유도 등에 응용된다.

2. 스칼라 삼중적

정의 6.9.1 (스칼라 삼중적). $\mathbb{R}^3$ 의 세 벡터 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 의 스칼라 삼중적(scalar triple product)은 다음과 같이 정의된다.

$[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$

이 연산은 결과가 스칼라이므로 스칼라 삼중적이라 부른다. 다른 표기로는 박스적(box product)이라 부르기도 한다.

행렬식 표현

스칼라 삼중적은 세 벡터를 행으로 또는 열로 가지는 $3 \times 3$ 행렬의 행렬식과 같다.

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$

이 표현은 삼중적의 모든 대수적 성질이 행렬식의 성질로부터 유도됨을 보여준다.

3. 스칼라 삼중적의 성질

행렬식의 성질로부터 다음의 성질들이 도출된다.

(T1) 순환 대칭성: 세 벡터의 순환 순열은 값이 보존된다.
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

(T2) 반순환 대칭성: 두 벡터의 교환은 부호가 바뀐다.
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = -\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) = -\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{c}) = -\mathbf{c} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a})$

(T3) 내적과 외적의 교환: 점과 외적 기호의 교환이 가능하다.
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}$

(T4) 선형 종속 판정: 세 벡터가 선형 종속(공면)일 필요충분조건은 스칼라 삼중적이 0인 것이다.
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 0 \iff \{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\} \text{는 선형 종속}$

4. 체적의 기하학적 해석

스칼라 삼중적의 절댓값은 세 벡터가 만드는 평행 육면체(parallelepiped)의 체적과 같다.

$V_{\text{평행 육면체}} = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$

기하학적 유도는 다음과 같다. 외적 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 는 $\mathbf{b}$ 와 $\mathbf{c}$ 가 만드는 평행 사변형의 면적을 크기로 가지며, 이 평행 사변형에 수직인 방향을 가진다. 벡터 $\mathbf{a}$ 의 평행 사변형에 대한 사영의 길이는 $\|\mathbf{a}\| \cos\theta$ 이며, 여기서 $\theta$ 는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ 의 사잇각이다. 따라서 체적은

$V = \|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\| \cdot \|\mathbf{a}\| \cos\theta = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$

이며, 부호는 좌표계의 우수성에 따라 결정된다.

5. 사면체의 체적

세 벡터 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 를 변으로 가지는 사면체(tetrahedron)의 체적은 평행 육면체 체적의 $1/6$ 이다.

$V_{\text{사면체}} = \frac{1}{6}|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|$

네 점 $P_0, P_1, P_2, P_3$ 로 정의되는 사면체의 체적은 다음과 같이 계산된다.

$V_{\text{사면체}} = \frac{1}{6}|(P_1 - P_0) \cdot ((P_2 - P_0) \times (P_3 - P_0))|$

6. 좌표계의 우수성 판정

세 단위 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_1, \hat{\mathbf{e}}_2, \hat{\mathbf{e}}_3$ 이 직교 정규 기저를 이룰 때, 다음의 조건으로 좌표계의 우수성(handedness)을 판정할 수 있다.

$\hat{\mathbf{e}}_1 \cdot (\hat{\mathbf{e}}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3) = \begin{cases} +1 & \text{우수 좌표계 (right-handed)} \\ -1 & \text{좌수 좌표계 (left-handed)} \end{cases}$

이 판정은 회전 행렬이 $\det(R) = +1$ 의 조건을 만족하는 진정 회전(proper rotation)인지, 아니면 $\det(R) = -1$ 의 조건을 가지는 부정 회전(improper rotation, 반사를 포함)인지를 구분하는 데 사용된다.

벡터 삼중적

정의 6.9.2 (벡터 삼중적). $\mathbb{R}^3$ 의 세 벡터 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ 의 벡터 삼중적(vector triple product)은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$

이 연산은 결과가 벡터이므로 벡터 삼중적이라 부른다.

7. BAC-CAB 공식

벡터 삼중적은 다음의 항등식으로 전개된다.

정리 6.9.1 (BAC-CAB 공식, Lagrange의 공식).

