6.89 자코비안의 재귀적 계산 방법

직렬 매니퓰레이터의 자코비안 행렬은 순기구학의 연쇄 구조를 활용하여 재귀적(recursive)으로 효율적으로 계산할 수 있다. 재귀적 방법은 기저에서 말단 장치 방향으로, 또는 그 역방향으로 각 링크의 운동학적 양을 순차적으로 전파하여 자코비안을 구성한다. 본 절에서는 순방향 재귀와 역방향 재귀에 기반한 자코비안 계산 알고리즘을 기술한다.

1. 재귀적 계산의 기본 원리

직렬 매니퓰레이터에서 각 관절의 운동은 그 이후의 모든 링크에 영향을 미친다. 이 연쇄적 구조를 이용하면, 링크 $i$ 의 운동학적 양(위치, 자세, 속도)을 링크 $i-1$ 의 운동학적 양으로부터 점진적으로 계산할 수 있다. 이 과정을 순방향 재귀(forward recursion)라 한다.

기하학적 자코비안의 열 벡터를 구성하려면 다음의 세 가지 양이 필요하다.

$\mathbf{z}_{i-1}$ : 관절 $i$ 의 축 방향 벡터 (기준 좌표계에서 표현)
$\mathbf{p}_{i-1}$ : 좌표계 $\{i-1\}$ 의 원점 위치 (기준 좌표계에서 표현)
$\mathbf{p}_n$ : 말단 장치 좌표계의 원점 위치 (기준 좌표계에서 표현)

이들은 동차 변환 행렬의 순방향 연쇄 곱으로부터 추출된다.

2. 순방향 재귀에 의한 동차 변환 행렬 계산

기준 좌표계에서 좌표계 $\{i\}$ 까지의 동차 변환 행렬은 다음의 재귀식으로 계산된다.

$T_i^0 = T_{i-1}^0 \, T_i^{i-1}(q_i), \quad i = 1, 2, \dots, n$

초기 조건은 $T_0^0 = I_4$ 이다. 각 관절의 국소 변환 행렬 $T_i^{i-1}(q_i)$ 는 Denavit-Hartenberg 파라미터 또는 지수곱(product of exponentials) 공식으로 구성된다.

$T_i^0$ 로부터 관절 축 벡터와 원점 위치를 추출한다.

$\mathbf{z}_i = R_i^0 \, \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{p}_i = \mathbf{d}_i^0$

여기서 $R_i^0$ 는 $T_i^0$ 의 $3 \times 3$ 회전 부분, $\mathbf{d}_i^0$ 는 $4 \times 1$ 병진 부분의 상위 3개 성분, $\mathbf{e}_3 = [0, 0, 1]^\top$ 이다.

3. 자코비안 열 벡터의 순차적 구성

순방향 재귀로 $T_0^0, T_1^0, \dots, T_n^0$ 을 모두 계산한 후, 기하학적 자코비안의 각 열 벡터를 다음과 같이 구성한다.

관절 $i$ 가 회전 관절인 경우:

$\mathbf{j}_i = \begin{bmatrix} \mathbf{z}_{i-1} \times (\mathbf{p}_n - \mathbf{p}_{i-1}) \\ \mathbf{z}_{i-1} \end{bmatrix}$

관절 $i$ 가 직동 관절인 경우:

$\mathbf{j}_i = \begin{bmatrix} \mathbf{z}_{i-1} \\ \mathbf{0} \end{bmatrix}$

이 과정은 $i = 1$ 부터 $i = n$ 까지 순차적으로 수행되며, 전체 자코비안은 $J = [\mathbf{j}_1, \mathbf{j}_2, \dots, \mathbf{j}_n]$ 으로 구성된다.

4. 알고리즘 1: 순방향 재귀 자코비안 계산

전체 알고리즘을 의사 코드(pseudocode)로 정리하면 다음과 같다.

입력: 관절 변수 $\mathbf{q}$ , 관절 유형 $\sigma_i$ (0: 회전, 1: 직동), DH 파라미터

출력: 기하학적 자코비안 $J \in \mathbb{R}^{6 \times n}$

$T \leftarrow I_4$ (초기 변환 행렬)
for $i = 1$ to $n$ do

$T \leftarrow T \cdot T_i^{i-1}(q_i)$ (순방향 변환 누적)
$\mathbf{z}_{i-1} \leftarrow$ 이전 $T$ 의 $z$ 축 열 (또는 별도 저장)
$\mathbf{p}_{i-1} \leftarrow$ 이전 $T$ 의 병진 벡터
$T_i^0 \leftarrow T$ 저장

$\mathbf{p}_n \leftarrow T_n^0$ 의 병진 벡터
for $i = 1$ to $n$ do

$\mathbf{z}_{i-1}$ , $\mathbf{p}_{i-1}$ 을 $T_{i-1}^0$ 에서 추출
if $\sigma_i = 0$ (회전 관절) then
$\mathbf{j}_i \leftarrow [\mathbf{z}_{i-1} \times (\mathbf{p}_n - \mathbf{p}_{i-1}); \; \mathbf{z}_{i-1}]$
else (직동 관절)
$\mathbf{j}_i \leftarrow [\mathbf{z}_{i-1}; \; \mathbf{0}]$

5. 재귀적 속도 전파법

자코비안을 명시적으로 구성하지 않고, 각 링크의 속도를 기저에서 말단 장치 방향으로 재귀적으로 전파하여 최종적으로 말단 장치의 속도를 구하는 방법이다. 이 접근법은 Newton-Euler 동역학 알고리즘의 순방향 단계와 동일한 구조를 가진다.