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

이 공식은 영문 명칭의 첫 글자를 따서 “BAC minus CAB” 공식이라 불리며, 외적의 비결합성을 명시적으로 보여 준다. 일반적으로

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} \neq \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$

이며, 두 표현 사이의 관계는 다음과 같다.

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{a}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$

야코비 항등식

벡터 삼중적의 결합성 결여는 야코비 항등식(Jacobi identity)으로 기술된다.

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}$

이 항등식은 외적이 정의된 공간 $\mathbb{R}^3$ 이 리 대수(Lie algebra)의 구조를 가짐을 의미하며, 회전을 다루는 리 대수 $\mathfrak{so}(3)$ 의 핵심 성질이다.

8. 라그랑주 항등식

두 외적의 내적은 다음과 같이 표현된다.

$(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$

이를 라그랑주 항등식(Lagrange’s identity)이라 한다. 특수한 경우 $\mathbf{c} = \mathbf{a}$ , $\mathbf{d} = \mathbf{b}$ 를 대입하면

$\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2$

을 얻으며, 이는 외적의 크기를 내적과 노름으로 표현하는 식이다.

9. 로봇공학에서의 응용

9.1 작업 공간의 체적 계산

로봇 매니퓰레이터의 작업 공간 체적은 자코비안의 행렬식과 관련된 가조작성 측도(manipulability measure)로 평가된다. 6자유도 로봇의 자코비안 $J \in \mathbb{R}^{6 \times 6}$ 에 대하여, $|\det(J)|$ 은 단위 관절 속도 영역이 작업 공간에서 만드는 체적과 비례하며, 이는 스칼라 삼중적의 일반화이다.

9.2 평행 육면체와 가조작성 타원체

자코비안의 SVD $J = U\Sigma V^\top$ 에서, 단위 구를 자코비안으로 변환한 결과는 가조작성 타원체(manipulability ellipsoid)이며, 그 체적은 $\det(\Sigma) = \prod_i \sigma_i$ 에 비례한다. 이 체적은 로봇이 현재 형상에서 임의 방향으로 동등하게 움직일 수 있는 능력을 나타낸다.

9.3 우수 좌표계 검증

로봇의 좌표계를 정의할 때 우수 법칙을 따르는 것이 표준이며, 새로 정의된 좌표계의 세 축 벡터에 대하여 스칼라 삼중적을 계산하여 그 값이 양수임을 검증한다. 이는 회전 행렬이 SO(3)에 속함( $\det(R) = +1$ )을 보장하는 절차이다.

9.4 점-평면 거리 계산

평면 위의 세 점 $P_0, P_1, P_2$ 가 주어졌을 때, 임의의 점 $P$ 로부터 평면까지의 부호 있는 거리(signed distance)는 다음과 같이 계산된다.

$d = \frac{(P - P_0) \cdot ((P_1 - P_0) \times (P_2 - P_0))}{\|(P_1 - P_0) \times (P_2 - P_0)\|}$

이 식의 분자는 스칼라 삼중적이며, 분모는 평면을 정의하는 평행 사변형의 면적이다.

강체 동역학 유도

회전하는 강체의 운동 방정식 유도에서 벡터 삼중적이 빈번히 등장한다. 회전축 $\boldsymbol{\omega}$ 로 회전하는 강체의 한 점에서의 가속도는 다음과 같다.

$\mathbf{a} = \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})$

여기서 두 번째 항이 벡터 삼중적이며, 구심 가속도(centripetal acceleration)에 해당한다. BAC-CAB 공식을 적용하면 $\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) = \boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{r}) - \mathbf{r}\|\boldsymbol{\omega}\|^2$ 로 전개된다.

9.5 외적 항등식의 동역학적 응용

오일러의 강체 운동 방정식에서, 관성 텐서 $I$ 와 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 사이의 비선형 항 $\boldsymbol{\omega} \times (I\boldsymbol{\omega})$ 은 자이로스코프 효과(gyroscopic effect)를 나타내며, 이 항의 처리에 외적과 그 항등식이 활용된다.

참고문헌

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