5.1 각속도의 순방향 전파

링크 $i$ 의 각속도를 좌표계 $\{i\}$ 에서 표현한 값을 ${}^i\boldsymbol{\omega}_i$ 라 하자. 재귀 관계는 다음과 같다.

회전 관절 $i$ 의 경우:

${}^i\boldsymbol{\omega}_i = R_{i-1}^{i} \, {}^{i-1}\boldsymbol{\omega}_{i-1} + \dot{q}_i \, \mathbf{e}_3$

직동 관절 $i$ 의 경우:

${}^i\boldsymbol{\omega}_i = R_{i-1}^{i} \, {}^{i-1}\boldsymbol{\omega}_{i-1}$

여기서 $R_{i-1}^i = (R_i^{i-1})^\top$ 은 좌표계 $\{i-1\}$ 에서 $\{i\}$ 로의 회전 행렬이다.

5.2 선속도의 순방향 전파

링크 $i$ 의 원점 선속도를 좌표계 $\{i\}$ 에서 표현한 값은 다음과 같이 전파된다.

회전 관절 $i$ 의 경우:

${}^i\mathbf{v}_i = R_{i-1}^{i}\left({}^{i-1}\mathbf{v}_{i-1} + {}^{i-1}\boldsymbol{\omega}_{i-1} \times {}^{i-1}\mathbf{p}_{i}\right)$

직동 관절 $i$ 의 경우:

${}^i\mathbf{v}_i = R_{i-1}^{i}\left({}^{i-1}\mathbf{v}_{i-1} + {}^{i-1}\boldsymbol{\omega}_{i-1} \times {}^{i-1}\mathbf{p}_{i}\right) + \dot{q}_i \, \mathbf{e}_3$

여기서 ${}^{i-1}\mathbf{p}_i$ 는 좌표계 $\{i-1\}$ 에서 좌표계 $\{i\}$ 의 원점까지의 벡터이다.

5.3 초기 조건

기저 좌표계의 초기 조건은 고정 기저의 경우 다음과 같다.

${}^0\boldsymbol{\omega}_0 = \mathbf{0}, \quad {}^0\mathbf{v}_0 = \mathbf{0}$

이동 기저(mobile base)의 경우에는 기저의 속도를 초기 조건으로 설정한다.

6. 지수곱 공식에 기반한 재귀적 계산

지수곱(product of exponentials) 공식에 기반한 공간 자코비안(space Jacobian)의 재귀적 계산은 수반 표현(adjoint representation)을 이용한다. 공간 자코비안의 $i$ 번째 열은 다음과 같이 계산된다.

$J_{s,i}(\mathbf{q}) = \text{Ad}_{e^{[\mathcal{S}_1]\theta_1} \cdots e^{[\mathcal{S}_{i-1}]\theta_{i-1}}} \, \mathcal{S}_i$

여기서 $\mathcal{S}_i$ 는 $i$ 번째 관절의 스크류 축이고, $\text{Ad}_T$ 는 $SE(3)$ 의 수반 행렬이다.

$\text{Ad}_T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{0} \\ [p]_\times R & R \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{6 \times 6}$

이 계산은 중간 변환 행렬 $T_1, T_1 T_2, \dots$ 를 순차적으로 누적하면서 수행할 수 있으므로 본질적으로 재귀적이다.

물체 자코비안(body Jacobian)은 유사하게 역방향 재귀로 계산된다.

$J_{b,i}(\mathbf{q}) = \text{Ad}_{e^{-[\mathcal{B}_{i+1}]\theta_{i+1}} \cdots e^{-[\mathcal{B}_n]\theta_n}} \, \mathcal{B}_i$

7. 계산 복잡도 비교

자코비안 계산 방법에 따른 계산 복잡도를 비교하면 다음과 같다.

방법	시간 복잡도	공간 복잡도	비고
해석적 편미분	$O(n)$	$O(n)$	닫힌 형태의 유도 필요
순방향 재귀	$O(n)$	$O(n)$	범용적, 체계적
수치적 유한 차분	$O(n^2)$	$O(n)$	$n$ 회 순기구학 평가 필요
재귀적 속도 전파	$O(n)$	$O(n)$	$J\dot{\mathbf{q}}$ 직접 계산에 적합

순방향 재귀 방법과 재귀적 속도 전파법은 모두 $O(n)$ 의 시간 복잡도를 가지므로 관절 수에 대해 선형적으로 증가한다. 이는 다관절 로봇에서의 실시간 계산에 적합하다.

8. 재귀적 알고리즘의 실용적 장점

재귀적 자코비안 계산은 다음과 같은 실용적 장점을 가진다.

체계성: 관절 수와 관절 유형에 무관하게 동일한 알고리즘 구조를 적용할 수 있어 범용 소프트웨어 구현이 용이하다.
중간 결과 재활용: 순기구학 계산 과정에서 생성되는 중간 변환 행렬 $T_i^0$ 를 자코비안 구성에 직접 활용하므로 중복 연산이 최소화된다.
확장성: 가지형(branching) 구조나 폐쇄 연쇄(closed-chain) 기구에 대해서도 재귀 구조를 확장하여 적용할 수 있다.
동역학과의 통합: Newton-Euler 역동역학 알고리즘의 순방향 단계에서 이미 속도 전파가 수행되므로, 추가 연산 없이 자코비안 관련 양을 함께 얻을 수 있다.

9. 참고 문헌

Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed. Pearson Prentice Hall.
Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
Luh, J. Y. S., Walker, M. W., & Paul, R. P. C. (1980). “On-Line Computational Scheme for Mechanical Manipulators.” Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 102(2), 69–76.

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